ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình lượng giác cơ bản

Bước 1:

Ta có:

\[cos3x = cosx \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = x + k2\pi }\\{3x = - x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = k2\pi }\\{4x = k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.} \right.\]

Bước 2:

+) Với họ nghiệm \[x = k\pi \] ta có:

Khi k=0 thì x=0, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k chẵn)

Khi k=1 thì \[x = \pi \], điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k lẻ).

Như thế họ nghiệm \[x = k\pi \] có 2 điểm biểu diễn là A,A′.

+) Với họ nghiệm\[x = \frac{{k\pi }}{2}\] ta có:

Khi k=0 thì x=0, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m, tức là k chia hết cho 4)

Khi k=1 thì \[x = \frac{\pi }{2}\] điểm biểu diễn là B (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+1).

Khi k=2 thì \[x = \pi \]  điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+2).

Khi k=3 thì\[x = \frac{{3\pi }}{2}\] điểm biểu diễn là B' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+3).

Như thế họ nghiệm\[x = \frac{{k\pi }}{2}\] có 44 điểm biểu diễn là A,A′,B,B′.

+) Kết hợp các điểm này lại ta được tổng cộng vẫn là 4 điểm A,A′,B,B′. Mà 4 điểm này là 4 điểm biểu diễn của chính họ nghiệm\[x = \frac{{k\pi }}{2}\] nên nghiệm của phương trình ban đầu là \[x = \frac{{k\pi }}{2}k \in Z\]

Bước 1:

\[si{n^2}x - sinx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx = 0}\\{sinx = 1}\end{array}} \right.\]

Bước 2:

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Ta có:

\[\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = (\frac{\pi }{2} - x) + k2\pi }\\{3x = \pi - (\frac{\pi }{2} - x) + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\)

ĐKXĐ: \[\sin \left( {5x - \frac{\pi }{8}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 5x - \frac{\pi }{8} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{40}} + \frac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\]

Ta có:

\[\sqrt 3 \cot \left( {5x - \frac{\pi }{8}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {5x - \frac{\pi }{8}} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{2} + k\pi \]

\[ \Leftrightarrow 5x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\]

Điều kiện xác định:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cosx \ne 0}\\{sinx \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R \setminus \{ \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\} \)

Do\[\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\]nên tập nghiệm của phương trình là \[R \setminus \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\]

Bước 1:

Ta có: \[\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cot x - 2\cot 2x = 1\]

ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx \ne 0}\\{sin2x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow sin2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)

Bước 2:

Khi đó phương trình tương đương:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cot x - 2\cot 2x = 1}\\{ \Leftrightarrow \cot x - 2.\frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}} = 1}\\{ \Leftrightarrow \cot x - \frac{{\tan x.\cot x - {{\tan }^2}x}}{{\tan x}} = 1}\\{ \Leftrightarrow \cot x - \left( {\cot x - \tan x} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\left( {TMDK} \right)}\end{array}\]

Bước 2:

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{12x = k2\pi }\\{40x = k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k\pi }}{6}}\\{x = \frac{{k\pi }}{{20}}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình là\[x = \frac{{k\pi }}{6},\,\,x = \frac{{k\pi }}{{20}}\]

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1 = \tan {{45}^0}}\\{ \Leftrightarrow 2x - {{15}^0} = {{45}^0} + k{{180}^0}}\\{ \Leftrightarrow 2x = {{60}^0} + k{{180}^0}}\\{ \Leftrightarrow x = {{30}^0} + k{{90}^0}}\end{array}\]

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l} - {90^0} < x < {90^0}\\ \Leftrightarrow - {90^0} < {30^0} + k{90^0} < {90^0}\\ \Leftrightarrow - {120^0} < k{90^0} < {60^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\end{array}\]

Mà \[k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0; - 1} \right\}\]

Với k=0 ta có nghiệm\[x = {30^0}\]

Với k=−1 ta có nghiệm\[x = {30^0} - {90^0} = - {60^0}\]

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn là\[x = - {60^0},\,\,x = {30^0}\]

Hàm số\[y = \frac{{2\sin x - 1}}{{\tan 2x + \sqrt 3 }}\]xác định khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cos2x \ne 0}\\{tan2x \ne - \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x \ne - \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Bước 1:

Với \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow 3x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]

Hàm số\[y = \cos x\] nghịch biến trên\[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] nên ta có:

\[0 < 3x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{2} \le \cos 3x \le \cos 0 \Leftrightarrow 0 \le \cos 3x < 1\]

Bước 2:

Do đó phương trình\[\cos 3x = 2{m^2} - 3m + 1\]  có nghiệm khi và chỉ khi:\[0 \le 2{m^2} - 3m + 1 < 1\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{m^2} - 3m + 1 \ge 0}\\{2{m^2} - 3m + 1 < 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 1}\\{m \le \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\\{0 < m < \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

Kết hợp nghiệm:

\[ \Leftrightarrow m \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right)\]

Thay\[x = \frac{{11\pi }}{{60}}\]  vào phương trình ta có:

\[sin(2.\frac{{11\pi }}{{60}} - \frac{\pi }{5}) = 3{m^2} + \frac{m}{2} \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{6} = 3{m^2} + \frac{m}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = 3{m^2} + \frac{m}{2} \Leftrightarrow 6{m^2} + m = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{1}{3}}\\{m = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]

ĐKXĐ:\[sinx - \frac{1}{2} \ne 0 \Rightarrow sinx \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\]

\(\frac{{cosx - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{sinx - \frac{1}{2}}} = 0 \Leftrightarrow cosx - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow cosx = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Phương trình\[\sin \left( {2x + \frac{\pi }{7}} \right) = {m^2} - 3m + 3\] vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 3 >1}\\{{m^2} - 3m + 3 < - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 2 >0}\\{{m^2} - 3m + 4 < 0(vo\,\,nghiem)}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >2}\\{m < 1}\end{array}} \right.\)