ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình mặt phẳng
17 câu hỏi
(a;b;c)
(a;−b;−c)
(−a;−b;−c)
\[\left( {a; - b; - c; - d} \right)\]
Mặt phẳng\[\left( P \right):ax - by - cz - d = 0\]có một VTPT là\[\vec n = \left( {a; - b; - c} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B
(2;−1;1)
(2;0;−1)
(2;0;1)
(2;−1;0)
Mặt phẳng\[\left( P \right):2x - z + 1 = 0 \Leftrightarrow 2.x + 0.y + \left( { - 1} \right).z + 1 = 0\]nên (P) có một VTPT là (2;0;−1)
Đáp án cần chọn là: B
\[\vec n = k.\overrightarrow {n'} \]
\[\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\]
\[d \ne k.d'\]và \[d \ne k.d'\]
\[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\]
Hai mặt phẳng song song nếu \[\vec n = k.\overrightarrow {n'} \]và\[d \ne k.d'\]
Trong trường hợp\[a'b'c' \ne 0\]thì\[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} \ne \frac{d}{{d'}}\]
Đáp án cần chọn là: C
hai mặt phẳng song song
hai mặt phẳng trùng nhau
hai mặt phẳng vuông góc
A hoặc B đúng.
Nếu có\[\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\]thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số\[\frac{d}{{d'}}\]nên các đáp án A hoặc B đúng.
Đáp án cần chọn là: D
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
Khoảng cách từ điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] đến\[\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\] là\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
Đáp án cần chọn là: A
5
\[\frac{{5\sqrt {11} }}{{11}}\]
\[\frac{5}{{11}}\]
\[ - \frac{5}{{\sqrt {11} }}\]
Đáp án cần chọn là: B
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\]
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\]
\[M \in \left( P \right)\]
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\]
Ta có:\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
và \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\]nên A sai, D sai, B đúng.
Do đó \[M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)\] nên C sai.
Đáp án cần chọn là: B
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{a.a' + b.b' + c.c'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{a.a' + b.b' + c.c'}}{{\sqrt {a + b + c} .\sqrt {a' + b' + c'} }}\]
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{{{\sqrt {a + b + c} }^2}.{{\sqrt {a' + b' + c'} }^2}}}\]
Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) có:
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
Đáp án cần chọn là: A
\[\alpha = \beta \]
\[\alpha = {180^0} - \beta \]
\[\sin \alpha = \sin \beta \]
\[\cos \alpha = \cos \beta \]
Ta có:\[\cos \beta = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^{\prime 2}} + {b^{\prime 2}} + {c^{\prime 2}}} }}\]
Do đó \[0 \le \beta \le {90^0}\]trong khi\[0 \le \alpha \le {180^0}\]nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.
Ngoài ra, khi \[\alpha = \beta \] hay\[\alpha = {180^0} - \beta \] thì ta đều có\[\sin \alpha = \sin \beta \]nên C đúng.
D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.
Đáp án cần chọn là: C
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 17 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
M(2;−1;1)
N(0;1;−2)
P(1;−2;0)
Q(1;−3;−4)
Dễ thấy \[2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\]⇒ điểm Q thuộc (P)
Đáp án cần chọn là: D
z=0
x+y+z=0
y=0
x=0
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y=0
Đáp án cần chọn là: C
\[\left( {{P_4}} \right):\,\,2x + 3z + 1 = 0\]
\[\left( {{P_3}} \right):\,\,2x + 3y - z = 0\]
\[\left( {{P_1}} \right):\,\,2x + 3y + 1 = 0\]
\[\left( {{P_2}} \right):\,\,2x + 2y + 2z + 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
\({60^ \circ }\)
\({90^ \circ }\)
\({30^ \circ }\)
\({120^ \circ }\)
Mặt phẳng\[\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0\]có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2; - 1} \right)\]
Mặt phẳng\[\left( Q \right):x - 2y - z + 2 = 0\]có 1 VTPT là\[\overrightarrow {{n_Q}} \left( {2; - 1;1} \right)\]
Khi đó ta có: \[\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\]
\[ = \frac{{\left| {1.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
Vậy\[\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = {60^0}\]
Đáp án cần chọn là: A
Ta có: \[\left( P \right):\,\,\,2x + 2y + z - 1 = 0\]
\[ \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.0 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{1}{3}.\]
Ta có\(:\left( P \right):\,\,\,2x - 2y + z - 2 = 0\)
\[ \Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.6 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} }}\]
\[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 11 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 5.\]
Đặt\[\left( \alpha \right):{\rm{\;}}2x + y + mz - 1 = 0.\]
Ta có:\[d\left( {A;{\rm{\;}}\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2 + 3.m - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }}.\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} = \left( {2;\;2;\;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} = 3.}\\{ \Rightarrow d\left( {A;\left( \alpha \right)} \right) = AB \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = 3}\\{ \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 5} }\\{ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = {m^2} + 5}\\{ \Leftrightarrow m = 2.}\end{array}\]
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
Học liệu phổ biến ĐHQG Hà Nội
ĐHQG Hà Nội
Thêm cảm hứng cho môn học
Biến kiến thức quen thuộc thành hoạt động học tập thú vị.
