ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bất phương trình mũ

Đáp án cần chọn là: B

Vì \[0 < \frac{1}{3} < 1\] nên ta có

\[{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x - 2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 10} < x - 2\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3x - 10 < {{(x - 2)}^2}}\\{{x^2} - 3x - 10 \ge 0}\\{x - 2 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 5 \le x < 14\)

\[ \Rightarrow x = \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} \]

Đáp án cần chọn là: CCâu 12. Tìm tập nghiệm của bất phương trình \[0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09\]

A.\[\left( { - \infty ; - 2} \right)\]

B. \[\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

C. \[\left( { - 2;1} \right)\]

D. \[\left( {1; + \infty } \right)\]Trả lời:

\[0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{{x^2} + x}} > 0,{3^2} \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

\[\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}}}} \ge \frac{1}{{125}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}}}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le {\rm{x}} \le 3\end{array}\]

Số nghiệm nguyên là 5.

Đáp án cần chọn là: D

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow {5^x}{{.9}^{{x^3}}} > 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{5^x}{{.9}^{{x^3}}}} \right) > 0 \Leftrightarrow x\ln 5 + {x^3}\ln 9 > 0}\\{ \Leftrightarrow x.\frac{{\ln 5}}{{\ln 9}} + {x^3} > 0 \Leftrightarrow x{{\log }_9}5 + {x^3} > 0}\\{ \Leftrightarrow x + {x^3}.\frac{1}{{{{\log }_9}5}} > 0 \Leftrightarrow x + {x^3}{{\log }_5}9 > 0}\end{array}\]

Do đó B, C, D đúng

Đáp án cần chọn là: A

\[{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1\]

Lấy loganepe hai vế ta có\[\ln {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < \ln 1\,\,\left( * \right)\]

Vì

\[{x^2} + x + 1 = {(x + \frac{1}{2})^2} + 34 > 0 \Rightarrow ( * ) \Leftrightarrow xln\]

\[({x^2} + x + 1) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{ln({x^2} + x + 1) > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ln({x^2} + x + 1) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{{x^2} + x + 1 > 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} + x + 1 < 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{{x^2} + x > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} + x < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ - 1 < x < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x < - 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Theo đề bài ta có : \[f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m\]

Đặt\[g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.\]  Khi đó :

\[\begin{array}{l}f(x) < {e^x} + m\forall x \in ( - 1;1)\\ \Rightarrow g(x) = f(x) - {e^x} < m\forall x \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{[ - 1;1]} g(x)\\g\prime (x) = f\prime (x) - {e^x}\end{array}\]

 Trên (−1;1) ta có \[f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\]

⇒g(x) nghịch biến trên (−1;1).

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}}\\{ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}.}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:\[{4^x} - {5.2^x} + 4 < 0\,\,\,\left( * \right)\]

Đặt\[t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow ( * ) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 < 0\\ \Leftrightarrow (t - 1)(t - 4) < 0\\ \Leftrightarrow 1 < t < 4\\ \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 4\\ \Leftrightarrow 0 < x < 2\end{array}\]

Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 1.\]

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

\[\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0\]

TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{{x^2} - x}} - 9 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{2^{{x^2}}} - m \ge 0\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)\)

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {3^{{x^2} - x}} \le {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\]

⇒ Số nghiệm nguyên của bất phương trình (1) là  4 nghiệm, gồm \[\left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\]

Như vậy hệ có tối đa 4 nghiệm nguyên, hay bất phương trình ban đầu cũng chỉ có tối đa 4 nghiệm nguyên (Loại).

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{{x^2} - x}} - 9 \ge 0\,\,\,\,\left( {1'} \right)}\\{{2^{{x^2}}} - m \le 0\,\,\,\,\left( {2'} \right)}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\)

\[(1\prime ) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{x \le - 1}\end{array}} \right.\]

\[\left( {2'} \right) \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \le m \Leftrightarrow {x^2} \le {\log _2}m \Leftrightarrow - \sqrt {{{\log }_2}m} \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m} \]

Để (II) có nghiệm thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {lo{g_2}m} \le - 1}\\{\sqrt {lo{g_2}m} \ge 2}\end{array}} \right.\)

Mà bất phương trình ban đầu có 5 nghiệm nguyên nên các nghiệm đó bắt buộc phải là -3, -2, -1, 2, 3.

Do đó

\[3 \le \sqrt {{{\log }_2}m} < 4 \Leftrightarrow 9 \le {\log _2}m < 16 \Leftrightarrow 512 \le m < 65536\]

Vậy có\[65535 - 512 + 1 = 65024\]giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Đáp án cần chọn là: B

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \frac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\end{array}\]

Xét hàm đặc trưng\[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\]ta có:

\[\begin{array}{l}f\prime (x) = \frac{{\frac{{({2^x} + {3^x})\prime }}{{{2^x} + {3^x}}}.x - ln({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\f\prime (x) = \frac{{({2^x}ln2 + {3^x}ln3)x - ({2^x} + {3^x}).ln({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\ = \frac{{{2^x}ln2.x - {2^x}ln({2^x} + {3^x}) + {3^x}ln3.x - {3^x}ln({2^x} + {3^x})}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\f\prime (x) = \frac{{{2^x}(xln2 - ln({2^x} + {3^x})) + {3^x}(xln3 - ln({2^x} + {3^x}))}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\\f\prime (x) = \frac{{{2^x}[ln{2^x} - ln({2^x} + {3^x})] + {3^x}[ln{3^x} - ln({2^x} + {3^x})]}}{{{x^2}({2^x} + {3^x})}}\forall x \in {\mathbb{N}^ * }\end{array}\]

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow ln{2^x} < ln({2^x} + {3^x})}\\{{3^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow ln{3^x} < ln({2^x} + {3^x})}\end{array}} \right. \Rightarrow f\prime (x) < 0\forall x \in \mathbb{N} * \)

⇒ Hàm số\[y = f\left( x \right)\]nghịch biến trên\[{\mathbb{N}^ * }\]

Lại có: \[f\left( n \right) < f\left( {2020} \right) \Leftrightarrow n > 2020\]</>

Kết hợp điều kiện đề bài ta có\[2020 < n \le 9999,\,\,n \in {\mathbb{N}^ * }\]

Vậy có\[\frac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979\]giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}}}\\{ \Leftrightarrow Pxy - P{y^2} = {x^2} + 3{y^2}}\\{ \Leftrightarrow \left( {P + 3} \right){y^2} - Pxy + {x^2} = 0}\end{array}\]

Phương trình trên có nghiệm khi

\[\begin{array}{l}\Delta = {P^2}{x^2} - 4(P + 3){x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 4P - 12 \ge 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{P \ge 6}\\{P \le - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow MinP = 6\end{array}\]

Dấu bằng xáy ra khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{Px}}{{2(P + 3)}} = \frac{x}{3}}\\{\frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}} = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 3y\)

Dễ thấy x=3y thỏa mãn điều kiện bài cho vì:

\[\begin{array}{l}{\left( {{2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}}} \right)^y} < {\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)^{3y}}\\ \Leftrightarrow {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} < {\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} < {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} + {3.2^y}.\frac{1}{{{2^y}}}.\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 3\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)\end{array}\]

Bđt trên luôn đúng với mọi y>0.

Đáp án cần chọn là: D

\[{4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Đặt\[{2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right).\]

Khi đó bất phương trình đã cho\[ \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m < 0\,\,\,\left( * \right).\]

TH1:\[m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < 0\]=> bất phương trình vô nghiệm.</>

⇒m=1 thỏa mãn.

TH2: \[m \ne 1\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - mt - t + m < 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - \left( {mt - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right) - m\left( {t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - m} \right) < 0\,\,\,\end{array}\]

+) Với m>1⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: \[S = \left( {1;\,\,m} \right) \subset \left( {0; + \infty } \right)\]

⇒ Bất phương trình  (∗) luôn có nghiệm t>0

⇒(1) luôn có nghiệm xx ⇒m>1 không thỏa mãn.

+) Với m<1 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là:\[S = \left( {m;\,\,1} \right)\]

⇒ Bất phương trình  (∗) luôn có nghiệm 0<t<1

⇒(1) luôn có nghiệm x ⇒m<1 không thỏa mãn.

Vậy chỉ có m=1 thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C