ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình mặt cầu
22 câu hỏi
R=3
R=9
\[R = \sqrt 3 \]
\[R = 3\sqrt 3 \]
Phương trình có dạng \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = - 1,b = 2,c = 1,d = - 3\]
Ta có công thức\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} = 3\]
Đáp án cần chọn là: A
I(−1,2,−4) và \[R = 5\sqrt 2 \]
I(−1,2,−4) và \[R = 2\sqrt 5 \]
I(1,−2,4) và R=20
I(1,−2,4) và \[R = 2\sqrt 5 \]
Phương trình có dạng\[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\]với\[a = 1,b = - 2,c = 4\]và \[R = 2\sqrt 5 \]có tâm\[I\left( {1; - 2;4} \right)\]
Đáp án cần chọn là: D
Mặt cầu có tâm I(4,−1,0) và bán kính R=4.
Mặt cầu có tâm I(4,−1,0) và bán kính R=16.
Mặt cầu có tâm I(−4,1,0) và bán kính R=16.
Mặt cầu có tâm I(−4,1,0) và bán kính R=4.
Phương trình có dạng\[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = - 4,b = 1,c = 0,d = 1\]
có tâm \[I( - a, - b, - c) = (4, - 1,0)\]
có \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = 4\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.\]
\[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.\]
\[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\]
\[3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0\]
Phương trình đáp án B có dạng\[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\]với\[a = - 1,b = 2,c = 1\]và R=3 là phương trình mặt cầu.
Phương trình đáp án A có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = - 1,b = - 1,c = - 1,d = - 8\]có\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {11} \]là một phương trình mặt cầu.
Xét phương án C có
\[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\]
Phương trình có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\]với\[a = 1,b = - \frac{1}{2},c = - \frac{1}{2},d = 8\] có\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 8 < 0.\]
Không phải là phương trình mặt cầu.
Đáp án cần chọn là: C
\[{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt 2 \]
\[{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt 2 \]
\[{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]
\[{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\]
Mặt cầu tâm I(0;0;1) bán kính\[R = \sqrt 2 \]có phương trình
\[{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: C
\[\emptyset \]
\[\left\{ { - \frac{2}{3}} \right\}\]
\[\left\{ 0 \right\}\]
\[\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]
(S) có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] với\[a = - 1,b = m,c = - 2\]
và\[d = m + 5\]
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]
Điểm A(1,1,1) thuộc phương trình mặt cầu
\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\] thì ta có
\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}\]
(thỏa mãn)
Đáp án cần chọn là: B
m>6
m≥6
m≤6
m<6
(S) có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] với\[a = - 1,b = - 1,c = - 2\] và d=m
(S)là phương trình mặt cầu khi ta có \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\]
Đáp án cần chọn là: D
\[{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\]
\[{(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\]
Mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−3) và đi qua điểm A(1,0,4) có bán kính
\[R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} \]
Do đó\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\]
Đáp án cần chọn là: D
\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = \sqrt {13} \]
\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\]
\[{(x + 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 17\]
\[{(x + 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\]
I là hình chiếu vuông góc của M(1,−2,3) trên trục Ox. Suy ra I(1,0,0).
Ta có\[\overrightarrow {IM} = (0, - 2,3) \Rightarrow R = IM = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \]
Suy ra phương trình mặt cầu:\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\]
Đáp án cần chọn là: B
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[(S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 65.\]
\[(S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9.\]
\[(S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64.\]
\[(S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 65.\]
Giả sử M là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy).
Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\)
Ta có M thuộc d nên\[M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)\]
Vì M thuộc \[\left( {Oxy} \right):z = 0\]nên có \[ - t - 1 = 0\] hay t=−1, suy ra M(−1,−1,0).
Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm M(−1,−1,0), bán kính
\[MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {65} \]
Đáp án cần chọn là: A
(−2,0,2)
(−1,0,1)
(1,0,1)
(1,0,−1)
Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm I là trung điểm của AB. Suy ra ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{v}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = - 1}\\{{y_I} = 0}\\{{z_I} = 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 3.\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 9.\]
\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 9.\]
\[{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\]
Ta có\[EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}} = 2\sqrt 3 \]
Mặt cầu (S) đường kính EF nhận trung điểm I của EF là tâm, có I(1,2,0) và bán kính
\[R = \frac{1}{2}EF = \sqrt 3 \]
Đáp án cần chọn là: A
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\]
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm\[{I_A}(1, - 1,1)\]và\[{R_A} = \sqrt {13} \]
+ B cho mặt cầu tâm\[{I_B}(2, - 1,3)\]và\[{R_B} = 4\]
+ C cho mặt cầu tâm\[{I_C}( - 2,1, - 3)\]và\[{R_C} = 2\sqrt 3 \]
+ D cho mặt cầu tâm\[{I_D}(1, - 1,1)\]và\[{R_D} = \sqrt 5 \]
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \[(\alpha )\]hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy\[{I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\],nên ta tính bán kính\[R = IM\]rồi so sánh với\[{R_A},{R_D}\]
Có \[IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} \].Ta thấy\[IM \ne {R_A} \ne {R_D}\] Loại A và D
Đáp án cần chọn là: B
\[2\sqrt 6 .\]
\[2\sqrt 2 .\]
\(4\sqrt 2 \)
\(\sqrt 6 \)
Giả sử tâm I của mặt cầu (S) thuộc Oy, ta có I(0,t,0). Vì mặt cầu (S) qua A và B nên ta có\[IA = IB = R\]
Từ giả thiết IA=IB ta có\[I{A^2} = I{B^2}\]
\[ \Leftrightarrow {2^2} + {(t - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {t^2} + {1^2}\]
\[ \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow t = 2\]
Suy ra I(0,2,0) . Do đó \[R = IA = \sqrt 6 \]
Do đó, đường kính mặt cầu là\[2R = 2\sqrt 6 \]
Đáp án cần chọn là: A
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z - 6 = 0.\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0.\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y - 3z + 6 = 0.\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 12 = 0.\]
- Thử từng tọa độ các điểm A,B,C,D vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D
+ Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án A có
\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 - 6 \ne 0\]Loại A
Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 + 6 = 0\]
Thay B(1,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{1^2} + {2^2} + {1^2} - 3 - 6 - 3 + 6 = 0\]
Thay C(1,1,2) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{1^2} + {1^2} + {2^2} - 3 - 3 - 6 + 6 = 0\]
Thay D(2,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
\[{2^2} + {2^2} + {1^2} - 6 - 6 - 3 + 6 = 0\]
Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
\(\frac{1}{2}\)
\[\frac{1}{3}\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
0
S) có tâm\[I\left( {2m, - 2, - m} \right)\]
Bán kính\[R = \sqrt {4{m^2} + 4 + {m^2} - {m^2} - 4m} = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} = \sqrt {{{(2m - 1)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \]
Dấu = xảy ra khi\[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
m=−16.
m=16.
m=4.
m=−4.
Ta có: \[I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} \]
Ta có:\[R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16\]
Đáp án cần chọn là: B
M(3;6;9)
M(1;2;−9)
M(1;2;9)
M(−1;−2;1)
Tâm I(1;2;−5)
Ta có\[\overrightarrow {AI} = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM} = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)\]
Đáp án cần chọn là: B
\[4\pi \]
\[64\pi \]
\[\frac{{32\pi }}{3}\]
\[16\pi \]
Mặt cầu\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\]có bán kính
\[R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2} - 1} = 2\]
Vậy diện tích của mặt cầu (S) là: \[4\pi {.2^2} = 16\pi \]
Đáp án cần chọn là: D
T=9
T=13
T=15
T=18
Gọi M(x;y;z).
Theo bài ra ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165}\\{ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165}\\{ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0}\end{array}\]
Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm\[I\left( {2; - 1; - 1} \right)\]
\[ \Rightarrow a = 2,\,\,b = - 1,\,\,c = - 1\], bán kính\[R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 \]
Vậy\[T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\]
Đáp án cần chọn là: A
(2;−1;0)
(0;0;2)
(2;−1;2)
(0;0;−2)
Mặt cầu\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\]có tâm I(2;−1;−2).
Hình chiếu của I(2;−1;−2) lên trục Oz là I′(0;0;−2).
Đáp án cần chọn là: D
1
0
3
2
Thay tọa độ điểm O(0;0;0) vào phương trình mặt cầu ta có:
\[{0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0 \Rightarrow O \in \left( S \right)\]
Thay tọa độ điểm A(1;2;3) vào phương trình mặt cầu ta có:
\[{1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 = - 14 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( S \right)\]
Thay tọa độ điểm B(2;−1;−1) vào phương trình mặt cầu ta có:
\[{2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.2 - 4.\left( { - 1} \right) - 6.\left( { - 1} \right) = 12 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( S \right)\]
Vậy có 1 điểm thuộc mặt cầu (S).
Đáp án cần chọn là: A
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
Học liệu phổ biến ĐHQG Hà Nội
ĐHQG Hà Nội
Thêm cảm hứng cho môn học
Biến kiến thức quen thuộc thành hoạt động học tập thú vị.
