ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các bài toán về đường thẳng và mặt cầu
23 câu hỏi
R=4
R=2
R=±1
R=1
Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{(y + 1)}^2} + {z^2} = {R^2}}\\{x = t}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array}} \right.\left( * \right)\)
(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {t^2} + 1 = {R^2}\]có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow {R^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = 1\]
Đáp án cần chọn là: D
\(5\sqrt 2 \)
\[10\sqrt 2 \]
\[2\sqrt 5 \]
\[4\sqrt 5 \]
Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\]
Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}} \right.\)
Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {R^2}}\\{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)
(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - {R^2} = 0\] có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - {R^2}) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \]
Suy ra đường kính của mặt cầu (S) là\[10\sqrt 2 \]
Đáp án cần chọn là: B
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24\]
Phương trình mặt cầu (S) có dạng \[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {R^2}\]
Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)
Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {R^2}}\\{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)
(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + {(1 + t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\] có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {R^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24\]
Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {R^2}\]
Phương trình tham số của d là:\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)
Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {R^2}}\\{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)
(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + {(1 + t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép
\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\] có nghiệm kép\[ \Leftrightarrow {R^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z - 3 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y + 5z + 3 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - 2z + 6 = 0\]
\[A \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow A\left( {t;t;t} \right)\]
- ThayA(t;t;t) vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\]ta có\[3{t^2} + 3t - 6 = 0\]
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại
- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z - 3 = 0\]ta có\[3{t^2} - 3 = 0\]
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại
- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y + 5z + 3 = 0\]ta có\[3{t^2} + 6t + 3 = 0\]
Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn
- Thay\[A\left( {t;t;t} \right)\]vào\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - 2z + 6 = 0\]ta có \[3{t^2} - 9t + 6 = 0\]
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại
Đáp án cần chọn là: C
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\]
- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\]ta có\[{t^2} + 2t + 2 = 0\]
Phương trình vô nghiệm. Loại
- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\]ta có\[{t^2} - 2t + 2 = 0\]
Phương trình vô nghiệm. Loại
- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\]ta có\[{t^2} + t + 1 = 0\]
Phương trình vô nghiệm. Loại
- ThayA(0;0;t) vào \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\]ta có\[{t^2} + 4t + 4 = 0\]
Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn
Đáp án cần chọn là: D
\[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]
Trục Ox
TrụcOy
Trục Oz
(S) có tâm\[I(1; - 2;3)\] và\[R = \sqrt {50} \]
Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox.
Suy ra\[M(1;0;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Ox}}) = {\rm{MI}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \ne R \Rightarrow \]loại B.
Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy.
Suy ra\[N(0; - 2;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Oy) = NI = \;}}\sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \ne R \Rightarrow \]loại C
Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz.
Suy ra \[P(0;0;3) \Rightarrow d(I,{\rm{Oz}}) = {\rm{PI}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \ne R \Rightarrow \] loại D
Đáp án cần chọn là: ACâu 8. Xét đường thẳng d có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)và mặt cầu (S) có phương trình \[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\]. Nhận xét nào sau đây đúng.
A.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB<2R
B.d không có điểm chung với (S)
C.d tiếp xúc với (S)
D.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB đạt GTLN.
Giải hệ:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{{t^2} + {{(2t)}^2} = 4}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\\{5{t^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \pm \sqrt {\frac{4}{5}} }\\{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\end{array}\)
Suy ra d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
Mặt khác (S) có tâm \[I(1;2;3) \in d\;\] nên d qua tâm của mặt cầu.
Do đó AB đạt GTLN.
Đáp án cần chọn là: D
\[AB = \frac{{\sqrt {126} }}{7}\]
\[AB = \frac{{\sqrt {123} }}{7}\]
\[AB = \sqrt {\frac{{126}}{7}} \]
\[AB = \frac{{\sqrt {129} }}{7}\]
Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được: d:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t + 1}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\)
Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).
Vì \[A \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t + 1}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\] nên ta có:\[A\left( {t + 1;2 + 2t;4 + 3t} \right)\]
Mặt khác\[A \in (S)\] nên ta có
\[{(t + 1 - 1)^2} + {(2 + 2t + 2)^2} + {(4 + 3t - 3)^2} = 9\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} + {(4 + 2t)^2} + {(1 + 3t)^2} = 9\]
\[ \Leftrightarrow 14{t^2} + 22t + 8 = 0\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - \frac{4}{7}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(0;0;1)}\\{B\left( {\frac{3}{7};\frac{6}{7};\frac{{16}}{7}} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16}}{7} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {126} }}{7}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
\[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 9\]
\[{(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 25\]
\[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64\]
\[{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên\[Oy \Rightarrow H(0; - 2;0)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow IH = 3\]
Mặt khác ta có: \[AH = \frac{{AB}}{2} = 4\]
Suy ra\[{R^2} = A{H^2} + H{I^2} = {4^2} + {3^2} = 25\]
(S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với \[{R^2} = 25\] Suy ra:
\[(S):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\]
Đáp án cần chọn là: D
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 23 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\]
\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 2\]
\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
\[{(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4\]
Lấy\[{\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)\] và\[B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\].
Ta có:\[\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\]
AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.(b - 2a) + 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\\{1.(b - 2a) - 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5a + b + 3 = 0}\\{ - a + 2b - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Suy ra \[{\rm{A}}\left( {2;1;4} \right);B\left( {2;1;0} \right)\] và\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)\]
Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′
Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính\[R = \frac{{AB}}{2}\]
Ta có I(2;1;2) và \[R = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
Vậy ta có\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
Đáp án cần chọn là: C
\[{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
\[{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
\[{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\]
Bước 1: Gọi (S′) là mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.
(S) có tâm I(−1;1;2) và R=2
Bước 2: Tìm J là điểm đối xứng của tâm mặt cầu (S) qua Oz.
Lấy đối xứng điểm I qua trục Oz ta được J(1;−1;2).
Bước 3: Tìm mặt cầu (S′)
(S′) có tâm J và bán kính R có phương trình là: \[{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
Đáp án cần chọn là: A
4 mặt cầu
2 mặt cầu.
1 mặt cầu.
Vô số mặt cầu
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 1} \right)\]
\[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\]
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\]
Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\]Suy ra\[(P)//(ABC)\]
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M,N,P,Q cách đều AB,BC,AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A,B,C do đó có 4 điểm M′,N′,P′,Q′ trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M,N,P,Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB,BC,AC.
Tương ứng có 4 mặt cầu tâm M′,N′,P′,Q′ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.\]
\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.\]
\[\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)\] Lấy điểm\[M(1;0;2) \in d\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = ( - 2;2; - 2)}\\{R = d(I,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 }\end{array}\]
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính \(\sqrt 2 \) là:
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{x^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 20\]
\[{x^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5\]
\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 20\]
\[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 14\]
Phương trình mặt phẳng (P) qua A , vuông góc (d) là:
\[ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 2z + 1 = 0\]
Gọi \[I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\] khi đó:
\[ - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\]
Có\[I{A^2} = 14\] Phương trình mặt cầu là:
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14\]
Đáp án cần chọn là: D
I(1;−2;2),I(5;2;10)
I(1;−2;2),I(0;3;0)
I(5;2;10),I(0;−3;0)
I(1;−2;2),I(−1;2;−2)
Tâm I thuộc đường thẳng d nên\[I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)\]
Phương trình mặt phẳng\[\left( {{\rm{Oxz}}} \right):y = 0\]
Ta có bán kính mặt cầu \[IM = 2\sqrt 2 \], mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính HM=2 suy ra\[d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IH = \sqrt {I{M^2} - H{M^2}} = \sqrt {8 - 4} = 2\]
Ta có\[\left| { - 3 + t} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + t = 2}\\{ - 3 + t = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5 \Rightarrow I(5;2;10)}\\{t = 1 \Rightarrow I(1; - 2;2)}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: A
\[2x - 2y + z - 2 = 0\] và\[2x - 2y + z + 16 = 0\]
\[2x - 2y + z + 2 = 0\] và\[2x - 2y + z - 16 = 0\]
\[2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0\] và\[2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\]
\[2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0\] và\[2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\]
Tâm mặt cầu I(1;−2;1), bán kính R=3.
Mặt phẳng (P) vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\] có phương trình dạng\[2{\rm{x}} - 2y + z + D = 0\]
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu nên\[d(I,(P)) = R \Rightarrow |D - 7| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = - 2}\\{D = 16}\end{array}} \right.\]
Phương trình (P) là\[2x - 2y + z - 2 = 0;2x - 2y + z + 16 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = {\rm{\;}}\frac{4}{9}\]
\[{(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\]
\[{(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\]
\[{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\]
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{I \in d \Rightarrow I\left( {t; - 1; - t} \right)}\\{ \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}}\\{ \Leftrightarrow \left| { - t + 1} \right| = \left| { - t + 5} \right| \Leftrightarrow t = 3}\\{ \Rightarrow I\left( {3; - 1; - 3} \right)}\\{ \Rightarrow R = \frac{{\left| { - 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}}\\{ \Rightarrow (S):{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z + 3} \right)}^2} = \frac{4}{9}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
\[(S):{(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{2}{7}\]
\[(S):{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{9}{{14}}\]
\[(S):{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{2}{7}\]
\[(S):{(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{9}{{14}}\]
\[I \in d \Rightarrow I\left( {2t;3 + t;2 + t} \right)\]
\[I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 2(3 + t) + 2(2 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {2;4;3} \right)\]
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)nên \[R = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \frac{{|2 - 2.4 + 3.3 - 5|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {\frac{2}{7}} \]
\[ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{7}\]
Đáp án cần chọn là: C
\[\sqrt {110} \]
\[3\sqrt {10} \]
\[\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
\[\frac{{\sqrt {110} }}{5}\]
+) Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.
+) Tìm I: \[3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{6}\]
\[A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right),C\left( {0;21; - 19} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),\overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x_I} = - \frac{{2.3 + 0}}{6}}\\{1 - {y_I} = - \frac{{2.( - 1) + 20}}{6}}\\{1 - {z_I} = - \frac{{2.( - 2) + ( - 20)}}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow I(1;4; - 3)\)
+) Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}}\\{ = 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2}}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\\{ + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\end{array}\]
Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mặt cầu (S).
\[\overrightarrow {JI} = \left( {0;3; - 4} \right)\]=> Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng\[\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),t \in \left[ {0;1} \right]\]
Mặt khác\[M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{5}}\\{t = - \frac{1}{5}\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow M\left( {1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 9t}\\{y = 1 + 9t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3 - 3t}\end{array}} \right.\)
Dễ thấy \[E \in \left( P \right)\]. Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.
Đường thẳng qua I vuông góc với (P): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\left( d \right)\)
Gọi H là hình chiếu của I lên (P)\[ \Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)\]
Lại có\[H \in \left( P \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\frac{{23}}{9};\frac{{14}}{9};\frac{{47}}{9}} \right)}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{{20}}{9}} \right) = \frac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \vec a}\end{array}\]
Để đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và vuông góc với HE.
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow a }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right]\)
\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = (9; - 9;0) = 9(1; - 1;0)\)
Vậy đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng\(\left( \Delta \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
\[2\sqrt 6 \]
\[2\sqrt 3 \]
\[\sqrt 3 \]
\[\sqrt 6 \]
Xét tứ diện SABC có: \[SA = SB = SC,\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0} \Rightarrow SABC\] là tứ diện đều.
Mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]có tâm O, bán kính R=3, ngoại tiếp khối tứ diện SABC\[ \Rightarrow OS = OA = OB = OC = 3\]
Giả sử độ dài dây AB là a \[ \Rightarrow \,SI = AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \,AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
\[ \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{1}{3}{a^2}} = \sqrt {\frac{2}{3}} a\]
\[ \Rightarrow R = \frac{{{a^2}}}{{2\sqrt {\frac{2}{3}} a}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 6 a}}{4} = 3 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 6 \]
Đáp án cần chọn là: A
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.\]
\[\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 20.\]
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 5.\]
Khoảng cách từ tâm I đến trục Oz là: \[d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\]
Vì tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.
Vậy phương trình cần tìm là
\[\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\]
Đáp án cần chọn là: A
P=56.
P=9.
P=41.
P=73.
Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) theo m.
Mặt phẳng\[(\alpha ):x - my + z + 6m - 3z = 0\] có một vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)\], và mặt phẳng\[(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = (\alpha ) \cap (\beta )\]
\[\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)\], và mặt phẳng\[(\beta ):mx + y - mz\] có một vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow {{n_2}} = (m;1; - m).\] Ta có\[M\left( { - 3m + \frac{4}{m} - 3;0; - 3m - \frac{4}{m}} \right) \in {\rm{\Delta }} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\]
Do đó Δ có một vectơ chỉ phương là\[\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {{m^2} - 1;2m;{m^2} + 1} \right)\]
Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là\[\vec n = [\vec u;\vec k] = \left( {2m;1 - {m^2};0} \right)\]
Phương trình mặt phẳng (P) là :\[2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0\]
Vì\[I(a;b;c) \in (Oxy)\] nên I(a;b;0).
Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu \[(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\]. Tìm a và b
Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu\[(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = R > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = R({m^2} + 1)}\\{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = - R({m^2} + 1)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = R}\\{b - 8 = R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = - R}\\{b - 8 = - R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3 = 0}\\{6 - b = b - 8}\\{ - R = 6 - b < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{6 - b = b - 8}\\{R = 6 - b > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)</>
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\)
Vậy I(−3;7;0), do đó \[P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2} = 41\]
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
Học liệu phổ biến ĐHQG Hà Nội
ĐHQG Hà Nội
Thêm cảm hứng cho môn học
Biến kiến thức quen thuộc thành hoạt động học tập thú vị.
