ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình mặt phẳng
17 câu hỏi
Mặt phẳng \[\left( P \right):ax - by - cz - d = 0\]có một VTPT là:
(a;b;c)
(a;−b;−c)
(−a;−b;−c)
\[\left( {a; - b; - c; - d} \right)\]
Mặt phẳng\[\left( P \right):ax - by - cz - d = 0\]có một VTPT là\[\vec n = \left( {a; - b; - c} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - z + 1 = 0\], tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
(2;−1;1)
(2;0;−1)
(2;0;1)
(2;−1;0)
Mặt phẳng\[\left( P \right):2x - z + 1 = 0 \Leftrightarrow 2.x + 0.y + \left( { - 1} \right).z + 1 = 0\]nên (P) có một VTPT là (2;0;−1)
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right) = a'x + b'y + c'z + d' = 0\]. Điều kiện để hai mặt phẳng song song là:
\[\vec n = k.\overrightarrow {n'} \]
\[\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\]
\[d \ne k.d'\]và \[d \ne k.d'\]
\[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\]
Hai mặt phẳng song song nếu \[\vec n = k.\overrightarrow {n'} \]và\[d \ne k.d'\]
Trong trường hợp\[a'b'c' \ne 0\]thì\[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} \ne \frac{d}{{d'}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\]. Nếu có \[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\] thì:
hai mặt phẳng song song
hai mặt phẳng trùng nhau
hai mặt phẳng vuông góc
A hoặc B đúng.
Nếu có\[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\]thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số\[\frac{d}{{d'}}\]nên các đáp án A hoặc B đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Cho mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\]. Khoảng cách từ điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\;\] đến mặt phẳng (P) là:
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
Khoảng cách từ điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] đến\[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\] là\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho điểm M(1;2;0) và mặt phẳng \[\left( P \right):x - 3y + z = 0\]. Khoảng cách từ M đến (P) là:
5
\[\frac{{5\sqrt {11} }}{{11}}\]
\[\frac{5}{{11}}\]
\[ - \frac{5}{{\sqrt {11} }}\]
Ta có: \[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 3.2 + 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {11} }} = \frac{{5\sqrt {11} }}{{11}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0\]và điểm M(0;1;1). Chọn kết luận đúng:
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\]
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\]
\[M \in \left( P \right)\]
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\]
Ta có:\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
và \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\]nên A sai, D sai, B đúng.
Do đó \[M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)\] nên C sai.
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\] \[\left( Q \right):a\prime x + b\prime y + c\prime z + d\prime = 0\]. Công thức tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng là:
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{a.a' + b.b' + c.c'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{a.a' + b.b' + c.c'}}{{\sqrt {a + b + c} .\sqrt {a' + b' + c'} }}\]
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{{{\sqrt {a + b + c} }^2}.{{\sqrt {a' + b' + c'} }^2}}}\]
Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) có:
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[\alpha ,\beta \] lần lượt là góc giữa hai véc tơ pháp tuyến bất kì và góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Chọn nhận định đúng:
\[\alpha = \beta \]
\[\alpha = {180^0} - \beta \]
\[\sin \alpha = \sin \beta \]
\[\cos \alpha = \cos \beta \]
Ta có:\[\cos \beta = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
Do đó \[0 \le \beta \le {90^0}\]trong khi\[0 \le \alpha \le {180^0}\]nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.
Ngoài ra, khi \[\alpha = \beta \] hay\[\alpha = {180^0} - \beta \] thì ta đều có\[\sin \alpha = \sin \beta \]nên C đúng.
D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z - 1 = 0\;\]. Điểm nào dưới đây thuộc (P)
M(2;−1;1)
N(0;1;−2)
P(1;−2;0)
Q(1;−3;−4)
Dễ thấy \[2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\]⇒ điểm Q thuộc (P)
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
z=0
x+y+z=0
y=0
x=0
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y=0
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian Oxyz, điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng nào sau đây?
\[\left( {{P_4}} \right):\,\,2x + 3z + 1 = 0\]
\[\left( {{P_3}} \right):\,\,2x + 3y - z = 0\]
\[\left( {{P_1}} \right):\,\,2x + 3y + 1 = 0\]
\[\left( {{P_2}} \right):\,\,2x + 2y + 2z + 1 = 0\]
Ta thấy điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng \[\left( {{P_3}} \right):2x + 3y - z = 0\]vì 2.0+3.0-0=0.
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0,\left( Q \right):2x - y + z + 1 = 0\]. Góc giữa (P) và (Q) là
\({60^ \circ }\)
\({90^ \circ }\)
\({30^ \circ }\)
\({120^ \circ }\)
Mặt phẳng\[\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0\]có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2; - 1} \right)\]
Mặt phẳng\[\left( Q \right):x - 2y - z + 2 = 0\]có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_Q}} \left( {2; - 1;1} \right)\]
Khi đó ta có: \[\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\]
\[ = \frac{{\left| {1.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
Vậy\[\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = {60^0}\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y + z - 1 = 0\]. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?
Ta có: \[\left( P \right):\,\,\,2x + 2y + z - 1 = 0\]
\[ \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.0 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{1}{3}.\]
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;6;−3) và mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 2y + z - 2 = 0\]. Khoảng cách từ M đến (P) bằng:
Ta có\(:\left( P \right):\,\,\,2x - 2y + z - 2 = 0\)
\[ \Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.6 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} }}\]
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng\[\left( P \right):2x + 2y - z - 11 = 0\] và \[\left( Q \right):2x + 2y - z + 4 = 0\]
\[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 11 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 5.\]
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 3), B(3; 4; 4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[2x + y + mz - 1 = 0\;\]bằng độ dài đoạn thẳng AB.
Đặt\[\left( \alpha \right):{\rm{\;}}2x + y + mz - 1 = 0.\]
Ta có:\[d\left( {A;{\rm{\;}}\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2 + 3.m - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }}.\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} = \left( {2;\;2;\;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} = 3.}\\{ \Rightarrow d\left( {A;\left( \alpha \right)} \right) = AB \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = 3}\\{ \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 5} }\\{ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = {m^2} + 5}\\{ \Leftrightarrow m = 2.}\end{array}\]
