ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình lượng giác thường gặp

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x}\\{ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {{\cos }^2}x = 3 + \cos 2x}\\{ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x}\\{ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 }\end{array}\]

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \sqrt 2 }\\{b = \sqrt 2 - 1}\\{c = 3 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2}\]

\[ = 2 + {(\sqrt 2 - 1)^2} - {(3 - \sqrt 2 )^2}\]

\[ = 2 + 3 - 2\sqrt 2 - 11 + 6\sqrt 2 \]

\[ = - 6 + 4\sqrt 2 < 0\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} < {c^2}\]

Vậy phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

Với\[a = 1;b = \sqrt 3 - 2;c = 1\]  ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\sin x + \frac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\cos x}\\{ = \frac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}}\end{array}\]

Đặt \[\frac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }} = \cos \alpha \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }} = \sin \alpha \] Khi đó phương trình tương đương:

\[\sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \cos \alpha \]

Bước 2:

$\iff sin(x+\alpha )=sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\alpha =\frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi \\ x+\alpha =\frac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}-2\alpha +k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.$

Vì \[\alpha \ne 0 \Rightarrow \]có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x = \sin x - \cos x}\\{ \Leftrightarrow {{\cos }^3}x + \cos x = \sin x - {{\sin }^3}x}\\{ \Leftrightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = \sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}\\{ \Leftrightarrow \cos x\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1} \right) = \sin x.{{\cos }^2}x}\end{array}\]

\[\Leftrightarrow \cos x\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1 - \sin x\cos x} \right) = 0\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \cos x.\frac{{1 + \cos 2x + 2 - \sin 2x}}{2} = 0}\end{array}\]

\[\Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos 2x + 2 - \sin 2x} \right) = 0\]

\[\Leftrightarrow \cos x\left( { - \sin 2x + \cos 2x + 3} \right) = 0\]

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{cosx = 0(1)}\\{ - sin2x + cos2x + 3 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

Bước 2:

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Xét (2) ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 1}\\{c = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} < {c^2}\)

⇒⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]Đáp án cần chọn là: B

</>

Đáp án cần chọn là: A

Trường hợp 1:\[\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Khi đó\[{\sin ^2}4x = 1\]

Thay vào phương trình ta có:\[1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {V\^o \,\,l\'y } \right)\]

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\] không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2:\[\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Chia cả 2 vế của phương trình cho \[{\cos ^2}4x\]  ta được:

\[\frac{{{{\sin }^2}4x}}{{{{\cos }^2}4x}} + 3\frac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0\]

Đặt tan4x=t. Khi đó phương trình trở thành

\[{t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{tan4x = 1}\\{tan4x = - 4}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{4x = arctan( - 4) + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4}}\end{array}} \right.(k \in Z)\)

Xét nghiệm\[x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{{16}} + \frac{k}{4} < \frac{1}{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{16}}}\end{array}} \right.\)

Xét nghiệm\[x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4}arctan( - 4) < \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2} - \frac{1}{4}arctan( - 4)}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,42 < k < 2,42}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1}\\{k = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng\[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

Trường hợp 1: \[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\] Khi đó \[{\sin ^2}x = 1\]Thay vào phương trình ta có:\[1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \] loại

Trường hợp 2:\[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Chia cả 2 vế của phương trình cho\[{\cos ^2}x\] ta được:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - m\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3 = \frac{{2m}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{ \Leftrightarrow {{\tan }^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}\\{ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){{\tan }^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0}\end{array}\]Đặt tanx = t khi đó phương trình có dạng\[\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0\]

\[m = \frac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \] loại

\[m \ne \frac{1}{2}\] ta có:\[{\rm{\Delta }} = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 = - 15{m^2} - 16m + 12\]

Để phương trình có nghiệm thì\[{\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 8 - 2\sqrt {61} }}{{15}} \le m \le \frac{{ - 8 + 2\sqrt {61} }}{{15}}\]

Mà\[m \in Z \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1}\\{m = 0}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: C

Với \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx >0}\\{cosx >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{tanx >0}\\{cotx >0}\end{array}} \right.\)

Ta có:\[\tan x + \cot x = \tan x + \frac{1}{{\tan x}} \ge 2\sqrt {\tan x.\frac{1}{{\tan x}}} = 2\] (BĐT Cauchy)

Phương trình có nghiệm\[ \Leftrightarrow m \ge 2\]

Kết hợp điều kiện ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \le m < 5}\\{m \in {Z^ + }}\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \{ 2;3;4\} \)

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là 2+3+4=9

Đáp án cần chọn là: A

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {1 - m} \right){{\tan }^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){{\sin }^2}x - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){{\cos }^2}x = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){{\cos }^2}x = 0}\\{ \Leftrightarrow 4m{{\cos }^2}x - 2\cos x + 1 - m = 0}\end{array}\]

Đặt t=cosx

Vì \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\]khi đó phương trình trở thành

\[4m{t^2} - 2t + 1 - m = 0(1)\]

\[ \Leftrightarrow m(4{t^2} - 1) - (2t - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow m(2t + 1)(2t - 1) - (2t - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (2t - 1)(2mt + m - 1) = 0\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{2} \in (0;1)}\\{2mt = 1 - m(2)}\end{array}} \right.\)

Để phương trình ban đầu có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc\[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]thì phương trình (1)(1) có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0;1). Khi đó phương trình (2) có nghiệm thuộc\[\left( {0;1} \right) \setminus \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]

Khi m=0 ta có 0t=1 (vô nghiệm)

Khi \[m \ne 0\]thì \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow t = \frac{{1 - m}}{{2m}}\]

Để phương trình (2) có nghiệm thuộc\[\left( {0;1} \right) \setminus \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{0 < \frac{{1 - m}}{{2m}} < 1}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} >0}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} < 1}\\{2(1 - m) \ne 2m}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} >0}\\{\frac{{1 - 3m}}{{2m}} < 0}\\{4m \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{0 < m < 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m >\frac{1}{3}}\end{array}} \right.}\\{m \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3} < m < 1}\\{m \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

\[\begin{array}{l}\sqrt 3 cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 cos5x - (sin5x + sinx) - sinx = 0\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 3 cos5x - sin5x = 2sinx\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}cos5x - \frac{1}{2}sin5x = sinx\]

\[ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{3}cos5x - cos\frac{\pi }{3}sin5x = sinx\]

\[ \Leftrightarrow sin(\frac{\pi }{3} - 5x) = sinx\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{3} - 5x = x + k2\pi }\\{\frac{\pi }{3} - 5x = \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{3};\,\,x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

\[4\sin x\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos 3x = 1\]

\[ \Leftrightarrow 4sinx.( - \frac{1}{2})[cos(2x + \pi ) - cos( - \frac{\pi }{3})] + cos3x = 1\]

\[ \Leftrightarrow - 2sinx( - cos2x - \frac{1}{2}) + cos3x = 1\]

\[ \Leftrightarrow 2sinxcos2x + sinx + cos3x = 1\]

\[ \Leftrightarrow sin3x - sinx + sinx + cos3x = 1\]

\[ \Leftrightarrow sin3x + cos3x = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}sin3x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}cos3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

\[ \Leftrightarrow sin(3x + \frac{\pi }{4}) = sin\frac{\pi }{4}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là:  B

Trả lời:

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx \ne 0}\\{cosx \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow sin2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)

\[8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\]

\[ \Leftrightarrow 8si{n^2}xcosx = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow 4sinxsin2x = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow - 2(cos3x - cosx) = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow - 2cos3x + 2cosx = \sqrt 3 sinx + cosx\]

\[ \Leftrightarrow cosx - \sqrt 3 sinx = 2cos3x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}cosx - \frac{{\sqrt 3 }}{2}sinx = cos3x\]

\[ \Leftrightarrow cosxcos\frac{\pi }{3} - sinxsin\frac{\pi }{3} = cos3x\]

\[ \Leftrightarrow cos(x + \frac{\pi }{3}) = cos3x\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{3} = 3x + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - 3x + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})(tm)\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;\,\,x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

\[\sin 3x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}{\sin ^2}x = 2\sin x\cos 2x\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 3 sin3x - 2si{n^2}x = \sqrt 3 (sin3x - sinx)\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 3 sin3x - 2si{n^2}x = \sqrt 3 sin3x - \sqrt 3 sinx\]

\[ \Leftrightarrow 2si{n^2}x - \sqrt 3 sinx = 0\]

\[ \Leftrightarrow sinx(2sinx - \sqrt 3 ) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx = 0}\\{sinx = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

\[x = k\pi ;\,\,x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C

\[\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}(sin31x + sin5x) = \frac{1}{2}(sin13x + sin5x)\]

\[ \Leftrightarrow sin31x + sin5x = sin13x + sin5x\]

\[ \Leftrightarrow sin31x = sin13x\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{31x = 13x + k2\pi }\\{31x = \pi - 13x + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{18x = k2\pi }\\{44x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k\pi }}{9}}\\{x = \frac{\pi }{{44}} + \frac{{k\pi }}{{22}}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình là\[x = \frac{{k\pi }}{9};\,\,x = \frac{\pi }{{44}} + \frac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

\[\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\]

\[ \Leftrightarrow cosx + cos3x + cos5x + cos5x = 0\]

\[ \Leftrightarrow (cosx + cos5x) + (cos3x + cos5x) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cos3xcos2x + 2cos4xcosx = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2(4co{s^3}x - 3cosx)cos2x + 2cos4xcosx = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cosx(4co{s^2}x - 3)cos2x + 2cos4xcosx = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cosx[(4co{s^2}x - 3)cos2x + cos4x] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cosx[[2(1 + cos2x) - 3]cos2x + 2co{s^2}2x - 1] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cosx[(2cos2x - 1)cos2x + 2co{s^2}2x - 1] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cosx[4co{s^2}2x - cos2x - 1] = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{cosx = 0}\\{cos2x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}}\\{cos2x = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{8}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x = \pm arccos\frac{{1 + \sqrt {17} }}{8} + k2\pi }\\{2x = \pm arccos\frac{{1 - \sqrt {17} }}{8} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \pm \frac{1}{2}arccos\frac{{1 + \sqrt {17} }}{8} + k\pi }\\{x = \pm \frac{1}{2}arccos\frac{{1 - \sqrt {17} }}{8} + k\pi }\end{array}} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8} + k\pi ,x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{1 - \sqrt {17} }}{8} + k\pi \]

Đáp án cần chọn là: DCâu 32. Giải phương trình \[\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\]

A.\[x = k\pi ,x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\]

B. \[x = \pm \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\]

C. \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\]

D. \[x = 2k\pi ,x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{3}\]Trả lời:

\[\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2cos2xsinx + 2sinxcosx = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2sinx(cos2x + cosx) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx = 0}\\{cos2x = - cosx = cos(\pi - x)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \pi - x + k2\pi }\\{2x = x - \pi + k2\pi }\end{array}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = - \pi + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = k\pi ,x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\]

Đáp án cần chọn là: A