ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - bài toán đếm

Đáp án cần chọn là: A

Lập số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số 7, ta bỏ chữ số 7 ra khổi tập hợp A, khi đó ta được tập hợp \[B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}\] và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập B bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.

Số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ tập B là chỉnh hợp chập 4 của 5. Vậy có \[A_5^4 = 120\] số.

Đáp án cần chọn là: D

Số nhỏ hơn 1000 là số có nhiều nhất 3 chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0,1,2,3,4?

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\]suy ra có 4 cách chọn a, có 4 cách chọn b, có 3 cách chọn cc .

Vậy có 4.4.3=48  số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số 0,1,2,3,4? 

Có 4.4=16 số.

TH3: Số có 1  chữ số lập từ các số 0,1,2,3,4?

Có 5 số.

Vậy có có tất cả 69 số.

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 2 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Bước 2: Tìm số hình bình hành.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 4 đường thẳng song song có \[C_4^2 = 6\] cách.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 5 đường thẳng song song có \[C_5^2 = 10\] cách.

Vậy có tất cả \[6.10 = 60\]hình bình hành được tạo thành.

Đáp án cần chọn là: B

TH1: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng và 4  bông hoa hồng đỏ.

Số cách chọn 3  bông hồng vàng là \[C_5^3 = 10\] cách.

Số cách chọn 4 bông hồng đỏ là \[C_4^4 = 1\] cách.

Theo quy tắc nhân thì có \[10.1 = 10\]cách.

TH2: Chọn được 4 bông hoa hồng vàng và 3 bông hoa hồng đỏ.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \[C_5^4.C_4^3 = 20\] cách.

TH3: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng, 3 bông hoa hồng đỏ và 1  bông hoa hồng trắng.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \[C_5^3.C_4^3.C_3^1 = 120\] cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có \[10 + 20 + 120 = 150\]cách.

Đáp án cần chọn là: D

Số cách chọn ra 3  người để bầu cho 3 vị trí khác nhau là \[A_8^3 = 336\] (cách).

Đáp án cần chọn là: A

TH1: Có 10 chữ số 5: Chỉ có duy nhất 1 số.

TH2: Có 9  chữ số 5 và 1  chữ số 2 .

Xếp 9  chữ số 5  thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.

TH3: Có 8 chữ số 5 và 2  chữ số2.

Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào 9 vách ngăn đó, có \[C_9^2 = 36\] cách. Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có 7 chữ số 5  và 3 chữ số 2 .

Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \[C_8^3 = 56\] cách. Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 .

Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \[C_7^4 = 35\] cách. Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có 5 chữ số 5  và 5 chữ số 2.

Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \[C_6^5 = 6\] cách. Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả: \[1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144\] số.

Đáp án cần chọn là: A

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra 5  bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.

Bước 1: Chọn nhóm 3  em trong 13 em (13 em này không tính em Thùy và Thiện) có \[C_{13}^3 = 286\] cách.

Bước 2: Chọn 2 em Thùy và Thiện có 1 cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì ta có 286  cách chọn 5  em mà trong đó có cả 2  em Thùy và Thiện.

Chọn 5 em bất kì trong số 15  em thì ta có: \[C_{15}^5 = 3003\] cách.

Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả \[3003 - 286 = 2717\]cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.

Đáp án cần chọn là: C

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.

Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có \[C_{10}^3 = 120\].

Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là \[{P_5} = 5! = 120\] (cách).

Đáp án cần chọn là: D

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\]

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

⇒\[ \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\]

TH1: d=0, số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \]

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c\,\, \vdots \,\,3\]

Ta có các nhóm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 \equiv 0(mod\,3)}\\{\{ 1;4;7\} \equiv 1(mod\,3)}\\{\{ 2;5;8\} \equiv 2(mod\,3)}\end{array}} \right.\)

+) \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\]

⇒ Có 3! cách chọn.

+) \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\]

⇒ Có 3! cách chọn.

+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

⇒ Có \[1.C_3^1.C_3^1.3!\]cách chọn.

⇒ Có \[3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\]số.

TH2: d=5, số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \]

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\], trong đó \[5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\].

Ta có các nhóm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\{ 0;9\} \equiv 0(mod\,\,3)}\\{\{ 1;4;7\} \equiv 1(mod\,\,3)}\\{\{ 2;8\} \equiv 2(mod\,\,3)}\end{array}} \right.\)

+) Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có \[C_3^1\] cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có:  \[C_3^1.3!\] cách chọn.

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm \[\overline {bc} \]

 Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có  \[C_3^1\] cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn \[\overline {bc} \]là \[C_3^1.2!\]

⇒ Có \[C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12\] cách chọn.

+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

⇒ Có \[C_2^1.3! - 2! = 10\] cách chọn.

+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

⇒ Có \[C_3^2.C_2^1.3! = 36\] cách chọn.

Vậy có tất cả \[66 + 12 + 10 + 36 = 124\]số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi số cần tìm có dạng\[\overline {abcd} \left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \le 9,\,\,a \ne 0} \right)\]

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 \[ \Rightarrow b = c = d = 0,\,\,a = 7\]

Do đó có 1 số thỏa mãn.

TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có\[C_3^2 = 3\] cách.

- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có

\[7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6\] nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 18 số.

TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có\[C_3^1 = 3\] cách.

- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có:

\[7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\]

 + Với bộ số (1;2;4) có\[3! = 6\] cách chọn 3 chữ số còn lại.

   + Với 3 bộ số còn lại có\[\frac{{3!}}{{2!}} = 3\] cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có\[3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45\] số.

TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d  không có chữ số nằm bằng 0.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7 = 1 + 1 + 1 + 4}\\{7 = 1 + 1 + 2 + 3}\\{7 = 1 + 2 + 2 + 2}\end{array}} \right.\)

   + Với bộ số (1;1;1;4), có\[\frac{{4!}}{{3!}} = 4\] cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;1;2;3), có\[\frac{{4!}}{{2!}} = 12\] cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;2;2;2), có\[\frac{{4!}}{{3!}} = 4\] cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả:  1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.

Đáp án cần chọn là: D

Số cách xếp hai học sinh lớp 10 ở hàng phía trước là \[A_3^2\]

Số cách xếp hai học sinh lớp 12 ở hàng phía sau là \[A_3^2\]

Còn 2 chỗ trống. Số cách xếp hai học sinh lớp 11 ở hai vị trí còn lại là \[A_2^2\]

Vậy tổng số cách xếp có thể là \[A_3^2.A_3^2.A_2^2 = 72\]

=>n = 72

Bước 1: Xếp học sinh nam

Xếp 15 học sinh nam thành một hàng có 15! cách.

Bước 2: Xếp học sinh nữ

Xếp 15 học sinh nữ thành một hàng có 15! cách.

Bước 3: Tính số cách xếp

Hoán đổi vị trí 2 hàng có \[2! = 2\]cách.

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \[2.{\left( {15!} \right)^2}\].

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành tứ diện

Một tứ diện được tạo thành là một cách chọn 4 điểm phân biệt không đồng phẳng trong 10 điểm.

Bước 2: Sử dụng công thức tổ hợp.

Số cách chọn 4 điểm trong 10 điểm: \[C_{10}^4 = 210\] cách.

Vậy số tứ diện là 210 tứ diện.

Đáp án cần chọn là: A

TH1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ có \[C_4^1.C_6^4 = 60\] cách.

TH2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ có \[C_4^2.C_6^3 = 120\] cách.

Vậy có tất cả \[60 + 120 = 180\]cách chọn 5 học sinh mà có cả nam và nữ, đồng thời số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.

Bước 1: Tính số cách sắp xếp 5 sách toán đứng cạnh nhau và 5 sách văn đứng cạnh nhau.

Ta có số cách sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau là 5!

Số cách sắp xếp 5 cuốn sách văn khác nhau là 5!

Bước 2: Sắp xếp 10 cuốn thành 1 hàng ngang.

Có 2 cách để sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau thành 1 hàng ngang.

Do đó số cách xếp thỏa mãn bài toán là \[2.5!.5! = 28800\]

Bước 1: Số cách chọn ra 9 quyển sách bất kì

Số cách chọn ra 9 quyển sách bất kì có \[C_{20}^9 = 167960\].

Bước 2: Tìm số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn

Ta tìm số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn.

Vì số sách còn lại của thầy không đủ ba môn nên thầy đã tặng hết ít nhất một môn.

TH1: Tặng 7 quyển sách Toán + 2 quyển sách khác sách Toán: có \[C_7^7.C_{13}^2 = 78\] cách

TH2: Tặng 5 quyển sách Lí + 4 quyển sách khác sách Lí: có \[C_5^5.C_{15}^4 = 1365\] cách.

TH3: Tặng 8 quyển sách Hóa + 1 quyển sách khác sách Hóa: có \[C_8^8.C_{12}^1 = 12\] cách.

⇒ số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn là: \[78 + 1365 + 12 = 1455\] cách.

Bước 3: Lấy phần bù

Vậy số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn là: \[167960 - 1455 = 166505\] cách.

Bước 1: 

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là\[\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\]

Bước 2: d=3

TH1: d=3.

Số cách chọn a là 4 cách.

Số cách chọn b,c là:\[A_4^2 = 12\] cách.

⇒ Có \[4.12.1 = 48\] số.

Bước 3: \[d \ne 3\]

TH2:\[d \ne 3 \Rightarrow d \in \left\{ {1;5} \right\} \Rightarrow \] Có 2 cách chọn d.

2a) Nếu a=3⇒ Có 1 cách chọn a.

       Số cách chọn b,c là\[A_4^2 = 12\]  cách.

⇒ Có\[2.1.12 = 24\] số.

2b) Nếu \[a \ne 3 \Rightarrow \] Có 3 cách chọn aa.

Vì một trong hai số b và c phải có 1 số bằng 3 nên:

      Số cách chọn b,cb,c là: 2.3=6 cách.

⇒ Có \[2.3.6 = 36\]số.

Bước 4: Sử dụng quy tắc cộng tính tổng các số tìm được

Vậy có tất cả\[48 + 24 + 36 = 108\] số.