ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các quy tắc tính đạo hàm
38 câu hỏi
Tính đạo hàm của hàm số sau: \[y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\]v
\[y' = 4{x^3} - 6x + 3\]
\[y' = 4{x^4} - 6x + 2\]
\[y' = 4{x^3} - 3x + 2\]
\[y' = 4{x^3} - 6x + 2\]
\[y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 3.2x + 2 = 4{x^3} - 6x + 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Tính đạo hàm của hàm số sau \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\]
\[ - \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]
\[\frac{3}{{x + 2}}\]
\[\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]
\[\frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }.\left( {x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {x + 2} \right) - 2x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\]. Giá trị của f′(8) bằng:
\[\frac{1}{6}\]
\[\frac{1}{{12}}\]
\[ - \frac{1}{6}\]
\[ - \frac{1}{{12}}\]
\[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \frac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\]
\[ \Rightarrow f'\left( 8 \right) = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số \[y = \frac{3}{{1 - x}}\] thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
\[\{ 1\} \]
\[\mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\]
\[\emptyset \]
R
Bước 1:
\[y' = \frac{{3'\left( {1 - x} \right) - 3{{\left( {1 - x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\]
Bước 2:
Ta có\[y' = \frac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 1\]
⇒Tập nghiệm của bất phương trình y′<0 là \[\emptyset \].
</0 là \[\emptyset>
Đáp án cần chọn là: C
Hàm số nào sau đây có \[y' = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\]?
\[y = \frac{{{x^3} + 1}}{x}\]
\[y = \frac{{3\left( {{x^2} + x} \right)}}{{{x^3}}}\]
\[y = \frac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\]
\[y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\]
Đáp án B:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}}\\{ \Rightarrow y' = 3.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }.{x^2} - \left( {x + 1} \right){{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{x^4}}}}\\{ = 3\frac{{{x^2} - 2x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^4}}}}\\{ = 3\frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{x^4}}} = - 3\frac{{x + 2}}{{{x^3}}}}\end{array}\]
Đáp án C: \[y' = \frac{{{{\left( {{x^3} + 5x - 1} \right)}^\prime }.x - \left( {{x^3} + 5x - 1} \right).x'}}{{{x^2}}}\]
\[ = \frac{{\left( {3{x^2} + 5} \right).x - {x^3} - 5x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} + 1}}{{{x^2}}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^2}}}\] là
\[y' = - \frac{3}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\]
\[y' = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{2}{{{x^3}}}\]
\[y' = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}} - \frac{2}{{{x^3}}}\]
\[y' = \frac{3}{{{x^4}}} - \frac{1}{{{x^3}}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 3}} - {x^{ - 2}}}\\{ \Rightarrow y' = - 3{x^{ - 4}} - \left( { - 2} \right){x^{ - 3}} = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{2}{{{x^3}}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ac \ne 0} \right)\] là:
\[\frac{a}{c}\]
\[\frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\]
\[\frac{{ad + bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\]
\[\frac{{ad - bc}}{{cx + d}}\]Trả lời:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }\left( {cx + d} \right) - \left( {ax + b} \right){{\left( {cx + d} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {cx + d} \right) - c\left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{acx + ad - acx - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Tính đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\] ta được:
\[y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{ - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{2{x^2} - 2x - x + 1 - {x^2} + x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\]
\[y' = \left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\]
\[y' = 2\left( {{x^7} + x} \right)\]
\[y' = 2\left( {7{x^6} + 1} \right)\]
\[y' = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = {{\left( {{x^7} + x} \right)}^2} = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2}}\\{ \Rightarrow y' = 14{x^{13}} + 2.8{x^7} + 2x}\\{ = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x}\\{ = 2\left( {7{x^{13}} + 8{x^7} + x} \right)}\\{ = 2\left( {7{x^{13}} + 7{x^7} + {x^7} + x} \right)}\\{ = 2\left[ {7{x^6}\left( {{x^7} + x} \right) + {x^7} + x} \right]}\\{ = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{x\sqrt x }}\] là:
\[y' = \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\]
\[y' = - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\]
\[y' = \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\]
\[y' = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{{x\sqrt x }} = \frac{1}{{x.{x^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{{x^{1 + \frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{ - \frac{3}{2}}}}\\{ \Rightarrow y' = - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2} - 1}} = - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{2}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Đạo hàm của hàm số \[y = \sin 2x\] là:
\[y' = \cos 2x\]
\[ - \cos 2x\]
\[2\cos 2x\]
\[ - 2\cos 2x\]
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sin 2x = 2\sin x\cos x}\\{ \Rightarrow y' = {{\left( {2\sin x\cos x} \right)}^\prime }}\\{ = 2{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^\prime }}\\{ = 2\left[ {{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }.\cos x + \sin x.{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }} \right]}\end{array}\]
Bước 2:
\[ = 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = 2\cos 2x\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số \[y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}\]. Đạo hàm y’ của hàm số là:
\[y' = \frac{{ - 13{x^2} - 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{ - 13{x^2} + 5x + 11}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{ - 13{x^2} + 5x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\]
\[y' = \frac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}\]
\[y\prime = \frac{{(2{x^2} + 3x - 1)\prime ({x^2} - 5x + 2) - (2{x^2} + 3x - 1)({x^2} - 5x + 2)\prime }}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\]
\[y\prime = \frac{{(4x + 3)({x^2} - 5x + 2) - (2{x^2} + 3x - 1)(2x - 5)}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\]
\( = \frac{{4{x^3} - 20{x^2} + 8x + 3{x^2} - 15x + 6 - 4{x^3} - 6{x^2} + 2x + 10{x^2} + 15x - 5}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\)
\[y\prime = \frac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\]. Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
0<x<2
x<1
x<0 hoặc x>1
x<0 hoặc x>2
Có: \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\]
\[f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\]. Hàm số có đạo hàm f′(x) bằng:
\[\frac{3}{2}\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\]
\[x\sqrt x - 3\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }}\]
\[\frac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\]
\[\frac{3}{2}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\]
\[f(x) = {(\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }})^3} = {(\sqrt x )^3} - 3{(\sqrt x )^2}.\frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt x {(\frac{1}{{\sqrt x }})^2} - {(\frac{1}{{\sqrt x }})^3}\]
\[f(x) = {x^{\frac{3}{2}}} - 3\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}}\]
\[f(x) = {x^{\frac{3}{2}}} - 3\sqrt x + 3{x^{ - \frac{1}{2}}} - {x^{ - \frac{3}{2}}}\]
\[f\prime (x) = \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2} - 1}} - \frac{3}{{2\sqrt x }} + 3.( - \frac{1}{2}){x^{ - \frac{1}{2} - 1}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2} - 1}}\]
\[f\prime (x) = \frac{3}{2}\sqrt x - \frac{3}{{2\sqrt x }} - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{3}}}\]
\[f\prime (x) = \frac{3}{2}(\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }})\]
Đáp án cần chọn là: D
Đạo hàm của hàm số \[y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\] là:
\[y' = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\frac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\]
\[y' = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\frac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\]
\[y' = 2\frac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\frac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}\]
\[y' = 2\tan x - 2\cot x\]
\[y = ta{n^2}x - co{t^2}x = (tanx - cotx)(tanx + cotx)\]
\[y\prime = (tanx - cotx)\prime (tanx + cotx) + (tanx - cotx)(tanx + cotx)\prime \]
\[y\prime = (\frac{1}{{co{s^2}x}} + \frac{1}{{si{n^2}x}})(tanx + cotx) + (tanx - cotx)(\frac{1}{{co{s^2}x}} - \frac{1}{{si{n^2}x}})\]
\[y\prime = \frac{{tanx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{cotx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{tanx}}{{si{n^2}x}} + \frac{{cotx}}{{si{n^2}x}} + \frac{{tanx}}{{co{s^2}x}} - \frac{{tanx}}{{si{n^2}x}} - \frac{{cotx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{cotx}}{{si{n^2}x}}\]
\[y\prime = 2\frac{{tanx}}{{co{s^2}x}} + 2\frac{{cotx}}{{si{n^2}x}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\]. Giá trị f′(0) bằng:
\[ - \sqrt 3 \]
4
-3
\(\sqrt 3 \)
\[f(x) = tan(x - \frac{{2\pi }}{3}) = \frac{{tanx - tan\frac{{2\pi }}{3}}}{{1 + tanx.tan\frac{{2\pi }}{3}}} = \frac{{tanx + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 tanx}}.(tanx + \sqrt 3 )\prime (1 - \sqrt 3 tanx)\]
\[f\prime (x) = \frac{{ - (tanx + \sqrt 3 )(1 - \sqrt 3 tanx)\prime }}{{{{\left( {1 - \sqrt 3 tanx} \right)}^2}}}\]
\[f\prime (x) = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}x}}(1 - \sqrt 3 tanx) - (tanx + \sqrt 3 )( - \frac{{\sqrt 3 }}{{co{s^2}x}})}}{{{{(1 - \sqrt 3 tanx)}^2}}}\]
\[f\prime (x) = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}x}} - \frac{{\sqrt 3 tanx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{\sqrt 3 tanx}}{{co{s^2}x}} + \frac{3}{{co{s^2}x}}}}{{{{(1 - \sqrt 3 tanx)}^2}}}\]
\(f\prime (x) = \frac{4}{{co{s^2}x{{(1 - \sqrt 3 tanx)}^2}}}\)
\[ \Rightarrow f\prime (0) = \frac{4}{{1\left( {1 - \sqrt 3 .0} \right)}} = 4\]
Đáp án cần chọn là: B
Hàm số \[y = {\tan ^2}\frac{x}{2}\] có đạo hàm là:
\[y' = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\]
\[y' = {\tan ^3}\frac{x}{2}\]
\[y' = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{co{s^3}\frac{x}{2}}}\]
\[y' = \frac{{2\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\]
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)}^\prime } = 2\tan \frac{x}{2}{{\left( {\tan \frac{x}{2}} \right)}^\prime }}\end{array}\]
Bước 2:
\[ = 2\tan \frac{x}{2}.\frac{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\]
\[ = 2\tan \frac{x}{2}.\frac{{\frac{1}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Đạo hàm của hàm số \[y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right){\left( {\sin x - \cos x} \right)^\prime }\]là:
\[y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) + \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\]
\[y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) - \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\]
\[y' = \sin x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right) + \cos x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right)\]
\[y' = \sin x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right) - \cos x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right)\]
\[y = x(2x - 1)(3x + 2)(sinx - cosx)\prime \]
\[ = (6{x^3} + {x^2} - 2x)(sinx + cosx)\]
\[ \Rightarrow y\prime = (6{x^3} + {x^2} - 2x)\prime (sinx + cosx) + (6{x^3} + {x^2} - 2x)(sinx + cosx)\prime \]
\[y\prime = (18{x^2} + 2x - 2)(sinx + cosx) + (6{x^3} + {x^2} - 2x)(cosx - sinx)\]
\[y\prime = sinx(18{x^2} + 2x - 2 - 6{x^3} - {x^2} + 2x) + cosx(18{x^2} + 2x - 2 + 6{x^3} + {x^2} - 2x)\]
\[y\prime = sinx( - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2) + cosx(6{x^3} + 19{x^2} - 2)\]
Đáp án cần chọn là: A
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3x + 1\,khi\,x > 1}\\{2x + 2\,\,khi\,x \le 1}\end{array}} \right.\) ta được:
\(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3\,\,khi\,x > 1}\\{2\,\,khi\,x \le 1}\end{array}} \right.\)
\(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3\,\,khi\,x > 1}\\{2\,khi\,x < 1}\end{array}} \right.\)
Không tồn tại đạo hàm
\(f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Với x>1 ta có:\[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\]
Với x<1 ta có : \[f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\]
Với x=1 ta có :\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4\] Hàm số không liên tục tại x=1, do đó không có đạo hàm tại x=1.
Vậy\(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3\,khi\,x > 1}\\{2\,khi\,x < 1}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Tìm m để hàm số \[y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\] có \[y\prime \le 0\forall x \in R\]
\[m \le \sqrt 2 \]
\[m \le 2\]
\[m \le 0\]
\(m < 0\)
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1}\\{ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1}\\{y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R}\end{array}\]
TH1: \[m = 0,\] khi đó \[BPT \Leftrightarrow - 1 \le 0\] đúng\[\forall x \in R\]
TH2:
\[m \ne 0 \Leftrightarrow y\prime \le 0\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = m < 0}\\{\Delta \prime = {m^2} - m(3m - 1) \le 0}\end{array}} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{ - 2{m^2} + m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow m < 0\]
Kết hợp cả 2 trường hợp ta có\[m \le 0\] là những giá trị cần tìm.
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[u = u(x)\] và \[v = v(x)\;\] là các hàm số có đạo hàm. Khẳng định nào sau đây sai
\[(uv)' = u'v + v'u\]
\[(u + v)' = u' + v'\]
\[(u - v)' = u' - v'\]
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v + v'u}}{{{v^2}}}\]
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv - vu}}{{{v^2}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Đạo hàm của hàm số \[y = x + {\sin ^2}x\] là
\[1 + 2\sin x\]
\[1 + \sin 2x\]
\[1 + 2\cos x\]
\[2\cos x\]
\[y' = x' + {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^\prime } = 1 + 2.\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x\]
Đáp án cần chọn là: B
Đạo hàm của hàm số \[y = {(5x - 1)^2}\] là
\[y' = 50x - 1\]
\[y' = 50x - 10\]
\[y' = 10x - 5\]
\[y' = 10x - 1\]
\[y' = 2.(5x - 1)'.(5x - 1) = 2.5.\left( {5x - 1} \right) = 50x - 10\]
Đáp án cần chọn là: B
Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{{x^2}}}\] là
\[ - \frac{1}{{{x^3}}}\]
\[ - \frac{1}{x}\]
\[ - \frac{2}{{{x^3}}}\]
\[ - \frac{1}{{{x^4}}}\]
Bước 1:
\[\frac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}\]
Bước 2:
\[ \Rightarrow y' = {\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime } = - 2.{x^{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{{{x^3}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Đạo hàm của hàm số \[y = 2\sin x - 3\cos x\] là
\[3\sin x + 2\cos x\]
\[3\sin x - 2\cos x\]
\[ - 3\sin x - 2\cos x\]
\[ - 3\sin x + 2\cos x\]
\[y' = {\left( {2\sin x - 3\cos x} \right)^\prime }\]
\[ = {\left( {2\sin x} \right)^\prime } - {\left( {3\cos x} \right)^\prime }\]
\[ = 2(\sin x)' - 3(\cos x)'\]
\[ = 2.\cos x + 3\sin x\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \[f\prime (x) = 2x + 4\;\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Hàm số \[g(x) = 2f(x) + 3x - 1\;\] có đạo hàm là
x+2
2x+6
2x+6
4x+11
\[g'\left( x \right) = 2.f'\left( x \right) + 3 = 2.\left( {2x + 4} \right) + 3 = 4x + 11\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số \[f(x) = {(2x - 1)^3}\]. Giá trị của f′(1) bằng
12
6
24
4
Bước 1:
Ta có:\[f'\left( x \right) = 3.{\left( {2x - 1} \right)^\prime }.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 3.2.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 6.{\left( {2x - 1} \right)^2}\]
Bước 2:
\[f'\left( 1 \right) = 6.{\left( {2.1 - 1} \right)^2} = 6.1 = 6\]
Đáp án cần chọn là: B
Khẳng định nào sau đây sai
\[{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{x^2}}}\]
\[(\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\] với x>0
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\]. với n nguyên dương
\[(c)' = 0\], với c hằng số
\[{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\]
=> Đáp án A sai.
Đáp án cần chọn là: A
Đạo hàm của hàm số \[y = \tan x - \cot x\] là
\[\frac{1}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}\]
\[ - \tan x + \cot x\]
\[\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x \cdot {{\cos }^2}x}}\]
1
\[y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Tính đạo hàm của hàm số \[y = (3x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} \]
\[y' = \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
\[y' = \frac{{9{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
\[y' = \frac{{9{x^2} - 2x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
\[y' = \frac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
Bước 1:
\[y' = {\left( {3x - 1} \right)^\prime }.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^\prime }\]
Bước 2:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\frac{{2x}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\end{array}\]
Bước 3:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = \frac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{ = \frac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số \[y = \sqrt {10x - {x^2}} \]. Giá trị của y′(2) bằng
\[ - \frac{3}{4}\]
\[\frac{3}{2}\]
\[\frac{3}{4}\]
\[ - \frac{3}{2}\]
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \frac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}}\\{ = \frac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}}\end{array}\]
Bước 2:
Thay x=2 vào y′:
\[y'(2) = \frac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \frac{3}{4}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) Xét các hàm số \[g(x) = f(x) - f(2x)\] và \[h(x) = f(x) - f(4x)\] Biết rằng \[g\prime \left( 1 \right) = 21\;\] và \[g\prime \left( 2 \right) = 1000\]. Tính h′(1)
−2018.
2021.
2021.
2019
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)}\\{h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)}\end{array}\]
Bước 2:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21}\\{g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000}\\{ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000}\\{h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)}\\{ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có \[f\prime \left( 1 \right) = 3\;\] và g′(1)=1.Đạo hàm của hàm số \[f(x) - g(x)\;\] tại điểm x=1 bằng
4
-2
3
2
\[[f(x) - g(x)]' = f'(1) - g(1) = 3 - 1 = 2\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=f(x)) liên trục trên \(\mathbb{R}\) , \[f\prime (x) = 0\;\] có đúng hai nghiệm \[x = 1;x = 2\;\]. Hàm số \[g(x) = f({x^2} + 4x - m)\;\], có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in [ - 21;21]\;\] để phương trình \[g\prime (x) = 0\;\] có nhiều nghiệm nhất?
27
43
5
26
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f'(1) = f'(2) = 0}\\{g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)}\\{g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)}\end{array}\]
Bước 2:
\[\begin{array}{l}g\prime (x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{f\prime ({x^2} + 4x - m) = 0(1)}\end{array}} \right.\end{array}\]
(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4x - m = 1}\\{{x^2} + 4x - m = 2}\end{array}} \right.\) đều có 2 nghiệm.
Bước 3:
\[{x^2} + 4x - m = 1\] có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\[{\rm{\Delta '}} = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\]
\[{x^2} + 4x - m = 2\] có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\[{\rm{\Delta '}} = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 6\]
Vậy m>−5
Bước 4:
Mà \[m \in \left[ { - 21;21} \right]\] nên m là các số nguyên từ -4 đến 21.
Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.
Đáp án cần chọn là: D
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \[S = - \frac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\], trong đó t>0,t được tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=3 (giây) bằng
33m/s
9m/s.
27m/s.
3m/s.
Bước 1:
Vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm S=S(t).
\[ \Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t\]
Bước 2:
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=3 (giây) bằng:
\[ \Rightarrow v\left( 3 \right) = - 9 + 36 = 27m/s\]
Đáp án cần chọn là: C
Tính đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{\sin 2x + 2}}{{\cos 2x + 3}}\]
\[\frac{{3\cos 2x + 2\sin 2x + 1}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\]
\[\frac{{2\left( {3\cos 2x + 2\sin 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\]
\[\frac{{2\left( {3\cos 2x + 2\sin 2x + 1} \right)}}{{\cos 2x + 3}}\]
\[\frac{{3\cos 2x + 2\sin 2x + 1}}{{\cos 2x + 3}}\]
Bước 1:
\[y' = \frac{{{{\left( {\sin 2x + 2} \right)}^\prime }\left( {\cos 2x + 3} \right) - {{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^\prime }\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\]
Bước 2:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{2cox2x\left( {\cos 2x + 3} \right) + 2\sin 2x\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{2\left( {{{\cos }^2}2x + {{\sin }^2}2x} \right) + 6\cos 2x + 4\sin 2x}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{2\left( {3\cos 2x + 2\sin 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - 1} \], tìm tập nghiệm S của bất phương trình \[f\prime (x) \le \sqrt {{x^2} - 1} \]
\[S = \left( {1;2} \right]\]
\[S = \left[ {1;2} \right)\]
\[S = \left( {1;2} \right)\]
\[S = \left[ {1;2} \right]\]
Bước 1:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} + \left( {x - 2} \right).\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}\\{ = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {x - 2} \right).x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}\\{ = \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}\end{array}\]
Bước 2:
\[f\prime (x) \le \sqrt {{x^2} - 1} \]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} - \sqrt {{x^2} - 1} \le 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 2x - 1 - ({x^2} - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x \le 0}\\{{x^2} - 1 > 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\\ = > S = (1;2]\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Tính đạo hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\] tại điểm x=0.
\[f'\left( 0 \right) = 0.\]
\[f'\left( 0 \right) = - 2018!.\]
\[f'\left( 0 \right) = 2018!.\]
\[f'\left( 0 \right) = 2018.\]
\[f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x.1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x\left( {x - 1} \right).1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + ... + }\\{x.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2017} \right).1}\end{array}\]\[ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 1.\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right) + 0 + 0 + ... + 0 = 1.2...2018.{( - 1)^{2018}} = 2018!\]
Đáp án cần chọn là: C
