ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Đạo hàm cấp cao
22 câu hỏi
\[dy = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }dx\]
\[dx = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }dy\]
\[dy = \left( {{x^2} + 2x} \right)dx\]
\[dy = \frac{1}{{{x^2} + 2x}}dx\]
Đáp án cần chọn là: A
\[y'' = 0\]
\[y'' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]
\[y'' = - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\]
\[y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
\[y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\]
\[y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\]
\[y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\]
\[y''' = - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\]
Cách 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ch{\rm{ }}1:}\\\begin{array}{l}y\prime = 3{({x^2} + 1)^2}({x^2} + 1)\prime = 6x{({x^2} + 1)^2}\\y\prime \prime = 6{({x^2} + 1)^2} + 6x.2({x^2} + 1).2x\\ = 6{({x^2} + 1)^2} + 24{x^2}({x^2} + 1)\\y\prime \prime \prime = 12({x^2} + 1).2x + 24.2x.({x^2} + 1) + 24{x^2}.2x\\ = 24x({x^2} + 1) + 48x({x^2} + 1) + 48{x^3}\\ = 24x({x^2} + 1 + 2({x^2} + 1) + 2{x^2}) = 24x(5{x^2} + 3)\end{array}\end{array}\]
Cách 2:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1}\\{y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x}\\{y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6}\\{y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
\[y'' = \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\]
\[y'' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\]
\[y'' = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\]
\[y'' = - \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\]
Đáp án cần chọn là: C
\[y'' = - \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\]
\[y'' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]
\[y'' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]
\[y'' = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\]
Đáp án cần chọn là: D
M=0.
M=20.
M=40.
M=100.
Hàm số viết lại: \[y = {x^4} - 2{x^2} + 1\]
Ta có \[y' = 4{x^3} - 4x,y'' = 12{x^2} - 4,y''' = 24x,{y^{\left( 4 \right)}} = 24\]Khi đó
\[M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y'' = 24 + 2x.24x - 4\left( {12{x^2} - 4} \right) = 40.\]
Đáp án cần chọn là: C
\[\left[ { - 1;2} \right]\]
\[\left( { - \infty ;0} \right]\]
\[\left\{ { - 1} \right\}\]
\[\emptyset \]
Đáp án cần chọn là: C
\[y' = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\]
\[y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\]
\[y''' = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\]
\[y' = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \] Đáp án A đúng.
\[y'' = - \sin x = \sin \left( {x + \pi } \right) \Rightarrow \] Đáp án B đúng.
\[y''' = - \cos x = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \] Đáp án C đúng.
Đáp án cần chọn là: D
\[x = \frac{\pi }{2}\]
\[x = 0\]hoặc \[x = \frac{\pi }{6}\]
\[x = 0\]hoặc\[x = \frac{\pi }{3}\]
\[x = 0\]hoặc \[x = \frac{\pi }{2}\]
\[\begin{array}{l}f\prime (x) = - 2sin(2x - \frac{\pi }{3})\\f\prime \prime (x) = - 4cos(2x - \frac{\pi }{3})\\f\prime \prime \prime (x) = 8sin(2x - \frac{\pi }{3})\\{f^{(4)}}(x) = 16cos(2x - \frac{\pi }{3})\\{f^{(4)}}(x) = - 8 \Leftrightarrow cos(2x - \frac{\pi }{3}) = - \frac{1}{2}\end{array}\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\)
\[x \in [0;\frac{\pi }{2}] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[4y - y'' = 0\]
\[4y + y'' = 0\]
\[y = y'\tan 2x\]
\[{y^2} = {\left( {y'} \right)^2} = 4\]
Đáp án cần chọn là: B
Chỉ (I)
Chỉ (II) đúng
Cả hai đều đúng
Cả hai đều sai
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{1}{{{x^2}}}}\\{y'' = - \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{x^4}}} = - \frac{{2x}}{{{x^4}}} = - \frac{2}{{{x^3}}}}\\{y''' = - 2.\frac{{ - {{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }}}{{{x^6}}} = \frac{{2.3{x^2}}}{{{x^6}}} = \frac{6}{{{x^4}}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
0
1
−2
5
\[\begin{array}{l}f\prime (x) = 3si{n^2}x(sinx)\prime + 2x = 3si{n^2}xcosx + 2x\\f\prime \prime (x) = 3.(si{n^2}x)\prime .cosx + 3si{n^2}x.(cosx)\prime + 2\\ = 6sinx(sinx)\prime cosx - 3si{n^2}x.sinx + 2\\ = 6sinxco{s^2}x - 3si{n^3}x + 2\end{array}\]
\[f\prime \prime ( - \frac{\pi }{2}) = 6sin( - \frac{\pi }{2})co{s^2}( - \frac{\pi }{2}) - 3si{n^3}( - \frac{\pi }{2}) + 2 = 3 + 2 = 5.\]
Đáp án cần chọn là: D
\[x \in \left( {1; + \infty } \right).\]
\[x \in \left( { - \infty ;1} \right) \setminus \left\{ 0 \right\}.\]
\[x \in \left( { - 1;1} \right).\]
\[x \in \left( { - 2;2} \right).\]
Ta có\[y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2}\]
Bất phương trình\[y'' < 0 \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \Leftrightarrow {x^2}(x - 1) < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ne 0}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: B
\[\frac{1}{{\cos x}}\]
\[ - \frac{1}{{\cos x}}\]
\[\cot x\]
\[\tan x\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{{\cos x}}}\\{y' = \frac{{ - {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = \frac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}}} = \frac{{{{\cos }^3}x + 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^3}x}}}\end{array}\]
Đáp án B:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = - \frac{1}{{\cos x}}}\\{y' = \frac{{{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = - \frac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{ - {{\cos }^3}x - 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = - \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}}\end{array}\]
Đáp án C:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \cot x}\\{y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}\\{y' = \frac{{2\sin x{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^4}x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\sin }^4}x}} = \frac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}}\end{array}\]
Đáp án D:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \tan x}\\{y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = \frac{{ - 2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
\[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0\]
\[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 10a + b\]
\[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 5a\]
\[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 10a\]
Đáp án cần chọn là: A
−cosx
sinx
−sinx
cosx
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y'\left( x \right) = - \sin x}\\{y''\left( x \right) = - \cos x}\\{y'''\left( x \right) = \sin x}\\{{y^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x = y}\\{{y^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = - \sin x = y'}\\{{y^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = - \cos x = y''}\\{{y^{\left( 7 \right)}}\left( x \right) = \sin x = y'''}\\{....}\end{array}\]
Ta có:\[2018 = 504.4 + 2 \Rightarrow {y^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = y''\left( x \right) = - \cos x\]
Đáp án cần chọn là: A
\[12\,m/{s^2}\]
\[8\,m/{s^2}\]
\[7\,m/{s^2}\]
\[6\,m/{s^2}\]
Ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a = v' = {{\left( {s'} \right)}^\prime } = s''}\\{s' = 3{t^2} - 4t + 4}\\{s'' = 6t - 4 = a}\\{a\left( 2 \right) = 6.2 - 4 = 8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
\[{y^{\left( 4 \right)}} = - 2048\cos 8x + 8\cos 2x\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = 2048\cos 8x - 8\cos 2x\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = 1024\cos 16x + 4\cos 4x\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = 2048\cos 8x - 4\cos 4x\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{y^3}.y'' + 1 = 0\]
\[{y^2}.y'' - 1 = 0\]
\[3{y^2}.y'' + 1 = 0\]
\[2{y^3}.y'' + 3 = 0\]
Ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}\\{y'' = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}}}\end{array}\]
\[ = \frac{{ - \left( {2x - {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \frac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}\]
Thay vào \[{y^3}.y'' + 1 = {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = - 1 + 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{2^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]
\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{a^n}n!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\]
\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]
\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]
\[y' = \frac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\]
\[y'' = \frac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \frac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\]
\[y''' = \frac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \frac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\]
\[....\]
\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
\[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \frac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \frac{{2.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} - \frac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}}\]
\[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}} - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{7}{{x - 3}} - \frac{5}{{x - 2}}}\\{ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{{\left( {\frac{1}{{x - 3}}} \right)}^{\left( 4 \right)}} - 5{{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)}^{\left( 4 \right)}}}\end{array}\]
Xét hàm số \[\frac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0\] ta có :
\[\begin{array}{l}y\prime = {\frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}}^{}}\\y\prime \prime = {\frac{{a.2(ax + b).a}}{{(ax + b)4}}^{}} = \frac{{2{a^2}}}{{{{(ax + b)}^3}}}\end{array}\]
\[y\prime \prime \prime = \frac{{ - 2{a^2}.3{{(ax + b)}^2}.a}}{{{{(ax + b)}^6}}} = \frac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{(ax + b)}^4}}}\]
\[...\]
\[\begin{array}{l}{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ \Rightarrow {(\frac{1}{{x - 3}})^{(4)}} = \frac{{{{( - 1)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{(x - 3)}^5}}} = \frac{{4!}}{{{{(x - 2)}^5}}}\\{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \frac{{{{( - 1)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{(x - 2)}^5}}} = \frac{{4!}}{{{{(x - 2)}^5}}}\\ \Rightarrow {y^{(4)}} = 7{\left( {\frac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \frac{{7.4!}}{{{{(x - 3)}^5}}} - \frac{{5.4!}}{{{{(x - 2)}^5}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
6
2020
2021
0
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = {{\left( {3{x^2} - 2021x + 2020} \right)}^\prime }}\\{ = 3.2.x - 2021}\\{ = 6x - 2021}\end{array}\]
Bước 2:
\[ \Rightarrow y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = 6\]
Đáp án cần chọn là: A
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
Học liệu phổ biến Đánh giá năng lực
Đánh giá năng lực
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
Học liệu phổ biến ĐHQG Hà Nội
ĐHQG Hà Nội
Thêm cảm hứng cho môn học
Biến kiến thức quen thuộc thành hoạt động học tập thú vị.
