ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Nhận thấy\[(P):x - y + 3 = 0\] nhận\[\vec n = \left( {1; - 1;0} \right)\]làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ \[\vec a = \left( {3; - 3;0} \right),\vec a = \left( { - 1;1;0} \right)\] cũng là các véc tơ pháp tuyến của (P).

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình mặt phẳng qua điểm\[M\left( {2, - 3,4} \right)\]và nhận \[\vec n = ( - 2,4,1)\]làm vectơ pháp tuyến là:

\[ - 2(x - 2) + 4(y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:\[\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\]

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1,3,−2) và nhận\[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\]làm VTPT nên\[\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và nhận\[\overrightarrow {AB} \] làm vectơ pháp tuyến.

Có I(3,−2,0) và \[\overrightarrow {AB} = ( - 2, - 2, - 4)\].  Chọn\[\vec n = (1,1,2)\]là vectơ pháp tuyến ta có phương trình\[(x - 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 1 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC)  qua B(1,0,1) và nhận\[\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\] là vectơ pháp tuyến.

Ta có\[\overrightarrow {AB} = (0,3, - 1)\]và\[\overrightarrow {AC} = (1,6, - 2)\]. Suy ra\[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, - 1, - 3} \right)\]

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Ta sử dụng phương trình đoạn chắn\[\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\]

Đáp án cần chọn là: D

Có\[\overrightarrow {{n_Q}} = (1,2, - 3)\]và\[\overrightarrow {{n_R}} = (2, - 3,1)\].Suy ra\[\vec n = ( - 7, - 7, - 7)\].Chọn\[{\vec n^\prime } = (1,1,1)\]làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình (P) là

\[(x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0\]

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Đáp án cần chọn là: C

Nhận xét (P)  và (Q) là hai mặt phẳng song song.

Chọn A(−11,0,0) thuộc (P) . Ta có

\[d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \frac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{3} = 3\]

Đáp án cần chọn là: D

Vì (P)  song song với (Q)  nên\[\left( P \right):x + y - z + c = 0\]

Chọn A(2,0,0) thuộc (Q) ta có

\[d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow |2 + c| = 6\]

 Suy ra c=4 hoặc c=−8.

Đáp án cần chọn là: A

Yêu cầu bài toán tương đương với \[\frac{3}{6} = \frac{{ - m}}{5} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \ne \frac{7}{{ - 4}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{5} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}\]

Đáp án cần chọn là: B

(P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi\[\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\]

Đáp án cần chọn là: C

A,B thuộc (P) nên ta có hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c - 27 = 0}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}\end{array}} \right.\)

(P) vuông góc với (Q) nên ta có điều kiện\[3a + b + c = 0\]

Giải hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c - 27 = 0}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}\\{3a + b + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 27}\\{c = - 45}\end{array}} \right.\)

 Suy ra S=−12.

Đáp án cần chọn là: D

Theo giả thiết\[(ABC) \bot (P)\]  nên ta có\[0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c\]

Với giả thiết\[d\left( {O,(ABC)} \right) = \frac{1}{3}\]  ta có\[\frac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{3}\]

Vì b,c>0 nên có

\[\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\]

Thay\[b = c > 0\] vào ta được \[2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\] suy ra\[c = \frac{1}{2}\]

Vậy\[M = b + c = 1\]Đáp án cần chọn là: D

(P) có \[\overrightarrow {{n_P}} = (1,3, - 2),\left( Q \right)\] có\[\overrightarrow {{n_Q}} = (1,1,2)\]  mặt phẳng (Oxy) có\[\overrightarrow {{n_1}} = (0,0,1)\] mặt phẳng (Oxz) có\[\overrightarrow {{n_2}} = (0,1,0)\]  mặt phẳng (Oyz) có \[\overrightarrow {{n_3}} = (1,0,0)\]

Có\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\](1)

Có\[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_1}} |}} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\](2)

Có \[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \frac{3}{{\sqrt {14} }}\](3)

Có \[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\](4)

Trong\[[0;{90^0}]\]  góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa (P) và (Q) lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có\[\overrightarrow {MA} = (1 - x,2 - y, - 1 - z)\] và\[\overrightarrow {MB} = (2 - x, - 1 - y,3 - z)\]

Theo giả thiết\[M{A^2} - M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}\] nên ta có

\[{(1 - x)^2} + {(2 - y)^2} + {( - 1 - z)^2} = 2 + {(2 - x)^2} + {( - 1 - y)^2} + {(3 - z)^2}\]

\[ \Leftrightarrow - 2x - 4y + 2z + 6 = - 4x + 2y - 6z + 16\]

\[ \Leftrightarrow 2x - 6y + 8z - 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 5 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử M(x,y,z) là điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có

\(\frac{{|x + 2y - 2z + 1|}}{3} = \frac{{|x - 2y + 2z - 1|}}{3}\)

\[ \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |x - 2y + 2z - 1|\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 2z + 1 = x - 2y + 2z - 1}\\{x + 2y - 2z + 1 = - (x - 2y + 2z - 1)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y - 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y - 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Giả sử\[M({x_0},{y_0},{z_0})\]  là điểm thuộc\[({P_m})\] ta có

\[m{x_0} + m(m + 1){y_0} + (m - 1)2{z_0} - 1 = 0,\forall m\]

\[ \Leftrightarrow m{x_0} + m2{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} - 2m{z_0} + {z_0} - 1 = 0,\forall m\]

\[ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} - 2{z_0})m + {z_0} - 1 = 0,\forall m\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} + {z_0} = 0}\\{{x_0} + {y_0} - 2{z_0} = 0}\\{{z_0} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_0} = 1}\\{{y_0} = - 1}\\{{x_0} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, - 1,1)\)

Đáp án cần chọn là: C

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q),(R) nên có phương trình dạng

\[m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\] với \[{m^2} + {n^2} > 0.\]

Do (P) đi qua M(3;4;1) nên\[56m + 108n = 0 \Rightarrow \frac{m}{n} = - \frac{{27}}{{14}}.\]

Chọn\[m = 27,n = - 14\]thì:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow - 75x - 50y - 150z + 575 = 0}\\{ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:\[\overrightarrow {MM'} = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1;3} \right)\]

Mặt phẳng (P) đi qua M′ và nhận\[\vec n = \left( {2; - 1;3} \right)\]làm VTPT nên có phương trình:

\[2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 20 = 0\]

Đáp án cần chọn là: C

Gọi\[A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\]  là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]

\[M \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\]

Lại có \[OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\]

Suy ra\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = c}\\{a = - b = c}\end{array}} \right.\) và\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = - c}\\{a = - b = - c}\end{array}} \right.\) mà\[a = b = - \,c\] không thỏa mãn điều kiện (1).

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi\[\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\]là 1 VTPT của (α)(α).

Ta có\[\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} = \left( {1;0;0} \right)\]nên góc giữa\[\left( \alpha \right)\]và (Oyz) bằng\({60^ \circ }\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \cos {{60}^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {a.1 + b.0 + c.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}}\end{array}\]

\[\left( \alpha \right)\]đi qua M(4;0;0) và nhận\[\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\]làm VTPT nên (α) có phương trình tổng quát là:

\[a\left( {x - 4} \right) + b\left( {y - 0} \right) + c\left( {z - 0} \right) = 0\]

Suy ra khoảng cách từ O đến \[\left( \alpha \right)\]là:

\[d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {a.0 + b.0 + c.0 - 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\frac{1}{2} = 2\]

Đáp án cần chọn là: D

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:

\[A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right),C'\left( {1;1;1} \right)\]

Ta có:\[\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left( {A'BC} \right)\] có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;1} \right)\]

\[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left( {ABC'} \right)\]có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0; - 1;1} \right)\]

Gọi αα là góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC′) ta có:

\[\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\]

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:\[\left( P \right):\,\,\,4x - 4y + 2z - 7 = 0\] có VTPT là:\[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 4;\,\,2} \right) = 2\left( {2; - 2;\,\,1} \right)\]

\[\left( Q \right):\,\,\,2x - 2y + z + 4 = 0\]có VTPT là:\[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 2;\,\,1} \right)\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\]

Lấy điểm\[A\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right) \in \left( Q \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 - 4.2 + 2.0 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\]

Mà hai mặt phẳng (P),(Q)  chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

⇒ Độ dài cạnh của hình lập phương là \[d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = \frac{5}{2}.\]

\[ \Rightarrow V = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^3} = \frac{{125}}{8}.\]

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

\( + )(P):x + y + z - 1 = 0\)có VTPT\[\vec a = (1;1;1)\]

\( + )(Q):2x + my + 2z + 3 = 0\) có VTPT\[\vec b = (2;m;2)\]

\( + )(R): - x + 2y + nz = 0\)có VTPT\[\vec c = ( - 1;2;n)\]

Bước 2: Tính m+2n

\[(P) \bot (R) \Leftrightarrow \vec d \cdot \vec c = 0 \Leftrightarrow n = - 1\]

\[(P)//(Q) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2\]

Vây\[m + 2n = 2 + 2( - 1) = 0\]