ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm
20 câu hỏi
\[dt = u'\left( x \right)dx\]
\[dx = u'\left( t \right)dt\]
\[dt = \frac{1}{{u\left( x \right)}}dx\]
\[dx = \frac{1}{{u\left( t \right)}}dt\]
Đáp án cần chọn là: A
\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.\]
\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
Đặt\[t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{3}\] khi đó:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x\; = \frac{1}{3}\smallint f\left( t \right)dt\; = \frac{1}{3}\left( {2t\ln \left( {3t - 1} \right)} \right) + C}\\{ = \frac{1}{3}\left( {2.3x.\ln \left( {3.3x - 1} \right)} \right) + C = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C}\end{array}\]
Vậy \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x\; = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C\]
Đáp án cần chọn là: A
\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\]
\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = \frac{1}{2}f\left( t \right)dt\]
\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\]
\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\]
Ta có:\[t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}\]
\[ \Rightarrow xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( {{x^2}} \right).xdx = f\left( t \right).\frac{{dt}}{2} = \frac{1}{2}f\left( t \right)dt\]
Đáp án cần chọn là: B
\[f\left( x \right)dx = - tdt\]
\[f\left( x \right)dx = 2tdt\]
\[f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt\]
\[f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt\]
Ta có: \[\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\]
\[ \Rightarrow {t^2} = 1 - {\cos ^2}x \Rightarrow 2tdt = 2\cos x\sin xdx = \sin 2xdx \Rightarrow \sin 2xdx = 2tdt\]
Suy ra\[f\left( x \right)dx = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} dx = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} .\sin 2xdx = t.2tdt = 2{t^2}dt\]
Đáp án cần chọn là: D
\[I = \frac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
\[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
\[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
\[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
\[I = \smallint 3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx = \smallint 3{x^2}.{x^3}\sqrt {{x^3} + 1} dx\]
Đặt \[\sqrt {{x^3} + 1} = t \Rightarrow {x^3} + 1 = {t^2} \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt\]
\[ \Rightarrow I = \smallint \left( {{t^2} - 1} \right).t.2tdt = 2\smallint \left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt = \frac{2}{5}{t^5} - \frac{2}{3}{t^3} + C\]
\[ = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
Đáp án cần chọn là: B
\[F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
\[F\left( x \right) = - \sqrt {1 - \ln x} + \frac{1}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
\[F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} - \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
\[F\left( x \right) = 2\sqrt {1 - \ln x} - \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
\[F\left( x \right) = \smallint \frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx\]
Đặt\[\sqrt {1 - \ln x} = t \Rightarrow 1 - \ln x = {t^2} \Rightarrow \ln x = 1 - {t^2} \Rightarrow \frac{1}{x}dx = - 2tdt\]
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{1 - {t^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\smallint \left( {1 - {t^2}} \right)dt\]
\[ = - 2t + \frac{2}{3}{t^3} + C = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + C\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( e \right) = - 2\sqrt {1 - 1} + \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)\sqrt {1 - 1} + C = 3 \Rightarrow C = 3}\\{ \Rightarrow F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
\[I = t - \frac{{{t^2}}}{2} + C\]
\[I = \frac{{{t^2}}}{2} - t + C\]
\[I = \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{{t^2}}}{3} + C\]
\[I = - \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^2}}}{3} + C\]
\[I = \smallint \frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx = \smallint \frac{{{{\cos }^2}x.\cos xdx}}{{1 + \sin x}} = \smallint \frac{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx}}{{1 + \sin x}}\]
Đặt\[\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dtI = \smallint \frac{{\left( {1 - {t^2}} \right)dt}}{{1 + t}} = \smallint \left( {1 - t} \right)dt = t - \frac{1}{2}{t^2} + C\]
Đáp án cần chọn là: A
m=2
m=−2
m=1
m=−1
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\] và\[t = \sqrt {1 - x} \Rightarrow 1 - x = {t^2} \Rightarrow x = 1 - {t^2} \Rightarrow dx = - 2tdt\]
\[ \Rightarrow \smallint f\left( x \right)dx = \smallint \frac{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\smallint {\left( {1 - {t^2}} \right)^2}dt = - 2\smallint {\left( {{t^2} - 1} \right)^2}dt\]
\[ \Rightarrow m = 1\]
Đáp án cần chọn là: C
6
4
8
5
\[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]
Đặt\[\sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\smallint t\left( {t - 1} \right)dt = 2\smallint \left( {{t^2} - t} \right)dt}\\{ = \frac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} - \left( {1 + x} \right) + C}\\{ \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} - \left( {1 + 3} \right) - \frac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \frac{5}{3}}\\{ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 20 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} + 1} \right)du\]
\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( { - {u^2} + 1} \right)du\]
\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]
\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} - 1} \right)du\]
\[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\]
Đặt
\[u = \sqrt {3\tan x + 1} \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{2udu}}{3}\]
\[I = \smallint \frac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]
Đáp án cần chọn là: C
−2
2
−1
1
\[I = \smallint \frac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}dx = a\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + C\]
Đặt\[t = \sqrt {{e^x} + 1} \Rightarrow {e^x} + 1 = {t^2} \Rightarrow {e^x} = {t^2} - 1 \Rightarrow {e^x}dx = 2tdt\]
\[I = \smallint \frac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}.t}}2tdt = 2\smallint \left( {1 - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt = 2\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + C \Rightarrow a = 2\]
Đáp án cần chọn là: B
\[dx = \tan tdt\]
\[dx = - \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\]
\[dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\]
\[dx = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dt\]
Ta có: \[x = \cot t \Rightarrow dx = {\left( {\cot t} \right)^\prime }dt = - \frac{1}{{{{\sin }^2}t}}dt = - \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\]
Do
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}}\\{ = 1 + {{\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)}^2} = 1 + {{\cot }^2}x}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
\[f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\]
\[f\left( x \right)dx = dt\]
\[f\left( x \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dt\]
\[f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\]
Ta có: \[x = \tan t \Rightarrow dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\]
Do đó \[f\left( x \right)dx = \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{{{{\tan }^2}t + 1}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt = dt\]
Đáp án cần chọn là: B
\[x = 1 - \sqrt 3 \]
\[x = 1\]
\[x = - 1\]
\[x = 0\]
Đặt \[t = \sqrt {8 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 8 - {x^2} \Rightarrow - tdt = xdx\]
\[\smallint \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx = - \smallint \frac{{tdt}}{t} = - t + C = - \sqrt {8 - {x^2}} + C\]
Vì \[F\left( 2 \right) = 0\] nên\[C = 2\]
Ta có phương trình \[ - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \]Đáp án cần chọn là: A
\[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
\[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = - \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
\[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = \frac{1}{6}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
\[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = \frac{2}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
Đáp án cần chọn là: A
\[I = - \,\smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
\[I = \smallint {\sin ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
\[I = \smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
\[I = \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]
Đặt\[x = \frac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\frac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t\]
Và\[\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\frac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.\]
Khi đó
\[I = \smallint {\sin ^2}t.\cos t.\left( { - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t = - \,\smallint {\cos ^2}t\,{\rm{d}}t = - \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]
Đáp án cần chọn là: A
\[\frac{{{\pi ^2}}}{2} + \ln \frac{\pi }{2} + 1\]
\[\frac{{{\pi ^2}}}{4} - \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]
\[\frac{{{\pi ^2}}}{8}.\]
\[\frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]Trả lời:
Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]
Khi đó
\[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \smallint \left( {x + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x = \smallint x{\rm{d}}x + \smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.\]
Đặt
\[t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime }{\rm{d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\]
Suy ra
\[\smallint \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x = \smallint \frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\]
Do đó
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.}\\{ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.}\\{ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D\[\smallint f(5x + 2)dx = 5F(x) + 2 + C\]
\[\smallint f(5x + 2)dx = F(5x + 2) + C\]
\[\smallint f(5x + 2)dx = \frac{1}{5}F(5x + 2) + C\]
\[\smallint f(5x + 2)dx = 5F(5x + 2) + C\]
Đặt \[u = 5x + 2 \Rightarrow du = 5dx\]
\[ \Rightarrow \smallint f(5x + 2)dx = \smallint f\left( u \right).\frac{1}{5}du = \frac{1}{5}\smallint f\left( u \right)du\]
\[ = \frac{1}{5}F\left( u \right) + C = \frac{1}{5}F\left( {5x + 2} \right) + C\]
Đáp án cần chọn là: C
3
4
1
2
Ta có:\[F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right)dx = \smallint x\sqrt {{x^2} - m} dx\]
Đặt \[t = \sqrt {{x^2} - m} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - m \Leftrightarrow tdt = xdx\]
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint t.tdt = \smallint {t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - m} } \right)}^3}}}{3} + C\]
Theo bài ra ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F(\sqrt 2 ) = \frac{7}{3}}\\{F(\sqrt 5 ) = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{\frac{{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{\frac{{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3}}}{3} - \frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} = \frac{7}{3}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3} = 7}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{7}{3}}\\{{{\left( {\sqrt {5 - m)} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {2 - m)} } \right)}^3} - 7 = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.\)
Xét hàm số \[f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7\] với\[m \le 2\]
Ta có
\[f'\left( m \right) = - \frac{3}{2}\sqrt {5 - m} + \frac{3}{2}\sqrt {2 - m} = \frac{3}{2}\left( {\sqrt {2 - m} - \sqrt {5 - m} } \right)\]
Vì \[2 - m < 5 - m\,\,\forall m \le 2 \Rightarrow \sqrt {2 - m} < \sqrt {5 - m} \,\,\forall m \le 2\] do đó\[f'\left( m \right) < 0\,\,\forall m \le 2\]
Suy ra hàm số f(m) nghịch biến trên\[\left( { - \infty ;2} \right]\]
Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà f(1)=0 nên m=1là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Vậy có 1 giá trị của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
\[\ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\ln \left| {\sin x} \right| + C\]
\[\sin x + C\]
\[\tan x + C\]
\[\smallint \cot xdx = \smallint \frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx\]
Đặt \[t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\]
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\smallint \cot xdx = \smallint \frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx = \smallint \frac{{dt}}{t} = \ln \left| t \right| + C}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \ln \left| {\sin x} \right| + C}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
Học liệu phổ biến ĐHQG Hà Nội
ĐHQG Hà Nội
Thêm cảm hứng cho môn học
Biến kiến thức quen thuộc thành hoạt động học tập thú vị.
