ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Đáp án cần chọn là: B

(P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi\[\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\]

Đáp án cần chọn là: C

A,B thuộc (P) nên ta có hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c - 27 = 0}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}\end{array}} \right.\)

(P) vuông góc với (Q) nên ta có điều kiện\[3a + b + c = 0\]

Giải hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c - 27 = 0}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}\\{3a + b + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 27}\\{c = - 45}\end{array}} \right.\)

 Suy ra S=−12.

Đáp án cần chọn là: D

Theo giả thiết\[(ABC) \bot (P)\]  nên ta có\[0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c\]

Với giả thiết\[d\left( {O,(ABC)} \right) = \frac{1}{3}\]  ta có\[\frac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{3}\]

Vì b,c>0 nên có

\[\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\]

Thay\[b = c > 0\] vào ta được \[2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\] suy ra\[c = \frac{1}{2}\]

Vậy\[M = b + c = 1\]Đáp án cần chọn là: D

(P) có \[\overrightarrow {{n_P}} = (1,3, - 2),\left( Q \right)\] có\[\overrightarrow {{n_Q}} = (1,1,2)\]  mặt phẳng (Oxy) có\[\overrightarrow {{n_1}} = (0,0,1)\] mặt phẳng (Oxz) có\[\overrightarrow {{n_2}} = (0,1,0)\]  mặt phẳng (Oyz) có \[\overrightarrow {{n_3}} = (1,0,0)\]

Có\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\](1)

Có\[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_1}} |}} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\](2)

Có \[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \frac{3}{{\sqrt {14} }}\](3)

Có \[\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\](4)

Trong\[[0;{90^0}]\]  góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa (P) và (Q) lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có\[\overrightarrow {MA} = (1 - x,2 - y, - 1 - z)\] và\[\overrightarrow {MB} = (2 - x, - 1 - y,3 - z)\]

Theo giả thiết\[M{A^2} - M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}\] nên ta có

\[{(1 - x)^2} + {(2 - y)^2} + {( - 1 - z)^2} = 2 + {(2 - x)^2} + {( - 1 - y)^2} + {(3 - z)^2}\]

\[ \Leftrightarrow - 2x - 4y + 2z + 6 = - 4x + 2y - 6z + 16\]

\[ \Leftrightarrow 2x - 6y + 8z - 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 5 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử M(x,y,z) là điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có

\(\frac{{|x + 2y - 2z + 1|}}{3} = \frac{{|x - 2y + 2z - 1|}}{3}\)

\[ \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |x - 2y + 2z - 1|\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 2z + 1 = x - 2y + 2z - 1}\\{x + 2y - 2z + 1 = - (x - 2y + 2z - 1)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y - 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y - 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Giả sử\[M({x_0},{y_0},{z_0})\]  là điểm thuộc\[({P_m})\] ta có

\[m{x_0} + m(m + 1){y_0} + (m - 1)2{z_0} - 1 = 0,\forall m\]

\[ \Leftrightarrow m{x_0} + m2{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} - 2m{z_0} + {z_0} - 1 = 0,\forall m\]

\[ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} - 2{z_0})m + {z_0} - 1 = 0,\forall m\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} + {z_0} = 0}\\{{x_0} + {y_0} - 2{z_0} = 0}\\{{z_0} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_0} = 1}\\{{y_0} = - 1}\\{{x_0} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, - 1,1)\)

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: C

Gọi\[A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\]  là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]

\[M \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\]

Lại có \[OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\]

Suy ra\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = c}\\{a = - b = c}\end{array}} \right.\) và\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = - c}\\{a = - b = - c}\end{array}} \right.\) mà\[a = b = - \,c\] không thỏa mãn điều kiện (1).

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

\( + )(P):x + y + z - 1 = 0\)có VTPT\[\vec a = (1;1;1)\]

\( + )(Q):2x + my + 2z + 3 = 0\) có VTPT\[\vec b = (2;m;2)\]

\( + )(R): - x + 2y + nz = 0\)có VTPT\[\vec c = ( - 1;2;n)\]

Bước 2: Tính m+2n

\[(P) \bot (R) \Leftrightarrow \vec d \cdot \vec c = 0 \Leftrightarrow n = - 1\]

\[(P)//(Q) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2\]

Vây\[m + 2n = 2 + 2( - 1) = 0\]