ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bài toán về điểm và vectơ
19 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \)Tọa độ của điểm M là
M(0;2;1)
M(1;2;0)
M(2;0;1)
M(2;1;0)
Ta có:\[\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\vec k \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)\]
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i \). Tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \)là:
(−3;0;1)
(0;−1;−3) .
(−2;1;1) .
(−3;0;−1) .
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {2\vec j - 3\vec i} \right) - \left( {2\vec j - \vec k} \right) = - 3\vec i + \vec k\]
Suy ra\[\overrightarrow {MN} = \left( { - 3;0;1} \right)\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\overrightarrow {BA} = ( - 1; - 2; - 4)\]
\[AB = \sqrt {21} \]
\[M\left( {1; - 1;1} \right)\]
\[\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\]
Ta có:\[\overrightarrow {BA} = (0 - 1; - 2 - 0;3 + 1) = ( - 1; - 2;4)\] Suy ra A sai.
Suy ra\[\overrightarrow {AB} = (1;2; - 4)\] D sai.
Có \[AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} = \sqrt {21} \] B đúng.
Mà M là trung điểm của AB nên M\[M\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right)\] C sai.
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;−3;5),N(6;−4;−1) và đặt \(u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
\[u = \left( {4; - 1; - 6} \right)\]
\[u = \sqrt {53} \]
\[u = 3\sqrt {11} \]
\[u = ( - 4;1;6)\]
Ta có\[\overrightarrow {MN} = (6 - 2; - 4 + 3; - 1 - 5) = (4; - 1; - 6)\]
Do đó\[|\overrightarrow {MN} | = \sqrt {{4^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {53} \]
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz cho ba vecto \[\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây sai?
\[\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 \]
\[\vec a \bot \vec b\]
\[\left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 \]
\[\vec b \bot \vec c\]
Kiểm tra lần lượt các điều kiện
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 }\\{\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 }\\{\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 1).1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right.\)
Lại có:\[\vec b.\vec c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0\] nên\[\vec b\]và\[\vec c\]không vuông góc.
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: \[\overrightarrow a \left( {4;2;5} \right),\overrightarrow b \left( {3;1;3} \right),\overrightarrow c \left( {2;0;1} \right)\]. Kết luận nào sau đây đúng
\[\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\]
3 véc tơ cùng phương.
3 véctơ đồng phẳng.
3 véctơ không đồng phẳng.
Tính\[\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\3&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\]Suy ra loại A
Tính \[\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = \left( {1;3; - 2} \right).\left( {2;0;1} \right) = 0\] Suy ra\[\vec a,\vec b,\vec c\]đồng phẳng.
Đáp án cần chọn là: C
Cho tam giác ABC biết A(2;4;−3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)có tọa độ là
(0;−9;9)
(0;−4;4)
(0;4;−4)
(0;9;−9)
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \]
Do tính chất trọng tâm có\[\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} \].Suy ra\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \]
Mà\[\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)\].Suy ra\[3\overrightarrow {AG} = (0; - 9;9)\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \)thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\)\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}\). Độ dài của vectơ \(\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]\) bằng:
\(3\sqrt 3 \).
9.
\(30\sqrt 3 \)
90.
Chú ý rằng\[\left( {5\vec a, - 2\vec b} \right) = {180^0} - \left( {\vec a,\vec b} \right) = {150^0}.\]
Sử dụng công thức\[\left| {\left[ {m\vec a,n\vec b} \right]} \right| = \left| {m.n} \right|.\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {m\vec a,n\vec b} \right)\]ta được\[\left| {\left[ {5\vec a, - 2\vec b} \right]} \right| = \left| {5.\left( { - 2} \right)} \right|.2\sqrt 3 .3.\sin {150^0} = 30\sqrt 3 .\]
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
D(−2;8;−3)
D(−4;8;−5)
D(−2;2;5)
D(−4;8;−3).
Có\[\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 + 1} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)\]và\[\overrightarrow {DC} = ( - 3 - {x_D};5 - {y_D};1 - {z_D})\]
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 - {x_D} = 1}\\{5 - {y_D} = - 3}\\{1 - {z_D} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = - 4}\\{{y_D} = 8}\\{{z_D} = - 3}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: D
Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;−4),B(1;1;−3),C(−2;0;5),D(−1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng
\[\frac{{\sqrt {618} }}{2}\] đvdt.
\[\sqrt {615} \] đvdt.
\[\sqrt {618} \] đvdt.
\[\sqrt {345} \] đvdt.
Có\[\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;1 - 4; - 3 + 4} \right) = \left( { - 1; - 3;1} \right)\]
và\[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2 - 2;0 - 4;5 + 4} \right) = \left( { - 4; - 4;9} \right)\]
Tính
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 4}&9\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\9&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 23;5; - 8} \right)\]
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có
\[{S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{{( - 23)}^2} + {5^2} + {{( - 8)}^2}} = \sqrt {618} \]
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \[\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right)\;\]và \[\overrightarrow c = \left( {5;1;7} \right).\]Giá trị mm bằng bao nhiêu để \[\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\;\]
m=−1
m=1
m=2
m=−2
Ta có:
\[\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&m\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\m&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)\]
\[\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m + 4 = 5}\\{ - 2 - 3m = 1}\\{7 = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho A(1;2;5),B(1;0;2),C(4;7;−1),D(4;1;a). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì aa bằng:
−10
0
7
−7
Có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1 - 1;0 - 2;2 - 5) = (0; - 2; - 3)}\\{\overrightarrow {AC} = (4 - 1;7 - 2; - 1 - 5) = (3;5; - 6)}\\{\overrightarrow {AD} = (4 - 1;1 - 2;a - 5) = (3; - 1;a - 5)}\end{array}} \right.\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = (27; - 9;6)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = (27; - 9;6).(3; - 1;a - 5) = 60 + 6a\)
\[A,B,C,D\]đồng phẳng khi\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - 10\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai điểm A(1;2;−1) và B(−1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .
M(0;1;0) hoặc M(0;4;0)
M(0;2;0) hoặc M(0;3;0)
M(0;−1;0) hoặc M(0;−4;0)
M(0;−2;0) hoặc M(0;−3;0)
M nằm trên trục tung, giả sử M(0;m;0). Ta có
\[\overrightarrow {MA} = (1;2 - m; - 1)\]và \[\overrightarrow {MB} = ( - 1;3 - m;1)\]
Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có \[\overrightarrow {MA.} \overrightarrow {MB} = 0\]
\[ \Leftrightarrow 1.( - 1) + (2 - m)(3 - m) + ( - 1).1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 4}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) và cách đều các điểm A,B,C .
\[M\left( {0;\frac{7}{4};2} \right)\]
\[M\left( {2;\frac{7}{4};0} \right)\]
\[M\left( {2; - \frac{7}{4};0} \right)\]
\[M\left( { - 2; - \frac{7}{4};0} \right)\]
M thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{MA = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\\{MB = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} }\\{MC = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\end{array}\]
Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA=MB=MC.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MA = MB}\\{MA = MC}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = M{C^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1 = {{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}}\\{{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1 = {{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m + 4n = 1}\\{4m = 8}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{n = - \frac{7}{4}}\end{array}} \right.\)
Vậy\[M\left( {2; - \frac{7}{4};0} \right)\]
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2;−1) , B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :MA2+MB2 đạt giá trị bé nhất.
M(0;1;0)
M(1;0;0)
M(0;1;2)
M(−1;0;0)
MM nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} }\\{MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} }\end{array}\]
Suy ra
\[M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10\]
\[ = 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8\]
\[\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\]
Vậy M(1;0;0)
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;−1;1) và C′(4;5;−5). Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:
V=9
V=7
V=10
V=13
Ta có \[\overrightarrow {AB} = (1;1;1),\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\]
\[ABCD.A'B'C'D'\]là hình hộp\[ \Rightarrow ABCD\]là hình bình hành. Khi đó ta có\[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \]
Giả sử\[C(x;y;z)\]. Ta có:\[\overrightarrow {BC} = (x - 2;y - 1;z - 2)\]
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = 0}\\{y - 1 = - 1}\\{z - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow C(2;0;2)\)
Ta có\[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} = \left( {2;5; - 7} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = (1;0; - 1)\]
Theo công thức tính thể tích ta có
\[{V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {1.2 + 0.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right)} \right| = 9\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;−1;1), B(3;0;−1), C(2;−1;3) và D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5 .
−6
2
7
−4
Giả sử\[D\left( {0;y;0} \right) \in Oy\]ta có:
\[\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)\]
Ta có\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)\]
Theo công thức tính thể tích ta có
\[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \frac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|\]
Theo giả thiết ta có\[{V_{ABCD}} = 5\]suy ra ta có:
\(\frac{1}{6}|6 + 2y| = 5 \Leftrightarrow |6 + 2y| = 30 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y + 6 = 30}\\{2y + 6 = - 30}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 12}\\{y = - 18}\end{array}} \right.} \right.\)
Suy ra D(0;12;0) hoặc D(0;−18;0)
Do đó tổng tung độ của các điểm D là \[12 + ( - 18) = - 6\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto \[\vec a = \left( {m;2;3} \right)\]và \[\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)\]
cùng phương thì 2m+3n bằng.
6
9
8
7
Hai vectơ \[\vec a = \left( {m;2;3} \right),\vec b = \left( {1;n;2} \right)\]cùng phương khi
\(\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{3}{2}}\\{n = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow 2m + 3n = 7.\]
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;4) và B(2;4;0). Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy. Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
10,1
11,3
9,9
10,0
Ta có H(0;0;4) và K(0;4;0) là hình chiếu của A trên Oz và B trên Oy
Gọi A′(0;−4;4);B′(0;4;−2).
Xét hai tam giác vuông AHM;AHA′ có chung
\[HM;\,\,HA = HA' = 4 \Rightarrow {\rm{\Delta }}AHM = {\rm{\Delta }}A'HM\](2 cạnh góc vuông)
\[ \Rightarrow AM = A'M\]
Chứng minh tương tự ta có \[BN = B'N\]
Độ dài đường gấp khúc AMNB là
\[AM + MN + NB = A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10\]
(Lưu ý rằng các điểm A′,M,N,B′ cùng nằm trên mặt phẳng Oyz).
Đáp án cần chọn là: D
