ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Biến cố và xác suất của biến cố

Xác suất xảy ra biến cố A là:\[P\left( A \right) = \frac{{n\left( {{{\rm{\Omega }}_A}} \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}}\]

Số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {6^2} = 36\]

Gọi A là biến cố để tổng hai mặt là 11, các trường hợp có thể xảy ra của A là\[A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\]

Số phần tử của không gian thuận lợi là: \[n\left( A \right) = 2\]

Xác suất biến cố A là : \[P\left( A \right) = \frac{1}{{18}}\]

Số phần tử của không gian mẫu\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 2.2 = 4\]

Biến cố A có\[{{\rm{\Omega }}_A} = \left\{ {SN,NS,NN} \right\}\] nên\[n\left( {{{\rm{\Omega }}_A}} \right) = 3\]

Vậy xác suất\[P\left( A \right) = \frac{3}{4}\]

Ta có: \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {2^5} = 32\]

Biến cố A:”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó: \[\bar A\]” Tất cả đều là  mặt ngửa”.

Suy ra\[P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{{32}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{1}{{32}} = \frac{{31}}{{32}}\]

Gọi A là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.

Ta có\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {2^4} = 16,n\left( {{{\rm{\Omega }}_A}} \right) = 1 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( {{{\rm{\Omega }}_A}} \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{1}{{16}}\]

Ta có: \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {2^3} = 8\]Gọi A  là biến cố: “Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó \[A = \left\{ {SSN,SNS,NSS} \right\}\] nên\[P\left( A \right) = \frac{3}{8}\]

Ta có: \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {6^5}\]

Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {1;1;2} \right),\left( {1;2;3} \right),\left( {1;3;4} \right),\left( {1;4;5} \right),}\\{\left( {1;5;6} \right),\left( {2;1;3} \right),\left( {2;2;4} \right),\left( {2;3;5} \right),}\\{\left( {2;4;6} \right),\left( {3;1;4} \right),\left( {3;2;5} \right),\left( {3;3;6} \right),}\\{\left( {4;1;5} \right),\left( {4;2;6} \right),\left( {5;1;6} \right)}\end{array}\]

Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có 66 khả năng xảy ra nên\[n\left( A \right) = 15.6.6\]Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{15.6.6}}{{{6^5}}} = \frac{{15}}{{216}}\]

Ta có:\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {6^3}\]

Gọi A là biến cố: “Số chấm trên ba con xúc sắc bằng nhau”.

Khi đó các trường hợp có thể có của A là:

\[\left( {1;1;1} \right),\left( {2;2;2} \right),\left( {3;3;3} \right),\left( {4;4;4} \right),\left( {5;5;5} \right),\left( {6;6;6} \right)\]

Vậy\[P\left( A \right) = \frac{6}{{216}} = \frac{1}{{36}}\]

Ta có:\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {6^6}\]

TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần ⇒⇒ có 5.6=30 khả năng xảy ra.

TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần ⇒⇒ có 1 khả năng xảy ra.

TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần ⇒⇒ có 5.6=30 khả năng xảy ra.

TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần ⇒⇒ có 1 khả năng xảy ra.

Vậy có\[30 + 1 + 30 + 1 = 62\]  khả năng xảy ra biến cố A.

Vậy\[P\left( A \right) = \frac{{62}}{{{6^6}}} = \frac{{31}}{{23328}}\]

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“

-Số phần tử của không gian mẫu: \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 10!\]

-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là:  5!.5!

-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là:  5!.5!

\[n\left( A \right) = 5!.5! + 5!.5! = 28800.\]

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{28800}}{{10!}} = \frac{1}{{126}}.\)

Số phần tử của không gian mẫu là\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 6!\]

Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

Chọn chỗ cho học sinh  nam thứ  2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có  2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.

\[ \Rightarrow {n_A} = 6.4.2.3! = 288\] cách.

\[ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{288}}{{6!}} = \frac{2}{5}.\]

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là \[9.9 = 81 \Rightarrow n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {81^2}\]

Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau ⇒ Có 81 cách.

TH2: Bạn Công viết số có dạng\[\overline {ab} \] và bạn Thành viết số có dạng\[\overline {ba} \]

\[ \Rightarrow a \ne b \ne 0 \Rightarrow \] Có\[9.8 = 72\] cách.

TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.

+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng\[\overline {a0} \] Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)

⇒ Có 9.8=72 cách.

+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng\[\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\] hoặc\[\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\]

   Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng\[\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\] và 8 cách viết số có dạng\[\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\]⇒ Có 16 cách.

    Nếu Công viết số có dạng\[\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 0,\,\,b \ne 1} \right)\] ⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng\[\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\] và 8 cách viết số có dạng\[\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\]

⇒ Có 8(7+8)=120 cách.

    Nếu Công viết có dạng\[\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\] ⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng\[\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\] và 8 cách viết số có dạng\[\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\]

⇒ Có 8(7+8)=120 cách.

⇒ Có 256 cách viết trùng số 1.

Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.

\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529\]

Vậy\[P\left( A \right) = \frac{{2529}}{{{{81}^2}}} = \frac{{281}}{{729}}\]

+) Số phần tử của KGM: \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = n\left( X \right) = C_{18}^3\]

Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.

Có 18 đỉnh như vậy ⇒ Lập được 8.18=144 tam giác cân + đều.

Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.

\[ \Rightarrow n\left( A \right) = 144 - 6 = 138\]

Vậy xác suất của biến cố A là:\[P = P\left( A \right) = \frac{{136}}{{C_{18}^3}} = \frac{{23}}{{136}}\]

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).

Số phần tử của không gian mẫu\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {6^3} = 216\]

Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”

Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là\[C_3^2.1.1.5 = 15\]cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: 1 cách

Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: \[n\left( A \right) = 15 + 1 = 16\] cách

Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{16}}{{216}} = \frac{2}{{27}}\]

Do đó xác suất để thua 1 ván là\[1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{2}{{27}} = \frac{{25}}{{27}}\]

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.

TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván

Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là\[C_3^2.\frac{2}{{27}}.\frac{2}{{27}}.\frac{{25}}{{27}} = \frac{{100}}{{6561}}\]

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là:\[{\left( {\frac{2}{{27}}} \right)^3} = \frac{8}{{19683}}\]

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

\[P = \frac{{100}}{{6561}} + \frac{8}{{19683}} = \frac{{308}}{{19683}}\]

Số phần tử của không gian mẫu:\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 6!\]

Bước 1: Xếp 3 học sinh đứng đầu hàng

+) Chọn 3 học sinh lớp A, B, C để đứng đầu hàng. Mỗi lớp 1 học sinh: Có\[{(C_2^1)^3}\]cách chọn.

+) Với mỗi cách chọn trên ta sắp xếp thứ tự 3 học sinh này: Có 3! cách xếp.

Theo quy tắc nhân có 48 cách xếp 3 học sinh A,B,C đứng đầu hàng.

Bước 2: Với mỗi một cách xếp 3 học sinh ở 2 bước trên (Giả sử thứ tự khi xếp 3 học sinh ở bước 2 là ABC),

+) Ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại xếp vị trí thứ 4

=>Chỉ có thể là học sinh lớp A: ABCA

+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 5: Chỉ có thể là B

+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 6: Chỉ có thể là C

Số phần tử của A là\[n\left( A \right) = {(C_2^1)^3}.3! = 48 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{48}}{{6!}} = \frac{1}{{15}}\]

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là\[\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\]

- Số cách chọn a: 6 cách.

- Số cách chọn\[b,c,d:A_6^3\] cách.

⇒ Có \[6.A_6^3 = 720\] số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

⇒ Tập hợp S có 720 phần tử.

Chọn ngẫu nhiên 2 số từ S ⇒ Không gian mẫu:\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{720}^2\]

Trong các số 0,1,2,3,4,5,6 có 4 số chẵn và 3 số lẻ.

a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:

Nếu số đó có dạng$\overline{abc0}\Rightarrow$có $A_6^3=120$ số thỏa mãn.

Nếu số đó dạng $\overline{abcd};d\in \left\{2;4;6\right\}\Rightarrow$ có $\mathrm{3.5.}{A}_5^2=300$ số thỏa mãn.

Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.

b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:

Số các số lẻ \[ = 720 - 420 = 300\] số.

Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn” ⇒ Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.

- Lấy hai số chẵn từ tập S có\[C_{420}^2\] cách.

- Lấy hai số lẻ từ tập S có\[C_{300}^2\] cách.

\[ \Rightarrow n\left( A \right) = C_{420}^2 + C_{300}^2\]

Vậy xác suất của biến cố A là:\[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\]

Đáp án cần chọn là: C

Số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là: 8! cách.

Gọi biến cố A: “Học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B”.

TH1: Học sinh A đứng ở đầu hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B

⇒ Có: \[C_2^1.6!\] cách xếp.

TH2: Học sinh A đứng ở cuối hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B

⇒ Có: \[C_2^1.6!\] cách xếp.

TH3: Học sinh A đứng giữa hai bạn học sinh lớp B

⇒ Có:\[2!.6!\] cách xếp.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {n_A} = 2C_2^1.6! + 2!.6! = 4320}\\{ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{{n_A}}}{{{n_{\rm{\Omega }}}}} = \frac{{4320}}{{8!}} = \frac{3}{{28}}.}\end{array}\]

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là:\[C_{60}^2\] cách lấy.

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.

TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10

⇒ Có\[C_6^1.C_{54}^1\] cách lấy.

TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10

⇒ Có \[C_6^2\] cách lấy.

TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)

⇒ Có\[\left( {30 - 6} \right)\left( {12 - 6} \right) = 24.6 = 144\] cách lấy.

\[ \Rightarrow {n_A} = C_6^1.C_{54}^1 + C_6^2 + 144 = 483\] cách lấy.

\[ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{483}}{{C_{60}^2}} = \frac{{161}}{{590}}.\]

Gọi số phần quà Sử - Địa là xx, số phần quà Sử - GDCD là yy và số phần quà Địa – GDCD là zz 

Tổng số phần quà là 15 nên x+y+z=15.

Phần quà có môn sử chỉ có 2 kiểu: Sử- Địa (x phần quà) và Sử - GDCD(y phần quà). Do có 12 quyển sách sử nên 12 quyển này nằm hoàn toàn trong 2 kiểu phần quà trên. Do đó, x+y=12.

Tương tự với Địa: x+z=8.

GDCD: y+z=10

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 15}\\{x + y = 12}\\{y + z = 10}\\{x + z = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 7}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)

Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.

            Số phần quà Sử - GDCD là 7.

            Số phần quà Địa – GDCD là 3.

Chọn 2 trong 15 phần quà ⇒ Không gian mẫu\[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{15}^2 = 105\]

Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có:

\[n\left( A \right) = C_5^1.C_7^1 + C_7^1.C_3^1 + C_3^1.C_5^1 = 71\]

Vậy\[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{71}}{{105}}\]

Nếu A và \(\overline A \) là hai biến cố đối nhau thì\[P\left( {\bar A} \right) + P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right)\]

Trả lời:

Bước 1:

Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.

Bước 2:

Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là\[\left| {\rm{\Omega }} \right| = C_{12}^3\]

Bước 3:

Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là

\[\left| {{{\rm{\Omega }}_A}} \right| = \frac{{12}}{3} = 4.\]

Bước 4:

Vậy xác suất là \[P = \frac{{\left| {{{\rm{\Omega }}_A}} \right|}}{{\left| {\rm{\Omega }} \right|}} = \frac{4}{{C_{12}^3}} = \frac{1}{{55}}.\]

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1:

Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.

Bước 2:

Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13=169.

Bước 3:

Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7

Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8

Do đó có 7.8=56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.

Bước 4:

Vậy xác suất là \[P = \frac{{56}}{{169}}.\]