ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Tích phân
40 câu hỏi
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right].\]Chọn mệnh đề sai?
\[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)dx\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b kdx = k\left( {b - a} \right)\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_b^c f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_b^a f\left( { - x} \right)dx\]
Các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề D sai.
Đáp án cần chọn là: D
Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\;\]và k là một số thực trên R. Cho các công thức:
a) \[\mathop \smallint \limits_a^a f\left( x \right)dx = 0\]
b) \[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)dx\]
c) \[\mathop \smallint \limits_a^b kf\left( x \right)dx = k\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx\]
Số công thức sai là:
1
2
3
0
Dễ thấy các công thức a) đúng vì tích phân có hai cận bằng nhau thì có giá trị 0.
Công thức c) là đúng theo tính chất tích phân.
Công thức b) sai vì \[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)dx\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \[\left[ {1;4} \right]\;\]và \[f\left( 1 \right) = 2,f\left( 4 \right) = 10\]. Giá trị của \[I = \int\limits_1^4 {f\prime (x)dx} \] là
I=12
I=48
I=8
I=3
\[I = \int\limits_1^4 {f\prime (x)dx} = f(x)|_1^4 = f(4) - f(1) = 10 - 2 = 8\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right],\;\]có \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 5.\]. Tính \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x\].
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x = - \,1.\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x = 1.\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x = 2.\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x = - \,2.\]
Ta có
\[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^1 3dx - 2\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx = 3x|_0^1 - 2\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx = 3 - 2\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx\]
Mặt khác
\[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 5 \Rightarrow 3 - 2\,\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x = 5 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right){\rm{d}}x = - \,1.\]
Đáp án cần chọn là: A
Đặt \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x tdt\]. Khi đó F′(x) là hàm số nào dưới đây?
\[F'\left( x \right) = x\]
\[F'\left( x \right) = 1\]
\[F\left( x \right) = x - 1\]
\[F'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]
Ta có:\[F(x) = \int\limits_1^x {1tdt} = \frac{{{t^2}}}{2}\mid _1^x - \frac{1}{2} \Rightarrow F\prime (x) = x\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x \left( {t + 1} \right)dt\]. Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\;\]là:
−1
2
\[ - \frac{{55}}{{32}}\]
-2
Ta có:
\[F(x) = \int\limits_1^x {(t + 1)dt} = \left( {\frac{{{t^2}}}{2} + t} \right)\left| {_1^x} \right. = \frac{{{x^2}}}{2} + x - \frac{1}{2} - 1 = \frac{{{x^2}}}{2} + x - \frac{3}{2}\]
Hàm số\[y = F\left( x \right)\]là hàm số bậc hai, hệ số a>0 nên nó đạt GTNN tại\[x = - 1 \in \left[ { - 1;1} \right]\]
Khi đó\[F( - 1) = \frac{1}{2} + ( - 1) - \frac{3}{2} = - 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}\] và \[g(x) = {x^3}\]. Chọn mệnh đề đúng:
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx \ge 0\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 g\left( x \right)dx \le 0\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 g\left( x \right)dx \ge \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx \le 0\]
Vì \[f\left( x \right) = {x^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] nên\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx \ge 0\] Do đó A đúng, D sai.
Vì \[g\left( x \right) = {x^3} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] nên\[\mathop \smallint \limits_0^1 g\left( x \right)dx \ge 0\] Do đó B sai.
Vì \[{x^2} \ge {x^3}\] trên\[\left[ {0;1} \right]\] nên\[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx \ge \mathop \smallint \limits_0^1 g\left( x \right)dx\] Do đó C sai.
Đáp án cần chọn là: A
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên R và các số thực a<b
\[\mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)d{\rm{x}} = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)d{\rm{x}} + \mathop \smallint \limits_b^c f\left( x \right)d{\rm{x}}\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)d{\rm{x}} = \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)d{\rm{x}} - \mathop \smallint \limits_b^c f\left( x \right)d{\rm{x}}\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)d{\rm{x}} = \mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)d{\rm{x}} + \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)d{\rm{x}}\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b cf\left( x \right)d{\rm{x}} = - {\rm{c}}\mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)d{\rm{x}}\]
Dựa vào các đáp án ta có nhận xét sau:
\[\mathop \smallint \limits_a^c f(x)dx = \mathop \smallint \limits_a^b f(x)dx + \mathop \smallint \limits_b^c f(x)dx\] => A đúng
\[\mathop \smallint \limits_a^b f(x)dx = \mathop \smallint \limits_a^c f(x)dx - \mathop \smallint \limits_b^c f(x)dx\] B đúng
\[\mathop \smallint \limits_a^b f(x)dx = \mathop \smallint \limits_b^a f(x)dx + \mathop \smallint \limits_a^c f(x)dx\] C sai
\[\mathop \smallint \limits_a^b cf(x)dx = - c\mathop \smallint \limits_b^a f(x)dx\] D đúng.
Đáp án cần chọn là: C
Nếu \[f\left( 1 \right) = 12,f\prime (x)\;\] liên tục và \[\int\limits_1^4 {f\prime (x)dx = 17} \]thì giá trị của f(4) bằng:
29
5
19
40
Ta có:
\[\int\limits_1^4 {f\prime (x)dx = 17} \Rightarrow f(x)|_1^4 = 17 \Rightarrow f(4) - f(1) = 17\]
\[ \Rightarrow f(4) - 12 = 17 \Rightarrow f(4) = 29\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[\mathop \smallint \limits_2^5 f\left( x \right)dx = 10\], khi dó \[\mathop \smallint \limits_5^2 \left[ {2 - 4f\left( x \right)} \right]dx\] có giá trị là:
32
34
46
40
Ta có:
\[\mathop \smallint \limits_5^2 \left[ {2 - 4f\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \limits_5^2 2dx - 4\mathop \smallint \limits_5^2 f(x)dx = 2x\left| {_5^2} \right. + 4\mathop \smallint \limits_2^5 f(x)dx = 2.2 - 2.5 + 4.10 = 34\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \[\mathop \smallint \limits_a^d f\left( x \right)dx = 10,\mathop \smallint \limits_b^d f\left( x \right)dx = 18,\mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx = 7\]. Giá trị của \[\mathop \smallint \limits_b^c f\left( x \right)dx\] là:
−15
7
15
−7
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop \smallint \limits_a^d f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_b^d f\left( x \right)dx}\\{ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^d f\left( x \right)dx - \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx - \mathop \smallint \limits_b^d f\left( x \right)dx}\\{ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx = 10 - 7 - 18 = - 15 \Rightarrow \mathop \smallint \limits_b^c f\left( x \right)dx = 15}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho biết \[\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = - 2,\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx = 3,\mathop \smallint \limits_1^4 g\left( x \right)dx = 7\]. Chọn khẳng định sai?
\[\mathop \smallint \limits_1^4 \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = 10\]
\[\mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx = - 5\]
\[\mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx = 5\]
\[\mathop \smallint \limits_1^4 \left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = - 2\]
Ta có:\[\mathop \smallint \limits_1^4 \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx = 10\] nên A đúng.
\[\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx \Rightarrow \mathop \smallint \limits_3^4 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx - \mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\]nên C đúng, B sai.
\[\mathop \smallint \limits_1^4 \left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 4\mathop \smallint \limits_1^4 f\left( x \right)dx - 2\mathop \smallint \limits_1^4 g\left( x \right)dx = - 2\]nên D đúng.
Đáp án cần chọn là: B
Giả sử A,B là các hằng số của hàm số \[f(x) = Asin\pi x + B{x^2}\] Biết \[\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 4\]giá trị của B là:
1
2
32
Kết quả khác
Ta có:\[\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_0^2 \left( {A\sin \pi x + B{x^2}} \right)dx = 4\]
\[ \Leftrightarrow \left( { - \frac{A}{\pi }cos\pi x + \frac{B}{3}{x^3}} \right)\left| {_0^2} \right. = 4 \Leftrightarrow \frac{B}{3}{.2^3} = 4 \Leftrightarrow B = \frac{3}{2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho số thực a thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} dx = {e^2} - 1\), khi đó a có giá trị bằng
1.
−1.
0.
2.
Ta có\(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} dx = {e^2} - 1 = {e^{x + 1}}\left| {_{ - 1}^a} \right. = {e^{a + 1}} - 1\)
Vậy yêu cầu bài toán trở thành\[{e^{a + 1}} - 1 = {e^2} - 1 \Leftrightarrow a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 22?
\[\mathop \smallint \limits_1^{{e^2}} \ln xdx\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 2dx\]
\[\mathop \smallint \limits_0^\pi \sin xdx\]
\[\mathop \smallint \limits_0^2 xdx\]
+)\(\int\limits_0^1 {2dx = 2x\left| {_0^1} \right.} = 20\)
+)\(\int\limits_0^2 {xdx = \frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^2} \right.} = 2\)
+)\(\int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx = - cosx\left| {_0^\pi } \right.} = 2\)
Do đó ta dự đoán chỉ có đáp án A là kết quả khác 2.
Đáp án cần chọn là: A
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 {x^5}dx\] có giá trị là:
\[\frac{{19}}{3}\]
\[\frac{{32}}{3}\]
\[\frac{{16}}{3}\]
\[\frac{{21}}{2}\]
Ta có:\(I = \int\limits_1^1 {{x^5}dx = \frac{{{x^6}}}{6}} \left| {_1^2} \right. = \frac{{21}}{2}\)
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số bậc ba \[f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}} \right)\] thỏa mãn: \[f\left( 1 \right) = 10,f\left( 2 \right) = 20.\]. Khi đó \(\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx} \) bằng:
30
18
20
36
Theo đề bài ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(1) = 10}\\{f(2) = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + b + c = 10}\\{{2^3} + {2^2}.a + 2b + c = 20}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 9}\\{4a + 2b + c = 12}\end{array}} \right. \Rightarrow 3a + b = 3\end{array}\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx} = f(x)\left| {_0^3} \right. = f(3) - f(0)\)
\[ = {3^3} + {3^2}.a + 3b + c - c = 27 + 9a + 3b\]
\[ = 27 + 3(3a + b) = 27 + 3.3 = 36\]
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị của b để \(\int\limits_1^b {\left( {2x - 6} \right)} dx = 0\) là:
b=1 hoặc b=−1
b=0 hoặc b=1
b=0 hoặc b=5
b=1 hoặc b=5
Ta có:
\(\int\limits_1^b {\left( {2x - 6} \right)} dx = 0 \Leftrightarrow \int\limits_1^b {2xdx - } \int\limits_1^b {6dx = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left| {_1^b} \right.} - 6x\left| {_1^b} \right. = 0\)
\[ \Leftrightarrow {b^2} - 1 - 6b + 6 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 6b + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: D
Nếu \[\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{dx}}{{x + 3}}\]được viết dưới dạng \[ln\frac{a}{b}\;\] với a,b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a,b là 1. Chọn khẳng định sai:
\[3a - b < 12\]
\[a + 2b = 13\]
\[a - b > 2\]
\[{a^2} + {b^2} = 41\]
Ta có:\[\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| {_1^2} \right. = ln5 - ln4 = ln\frac{5}{4}\]
Do đó\[a = 5,b = 4\]
Khi đó:\[3a - b = 3.5 - 4 = 11 < 12\] nên A đúng.
\[a + 2b = 5 + 2.4 = 13\] nên B đúng.
\[a - b = 5 - 4 = 1 < 2\] nên C sai.
\[{a^2} + {b^2} = {5^2} + {4^2} = 41\] nên D đúng.
Đáp án cần chọn là: C
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5\]và \[\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]^2}dx = 36\]thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
30
31
5
10
Ta có:\[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5\]
\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]^2}dx = 36 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 [{f^2}(x) + 2f(x) + 1]dx = 36\\ \Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 [{f^2}(x) + 2f(x) + 1]dx - \mathop \smallint \limits_0^1 [{f^2}(x) - f(x)]dx = 36 - 5\\ \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 [3f(x) + 1]dx = 31 \Leftrightarrow 3\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx + \mathop \smallint \limits_0^1 dx = 31\\ \Leftrightarrow 3\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx + x\left| {_0^1} \right. = 31 \Leftrightarrow 3\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx + 1 = 31\\ \Leftrightarrow 3\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx = 30 \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx = 10.\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( {0; + \infty } \right)\;\]và thỏa mãn \[2f(x) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\;\] với mọi x>0. Tính \[\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx\].
\[\frac{7}{{12}}\]
\[\frac{7}{4}\]
\[\frac{9}{4}\]
\[\frac{3}{4}\]
Ta có: \[2f\left( x \right) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\] với\[x = \frac{1}{t}\]ta có \[2f\left( {\frac{1}{t}} \right) + \frac{1}{t}f\left( t \right) = \frac{1}{t}\]
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{t}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{t}f\left( t \right)} \right)\]
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right)\]
Khi đó ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{2f\left( x \right) + \frac{1}{2}x\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right) = x}\\{ \Leftrightarrow 2f\left( x \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}f\left( x \right) = x}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}f\left( x \right) = x - \frac{1}{2}}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 \left( {x - \frac{1}{2}} \right)dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \frac{3}{4}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_2^5 \frac{{dx}}{x}\] có giá trị bằng
3ln3.
\[\frac{1}{3}\ln 3\]
\[\ln \frac{5}{2}\]
\[\ln \frac{2}{5}\]
\[I = \mathop \smallint \limits_2^5 \frac{{dx}}{x} = ln|x|\left| {_2^5} \right. = ln5 - ln2 = ln\frac{5}{2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn \[[0;\pi ]\]đạt giá trị bằng 0 ?
\[f(x) = \cos 3x\]
\[f(x) = \sin 3x\]
\[f(x) = \cos \left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)\]
\[f(x) = \sin \left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)\]
Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:
+)\(\int\limits_0^\pi {cos3xdx = \frac{1}{3}sin3x} \left| {_0^\pi } \right. = 0\)
+)\(\int\limits_0^\pi {cos3xdx = - \frac{1}{3}sin3x} \left| {_0^\pi } \right. = \frac{2}{3}\)
+)\(\int\limits_0^\pi {cos\left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)dx = 4sin\left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)} \left| {_0^\pi } \right. = 2\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\)
+)\(\int\limits_0^\pi {cos\left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)dx = - 4sin\left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)} \left| {_0^\pi } \right. = 2\sqrt 2 \)
Đáp án cần chọn là: A
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\] có giá trị bằng
\[\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}\]
\[2\ln 3\]
\[\frac{1}{2}\ln 3\]
\[2\ln \frac{1}{3}\]
Cách 1:
\[\begin{array}{l}I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\\ = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\left( {co{s^2}\frac{x}{2} + si{n^2}\frac{x}{2}} \right)}}{{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}dx\\ = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \left( {cot\frac{x}{2} + tan\frac{x}{2}} \right)dx\\ = \left[ {\ln \left| {sin\frac{x}{2}} \right| - \ln \left| {cos\frac{x}{2}} \right|} \right]\left| {_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}} \right.\\ = \left[ {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] - \left[ {\ln \frac{1}{2} - \ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]\\ = \ln \sqrt 3 \end{array}\]
Cách 2:
Bước 1: Dùng máy tính như hình dưới, thu được giá trị 0,549306...
Bước 2: Lấy\[{e^{0,549306...}}\]cho kết quả \[1,732050808... \approx \sqrt 3 \]Chọn\[\frac{1}{2}\ln 3\]
Cách 3:
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Chọn \[\frac{1}{2}\ln 3\]
Đáp án cần chọn là: C
Nếu \[\mathop \smallint \limits_{ - 2}^0 \left( {4 - {e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)dx = K - 2e\]thì giá trị của K là
12,5.
9.
11.
10.
\[K = \mathop \smallint \limits_{ - 2}^0 \left( {4 - {e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)dx + 2e = (4x + 2{e^{ - \frac{x}{2}}})\mid _{ - 2}^0 + 2e = 2 - ( - 8 + 2e) + 2e = 10\]
Đáp án cần chọn là: D
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx\] có giá trị bằng
\[\frac{{2\ln 2}}{3}\]
\[ - \frac{{2\ln 2}}{3}\]
\[ - 2\ln 2\]
\[2\ln 2\]
\(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} - x - 2}}} dx = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(x - 2)(x + 1)}}} dx = \frac{1}{3}\)
\(\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]} dx = \frac{1}{3}\left[ {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]\left| {_0^1} \right. = - \frac{{2ln2}}{3}\)
Đáp án cần chọn là: B
Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^3 x(x - 1)dx\] có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?
\[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {{x^2} + x - 3} \right)dx\]
\[3\mathop \smallint \limits_0^{3\pi } \sin xdx\]
\[\mathop \smallint \limits_0^{\ln \sqrt {10} } {e^{2x}}dx\]
\[\mathop \smallint \limits_0^\pi \cos (3x + \pi )dx\]
Ta có :\(\int\limits_0^3 {x(x - 1)dx = \int\limits_0^3 {({x^2} - x)dx = \frac{{{x^3}}}{3}} } - \frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^3} \right. = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}\)
+)\[\mathop \smallint \limits_0^{\ln \sqrt {10} } {e^{2x}}dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| {_0^{\ln \sqrt {10} }} \right. = \frac{{{e^{2\ln \sqrt {10} }} - 1}}{2} = \frac{9}{2}\]
+)\[3\mathop \smallint \limits_0^{3\pi } \sin xdx = - 3cosx\left| {_0^{3\pi }} \right. = 6\]
+)\[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {{x^2} + x - 3} \right)dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 3x} \right)\left| {_0^2} \right. = \frac{8}{3} + 2 - 6 = - \frac{4}{3}\]
+)\[\mathop \smallint \limits_0^\pi \cos (3x + \pi )dx = \frac{1}{3}sin(3x + \pi )\left| {_0^\pi } \right. = \frac{1}{3}(sin4\pi - sin\pi ) = 0\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 {x^3}dx,J = \int\limits_0^2 {xdx} \]. Tìm mối quan hệ giữa I và J
\[I.J = 8\]
\[I.J = \frac{{32}}{5}\]
\[I - J = \frac{{128}}{7}\]
\[I + J = \frac{{64}}{9}\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^2 {x^3}dx = \frac{{{x^4}}}{4}\left| {_0^2} \right.\]và\[J = \int\limits_0^2 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| {_0^2} \right. = 2\]
Suy ra\[I.J = 8\]
Đáp án cần chọn là: A
Tích phân \[I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{4{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}dx\] có giá trị bằng
4.
3.
2.
1.
\[\frac{{4{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}} = \frac{{4{{\sin }^3}x(1 - \cos x)}}{{{{\sin }^2}x}} = 4\sin x - 4\sin x\cos x = 4\sin x - 2\sin 2x\]
\[ \Rightarrow I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{\pi }{2}} (4\sin x - 2\sin 2x)dx = 2.\]
Đáp án cần chọn là: C
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{2\pi } \sqrt {1 + \sin x} dx\] có giá trị bằng
\[4\sqrt 2 \]
\[3\sqrt 2 \]
\(\sqrt 2 \)
\[ - \sqrt 2 \]
Phương pháp tự luận
\[\begin{array}{*{20}{c}}{I = \mathop \smallint \limits_0^{2\pi } \sqrt {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \mathop \smallint \limits_0^{2\pi } \left| {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right|dx = \sqrt 2 \mathop \smallint \limits_0^{2\pi } \left| {\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}\\{ = \sqrt 2 \left[ {\mathop \smallint \limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} \sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)dx - \mathop \smallint \limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } \sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)dx} \right] = 4\sqrt 2 }\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^5 \left| {{x^2} - 2x - 3} \right|dx\] có giá trị bằng:
0.
\[\frac{{64}}{3}\]
7
12,5
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^5 {\mid x2 - 2x - 3\mid dx = } \int\limits_{ - 1}^5 {|(x - 3)(x + 1)|dx = - } \int\limits_{ - 1}^3 {({x^2} - 2x - 3)dx + } \int\limits_3^5 {({x^2} - 2x - 3)dx} \\ = - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)\left| {_{ - 1}^3} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)\left| {_3^5} \right. = \frac{{64}}{3}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Tích phân \[\mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{x^2} - x + 4}}{{x + 1}}dx\]bằng
\[\frac{1}{3} + 6\ln \frac{4}{3}\]
\[\frac{1}{2} + 6\ln \frac{4}{3}\]
\[\frac{1}{2} - \ln \frac{4}{3}\]
\[\frac{1}{2} + \ln \frac{4}{3}\]
\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{x^2} - x + 4}}{{x + 1}}dx = \mathop \smallint \limits_2^3 \left( {x - 2 + \frac{6}{{x + 1}}} \right)dx\\ = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 6ln|x + 1|} \right)\left| {_2^3} \right. = \frac{1}{2} + 6ln\frac{4}{3}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị của tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)dx\] là:
\[I = \frac{{32}}{{128}}\pi \]
\[I = \frac{{33}}{{128}}\pi \]
\[I = \frac{{31}}{{128}}\pi \]
\[I = \frac{{30}}{{128}}\pi \]
Ta có:
\[\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\]
\[ = \left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\]
\[\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\]
\[ = \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right) = 1 - \frac{5}{4}{\sin ^2}2x + \frac{3}{8}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^2}\]
\[ = 1 - \frac{5}{4}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{3}{8}.{\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2}\]
\[ = \frac{3}{8} + \frac{5}{8}\cos 4x + \frac{3}{{32}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right) = \frac{{15}}{{32}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{32}}{\cos ^2}4x\]
\[ = \frac{{15}}{{32}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{32}}.\frac{{1 + \cos 8x}}{2} = \frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x\]
Do đó\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x} \right)dx\]
\[ = \frac{{33}}{{64}}x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \frac{7}{{64}}sin4x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \frac{3}{{512}}sin8x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. = = \frac{{33}}{{128}}\pi \]
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị của a để đẳng thức \[\mathop \smallint \limits_1^2 \left[ {{a^2} + (4 - 4a)x + 4{x^3}} \right]dx = \mathop \smallint \limits_2^4 2xdx\] là đẳng thức đúng
4.
3.
5.
6.
Ta có: \(\int\limits_2^4 {2xdx = {x^2}} \left| {_2^4} \right. = 12\)
\(\int\limits_1^2 {[{a^2} + (4 - 4a)x + 4{x^3}]dx} = [{a^2}x + (2 - 2a){x^2} + {x^4}]\left| {_1^2} \right. = {a^2} - 6a + 21\)
\[ \Rightarrow {a^2} - 6a + 21 = 12 \Leftrightarrow a = 3.\]
Đáp án cần chọn là: B
Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\cos 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx = a + \ln b\] với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a+3b bằng
3
5
6
4
Ta có
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\cos 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx\]
Đặt\[sinx - cosx + 3 = t \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(cosx + sinx)dx = dt}\\{cosx - sinx = 3 - t}\end{array}} \right.\]
Đổi cận\[x = 0 \Rightarrow t = 2;\,x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 3\]
Suy ra
\(I = \int\limits_2^3 {\frac{{(3 - t)dt}}{{{t^2}}}} = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{3}{{{t^2}}} - \frac{1}{t}} \right)} dt = \left( { - \frac{3}{t} - \ln \left| t \right|} \right)\left| {_2^3} \right. = \frac{1}{2} + ln2 - ln3 = \frac{1}{2} + ln\frac{2}{3}\)
Hay \[a = \frac{1}{2};b = \frac{2}{3} \Rightarrow 2a + 3b = 3.\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số f(x) có f(0)=0 và \[f\prime (x) = si{n^4}x\forall x \in \mathbb{R}\]. Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( x \right)dx\] bằng:
\[\frac{{{\pi ^2} - 6}}{{18}}\]
\[\frac{{{\pi ^2} - 3}}{{32}}\]
\[\frac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\]
\[\frac{{3{\pi ^2} - 6}}{{112}}\]
Ta có\[f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)dx = \smallint {\sin ^4}xdx\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = \smallint {{\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)}^2}dx}\\{ = \frac{1}{4}\smallint \left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx}\\{ = \frac{1}{4}\smallint \left( {1 - 2\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx}\\{ = \frac{1}{4}\left( {x - \sin 2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.\frac{{\sin 4x}}{4}} \right) + C}\\{ = \frac{{3x}}{8} - \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}} + C}\end{array}\]
Theo bài ra ta có\[f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{3x}}{8} - \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}}\]
Vậy\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{3x}}{8} - \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}}} \right)dx = \frac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\] (sử dụng MTCT).
Đáp án cần chọn là: C
Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc \[a\left( t \right) = 6 - 3t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\] trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:
10(m)
6(m)
12(m)
8(m)
Ta có\[v\left( t \right) = \smallint a\left( t \right)dt = \smallint \left( {6 - 3t} \right)dt = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + C\]
Theo bài ra ta có: Ô tô đang đứng yên và bắt đầu chuyển động, do đó\[v\left( 0 \right) = 0\]
\[ \Rightarrow C = 0\]
Khi đó ta có\[v\left( t \right) = 6t - \frac{3}{2}{t^2}\] đây là một parabol có bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại\[t = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - \frac{3}{2}} \right)}} = 2\]
Vậy quãng đường ô tô đi được từ khi chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:\[S = \mathop \smallint \limits_0^2 v\left( t \right)dt = \mathop \smallint \limits_0^2 \left( {6t - \frac{3}{2}{t^2}} \right)dt = 8\,\,\left( m \right).\]
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị của tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^{2017\pi } \sqrt {1 - \cos 2x} dx\] là
0.
\[ - 4043\sqrt 2 \]
\[2\sqrt 2 \]
\[4034\sqrt 2 \]
Do hàm số\[f(x) = \sqrt {1 - \cos 2x} = \sqrt 2 \left| {\sin x} \right|\] là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì\[T = \pi \] nên ta có
\[\int\limits_0^T {f(x)dx = } \int\limits_T^{2T} {f(x)dx = } \int\limits_{2T}^{3T} {f(x)dx = ... = \int\limits_{(n - 1)T}^{nT} {f(x)dx} } \]
\( \Rightarrow \int\limits_0^{nT} {f(x)dx = } \int\limits_0^T {f(x)dx + \int\limits_T^{2T} {f(x)dx + \int\limits_{2T}^{3T} {f(x)dx + ... + \int\limits_{(n - 1)T}^{nT} {f(x)dx} = } } } n\int\limits_0^T {f(x)dx} \)
\( \Rightarrow \int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - cos2x} } dx\)
\( = 2017\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - cos2x} } dx\)
\( = 2017\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {sinxdx = 4034\sqrt 2 } \)
Đáp án cần chọn là: D
Tìm hai số thực A,B sao cho \[f(x) = Asin\pi x + B\], biết rằng \[f\prime \left( 1 \right) = 2\;\] và \[\mathop \smallint \limits_0^2 f(x)dx = 4\].
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = - 2}\\{B = - \frac{2}{\pi }}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = 2}\\{B = - \frac{2}{\pi }}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = - 2}\\{B = \frac{2}{\pi }}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = - \frac{2}{\pi }}\\{B = 2}\end{array}} \right.\)
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = A\sin \pi x + B \Rightarrow f'(x) = A\pi \cos \pi x}\\{f'(1) = 2 \Rightarrow A\pi \cos \pi = 2 \Rightarrow A = - \frac{2}{\pi }}\end{array}\]
\[\mathop \smallint \limits_0^2 f(x)dx = 4 \Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^2 (A\sin \pi x + B)dx = 4\]
\[ \Rightarrow - \frac{A}{\pi }\cos 2\pi + 2B + \frac{A}{\pi }\cos 0 = 4 \Rightarrow B = 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right].\;\]Đặt \[g\left( x \right) = 1 + 2\mathop \smallint \limits_0^x f\left( t \right)dt\]. Biết \[g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3}\] với mọi \[x \in \left[ {0;1} \right].\] Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt[3]{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}}\,dx\]có giá trị lớn nhất bằng
4
\[\frac{5}{3}\]
5
\[\frac{4}{3}\]
Ta có\[g\left( x \right) = 1 + 2\mathop \smallint \limits_0^x f\left( t \right)dt\]suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g(x) - 1 = 2\int\limits_0^2 {f(t)dt} }\\{g(0) = 1 + \int\limits_0^0 {f(t)dt} }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\prime (x) = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{{g\prime (x)}}{2}}\\{g(0) = 1}\end{array}} \right.\)
Mà
\[g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge {\left[ {\frac{{g'\left( x \right)}}{2}} \right]^3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{g\left( x \right)}} \ge \frac{{g'\left( x \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{g'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{g\left( x \right)}}}} \le 2\]
Với\[t \in \left[ {0;1} \right]\]Lấy tích phân hai vế ta được
\(\int\limits_0^t {\frac{{g\prime (x)}}{{\sqrt[3]{{g\left( x \right)}}}}} dx \le \int\limits_0^t {2dx} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^t {{{[g(x)]}^{\frac{{ - 1}}{3}}}} d(g(x)) \le 2t\\ \Leftrightarrow 2t \ge 32{[g(x)]^{\frac{2}{3}}}\left| {_0^t} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{4}{3}t \ge \sqrt[3]{{{g^2}(t)}} - \sqrt[3]{{{g^2}(0)}}\end{array}\)
Mà\[g\left( 0 \right) = 1\] nên\[\sqrt[3]{{{g^2}\left( t \right)}} \le \frac{4}{3}t + 1 \Rightarrow \sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}} \le \frac{4}{3}x + 1\]
Từ đó ta có\[\mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}}\,dx \le \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {\frac{4}{3}x + 1} \right)dx\]
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}(x)}}} dx \le \left( {\frac{2}{3}{x^2} + x} \right)\left| {_0^1} \right.\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}(x)}}} dx \le \frac{5}{2}\)
Hay giá trị lớn nhất cần tìm là\[\frac{5}{3}.\]
Đáp án cần chọn là: B
