ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình đường thẳng

Ta có\[\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)\]nên chọn\[\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\]là vecto chỉ phương của dd.

Phương trình đường thẳng dd đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương

\[\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\]là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = - 3t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình đường thẳng AB nhận\[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\]là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng\[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\]

Ta có I là trung điểm của AB. Suy ra I(2,−1,1).

Ta có OI  nhận\[\overrightarrow {OI} = \left( {2; - 1;1} \right)\] là vectơ chỉ phương và đi qua điểm O(0,0,0) nên\[d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\]

Gọi I  là tâm của hình bình hành ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC. Ta có I(2,−1,1).

Phương trình BI cũng chính là phương trình đường chéo BD.

+ Phương trình BI nhận\[\overrightarrow {BI} = (4, - 4,0)\]là vectơ chỉ phương

+ qua điểm B(−2,3,1) và cũng qua điểm I(2,−1,1).

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là (1,1,0), đây không là vecto chỉ phương của BI.

Ta có\[\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = (2,1, - 1)\] và\[\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = (3,2,2)\]

Vì d vuông góc với \[{d_1}\]  và \[{d_2}\] nên có\[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; - 7;1} \right)\]

Vì dd qua A(1,2,3) nên có phương trình\[d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 7}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

H  là trực tâm của\[\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\]

Ta giả sử\[H\left( {x,y,z} \right)\] ta có

\[\overrightarrow {BC} = (0, - 3, - 4)\]

\[\overrightarrow {AC} = ( - 2,0, - 4)\]

\[\overrightarrow {AH} = (x - 2,y,z)\]

\[\overrightarrow {BH} = (x,y - 3,z)\]

\[\overrightarrow {AB} = ( - 2,3,0)\]

Điều kiện\[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\]

Điều kiện\[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\]

Ta tính\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\]

Điều kiện

\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\]

Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm\[M\left( {2;5;7 - 2\sqrt 2 } \right)\] và nhận\[\vec u = \left( {{m^2} - 2m;4 - m;0} \right)\] làm VTCP.

Có\[\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;4 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow AM = \sqrt {34 - 16\sqrt 2 } \]

Để\[d\left( {A,{\rm{\Delta }}} \right) = A{H_{\min }}\]  thì\[\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AM}}\] đạt GTNN hay cosα đạt GTLN.

Mà

\[\cos \alpha = \cos \left( {AM,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }}\]

Mà

\[\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} \]

\[ \Rightarrow \frac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }} \le \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } }}\]

\[ \Rightarrow \cos \alpha \] đạt GTLN nếu

\[\frac{{{m^2} - 2m}}{1} = \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 4 - m \Leftrightarrow 3{m^2} - 5m - 4 = 0\]

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là \(\frac{5}{3}\) .

- Thay tọa độ điểm \[A\left( {3 + m;\,\,4 + m;\,\,5 - 2m} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta có:\[\frac{{3 + m - 3}}{1} = \frac{{4 + m - 4}}{1} = \frac{{5 - 2m - 5}}{{ - 2}} \Leftrightarrow m = m = m\]  (luôn đúng)\[ \Rightarrow A \in d\]

- Thay tọa độ điểm\[B\left( {4 - n;\,\,5 - n;\,\,3 + 2n} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta có:\[\frac{{4 - n - 3}}{1} = \frac{{5 - n - 4}}{1} = \frac{{3 + 2n - 5}}{{ - 2}} \Leftrightarrow 1 - n = 1 - n = 1 - n\] (luôn đúng)\[ \Rightarrow B \in d\]

Vậy\[A \in d,\,\,B \in d\]