ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Logarit
43 câu hỏi
Logarit cơ số a của b kí hiệu là:
logab
logba
lnab
lnba
Số logab được gọi là lôgarit cơ số a của b.
Đáp án cần chọn là: A
Điều kiện để logab có nghĩa là:
a < 0, b > 0>
\[0 < a \ne 1,b < 0\]
>
\[0 < a \ne 1,b > 0\]>
\[0 < a \ne 1,0 < b \ne 1\]
>
Điều kiện để \[{\log _a}b\] có nghĩa là \[0 < a \ne 1,b > 0\].>
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[a > 0;a \ne 1,b > 0\], khi đó nếu \[lo{g_a}b = N\;\] thì:
\[{a^b} = N\]
\[{\log _a}N = b\]
\[{a^N} = b\]
\[{b^N} = a\]
Cho \[a > 0;a \ne 1,b > 0\] khi đó nếu \[{\log _a}b = N\] thì\[{a^N} = b\]
Đáp án cần chọn là: C
Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn mệnh đề đúng:
\[{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _b}c\]
\[{\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b + {\log _a}c\]
\[{\log _a}\frac{b}{c} = \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}\]
\[{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\]
Ta có: \[{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c(0 < a \ne 1;b,c > 0)\]
\[{\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c(0 < a \ne 1;b,c > 0)\]
Đáp án cần chọn là: D
Chọn công thức đúng:
\[{\log _{{a^n}}}b = - n{\log _a}b\]
\[{\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b\]
\[{\log _{{a^n}}}b = - \frac{1}{n}{\log _a}b\]
\[{\log _{{a^n}}}b = n{\log _a}b\] Trả lời:
Từ công thức\[{\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0)\] ta thấy chỉ có đáp án B đúng.
Đáp án cần chọn là: B
Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa, đẳng thức nào dưới đây không đúng?
\[{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\]
\[{\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\]
\[{\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\]
\[{\log _a}\sqrt[n]{b} = - n{\log _a}b\]
Ta có:
\[{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0)\]>
\[{\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0)\]>
\[{\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^ * })\]>
Vậy đẳng thức không đúng là \[{\log _a}\sqrt[n]{b} = - n{\log _a}b\]
Đáp án cần chọn là: D
Nếu a > 1 và b > c > 0 thì:
\[{\log _a}b > {\log _a}c\]
\[{\log _a}b < {\log _a}c\]
>
\[{\log _a}b < {\log _b}c\]
>
\[{\log _a}b > {\log _c}b\]
Nếu a > 1 và b > c > 0 thì \[{\log _a}b > {\log _a}c\].
Đáp án cần chọn là: A
Chọn mệnh đề đúng:
\[{\log _a}1 = 1\]
\[{\log _a}a = a\]
\[{\log _a}1 = a\]
\[{\log _a}a = 1\]
\[{\log _a}1 = 0\]nên A, C sai.
\[{\log _a}a = 1\]nên B sai, D đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Cho \[0 < a \ne 1,b > 0\]. Chọn mệnh đề sai:
\[{\log _a}{a^b} = b\]
\[{\log _a}{a^b} = {a^b}\]
\[{a^{{{\log }_a}b}} = b\]
\[{a^{{{\log }_a}b}} = {\log _a}{a^b}\]
Từ các công thức \[{\log _a}{a^b} = b,\forall b \in R;{a^{{{\log }_a}b}} = b,\forall b > 0\] ta thấy các dáp án A, C, D đều đúng, đáp án B sai.
Đáp án cần chọn là: B
Chọn mệnh đề đúng:
\[{2^{{{\log }_2}3}} = {5^{{{\log }_3}5}}\]
\[{2^{{{\log }_2}3}} = {5^{{{\log }_5}3}}\]
\[{5^{{{\log }_5}3}} = {\log _2}3\]
\[{2^{{{\log }_2}4}} = 2\]
Ta có: \[{2^{{{\log }_2}3}} = 3 = {5^{{{\log }_5}3}}\] nên B đúng.
Đáp án cần chọn là: B
Chọn mệnh đề đúng:
\[{\log _5}6 = {\log _2}6.{\log _3}6\]
\[{\log _5}6 = {\log _5}2 + {\log _5}3\]
\[{\log _5}6 = {\log _5}5 + {\log _5}1\]
\[{\log _5}6 = {\log _5}2.{\log _5}3\]
Ta có: \[{\log _5}6 = {\log _5}\left( {2.3} \right) = {\log _5}2 + {\log _5}3\].
Đáp án cần chọn là: B
Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn công thức biến đổi đúng:
\[{\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\]
\[{\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}\]
\[{\log _a}b = {\log _c}b - {\log _c}a\]
\[{\log _a}b + {\log _b}c = {\log _a}c\]
Từ công thức \[{\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}(0 < a,b \ne 1;c > 0)\] ta thấy chỉ có đáp án A đúng.>
Đáp án cần chọn là: A
Chọn đẳng thức đúng:
\[{\log _2}3 = - {\log _3}2\]
\[{\log _3}2.{\log _3}\frac{1}{2} = 1\]
\[{\log _2}3 + {\log _3}2 = 1\]
\[{\log _2}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\]
Áp dụng công thức \[{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1(0 < a,b \ne 1)\] ta được:
\[{\log _2}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\] nên D đúng.
Đáp án cần chọn là: D
>
Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa, chọn đẳng thức đúng:
\[{\log _{{a^n}}}b = {\log _{{b^n}}}a\]
\[{\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{{{{\log }_{{b^n}}}a}}\]
\[{\log _{{a^n}}}b = {\log _a}\sqrt[n]{b}\]
\[{\log _{{a^n}}}b = n{\log _{{b^n}}}a\]
Ta có:
\[{\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b;{\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\] nên \[{\log _{{a^n}}}b = {\log _a}\sqrt[n]{b}\] (C đúng)
Mặt khác:\[{\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b;{\log _{{b^n}}}a = \frac{1}{n}{\log _b}a\] nên các đáp án A, B, D đều sai.
Đáp án cần chọn là: C
Giá trị \[{\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}81\] là:
2
−8
−2
\(\frac{1}{2}\)
Ta có: \[{\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}81 = {\log _{{{\sqrt 3 }^{ - 1}}}}{3^4} = - {\log _{\sqrt 3 }}{3^4}\]
\[ = - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^4} = - \frac{1}{{1/2}}{\log _3}{3^4} = - 2{\log _3}{3^4} = - 2.4 = - 8\]
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị biểu thức \[{\log _a}\sqrt {a\sqrt {a\sqrt[3]{a}} } \] là:
\[\frac{3}{4}\]
\(\frac{1}{2}\)
\[\frac{1}{3}\]
\[\frac{5}{6}\]
Ta có:
\[{\log _a}\sqrt {a\sqrt {a\sqrt[3]{a}} } = {\log _a}\sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{3}}}} } = {\log _a}\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{4}{3}}}} } = {\log _a}\sqrt {a.{a^{\frac{2}{3}}}} \]
\[ = {\log _a}\sqrt {{a^{\frac{5}{3}}}} = {\log _a}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{5}{6}\]
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị \[{\log _3}a\] âm khi nào?
0 < a < 1
0 < a< 3
a > 3
a > 1
Vì 3 > 1 nên để\[{\log _3}a < 0\] thì 0 < a < 1.
Đáp án cần chọn là: A
Với a và b là hai số thực dương tùy ý, \[\log \left( {a{b^2}} \right)\] bằng
\[2\log a + \log b\]
\[\log a + 2\log b\]
\[2\left( {\log a + \log b} \right)\]
\[\log a + \frac{1}{2}\log b\]
Ta có:\[\log \left( {a{b^2}} \right) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b\]
Đáp án cần chọn là: B
Với các số thực a,b>0 bất kì; rút gọn biểu thức \(P = 2{\log _2}a - {\log _{\frac{1}{2}}}{b^2}\)
\[P = {\log _2}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\]
\[P = {\log _2}\left( {\frac{{2a}}{{{b^2}}}} \right)\]
\[P = {\log _2}\left( {2a{b^2}} \right)\]
\[P = {\log _2}{\left( {ab} \right)^2}\]
\[P = {\log _2}{a^2} - {\log _{{2^{ - 1}}}}{b^2} = {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^2} = {\log _2}\left( {{a^2}{b^2}} \right) = {\log _2}{\left( {ab} \right)^2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho các số thực dương a,b với \[a \ne 1\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\[{\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\]
\[{\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + {\log _a}b\]
\[{\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}{\log _a}b\]
\[{\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b\]
\[{\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho số thực xx thỏa mãn \[lo{g_2}\left( {lo{g_8}x} \right) = lo{g_8}\left( {lo{g_2}x} \right).\] Tính giá trị của \[P = {(lo{g_2}x)^2}\]
\[P = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]
\[P = \frac{1}{3}\]
P=27
\[P = 3\sqrt 3 \]
Điều kiện xác định:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{lo{g_2}x > 0}\\{lo{g_8}x > 0}\end{array}} \right.\)
Khi đó:
\[{\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x} \right) = {\log _2}\sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\log _2}x = \sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}} \Leftrightarrow \frac{1}{{27}}\log _2^3x = {\log _2}x \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 27\]
(vì \[{\log _2}x > 0\] nên chia cả hai vế cho \[{\log _2}x \ne 0\]
Đáp án cần chọn là: D
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
\[{\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}b \Leftrightarrow a > b > 0\]
\[\log x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\]
>
\[{\log _2}x > 0 \Leftrightarrow x > 1\]
\[{\log _{\frac{1}{3}}}a = {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\]
\[{\log _{0.5}}a > {\log _{0.5}}b \Leftrightarrow a < b\] suy ra A sai.
\[\log x < 0 \Leftrightarrow \log x < \log 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1\] suy ra B đúng.
\[{\log _2}x > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _2}1 \Leftrightarrow x > 1\] suy ra C đúng.
\[{\log _{\frac{1}{3}}}a = {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\] suy ra D đúng.
Đáp án cần chọn là: A
>>
Cho a,ba,b là các số thực dương, thỏa mãn \[{a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\] và \[lo{g_b}\frac{1}{2} < lo{g_b}\frac{2}{3}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a>1,0<b<1
0<a<1,0<b<1
0<a<1,b>1
a>1,b>1
Ta có
\[\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\] và \[{a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}} \Rightarrow 0 < a < 1\]
\[\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\] và \[{\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3} \Rightarrow b > 1\]</>
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai số thực a và b , với 1<a
\[{\log _a}b < 1 < {\log _b}a\]
\[1 < {\log _a}b < {\log _b}a\]
\[{\log _b}a < {\log _a}b < 1\]
\[{\log _b}a < 1 < {\log _a}b\]
Ta có:\[{\log _a}b > {\log _a}a = 1;{\log _b}a < {\log _b}b = 1 \Rightarrow {\log _b}a < 1 < {\log _a}b\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho \[0 < x < 1;0 < a;b;c \ne 1\]và \[lo{g_c}x > 0 > lo{g_b}x > lo{g_a}x\;\] so sánh a;b;ca;b;c ta được kết quả:
\[a > b > c\;\;\;\]
\[c > a > b\]
\[c > b > a\]
\[b > a > c\]
Vì\[0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0\] Do đó
\[{\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{{\ln c}} > 0 > \frac{{\ln x}}{{\ln b}} > \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\]
\[ \Rightarrow \ln c < 0 < \ln a < \ln b\]
Mà hàm số\[y = \ln x\] đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\] nên ta suy ra\[c < a < b\]
Đáp án cần chọn là: D
Đặt \[{\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b\]. Hãy biểu diễn \[P = lo{g_3}240\;\] theo a và b.
\[P = \frac{{2a + b + 3}}{a}\]
\[P = \frac{{a + b + 4}}{a}\]
\[P = \frac{{a + b + 3}}{a}\]
\[P = \frac{{a + 2b + 3}}{a}\]
\[P = {\log _3}240 = \frac{{{{\log }_2}240}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{2^4}.3.5} \right)}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}{2^4} + {{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{{a + b + 4}}{a}\]
Đáp án cần chọn là: B
Đặt \[a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\]. Hãy biểu diễn \[lo{g_6}45\;\] theo a và b:
\[{\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\]
\[{\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\]
\[{\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\]
\[{\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\]
Có\[a = {\log _2}3 \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{1}{a};b = {\log _5}3 \Rightarrow {\log _3}5 = \frac{1}{b}\]
\[{\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}45}}{{{{\log }_3}6}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {{3^2}.5} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{2 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + 1}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Nếu \[{\log _{12}}18 = a\] thì \[lo{g_2}3\;\] bằng:
\[\frac{{1 - a}}{{a - 2}}\]
\[\frac{{2a - 1}}{{a - 2}}\]
\[\frac{{a - 1}}{{2a - 2}}\]
\[\frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\]
Đăt \[{\log _2}3 = x\] Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a = {{\log }_{12}}18 = \frac{{{{\log }_2}18}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{{2.3}^2}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2}.3} \right)}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2x}}{{2 + x}}}\\{ \Rightarrow a\left( {2 + x} \right) = 1 + 2x \Rightarrow x\left( {a - 2} \right) = 1 - 2a}\\{ \Rightarrow {{\log }_2}3 = x = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho \[{\log _2}14 = a\]. Tính l\[lo{g_{49}}32\] theo a.
\[\frac{{10}}{{a - 1}}\]
\[\frac{2}{{5(a - 1)}}\]
\[\frac{5}{{2a - 2}}\]
\[\frac{5}{{2a + 1}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a = {{\log }_2}14 = {{\log }_2}2 + {{\log }_2}7 = 1 + {{\log }_2}7 \Rightarrow {{\log }_2}7 = a - 1}\\{{{\log }_{49}}32 = {{\log }_{{7^2}}}{2^5} = \frac{5}{2}{{\log }_7}2 = \frac{5}{2}.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Đặt \[{\log _2}60 = a;{\log _5}15 = b.\]. Tính \[P = lo{g_2}12\] theo a và b.
\[P = \frac{{ab + 2a + 2}}{b}\]
\[P = \frac{{ab - a + 2}}{b}\]
\[P = \frac{{ab + a - 2}}{b}\]
\[P = \frac{{ab - a - 2}}{b}\]
\[a = lo{g_2}60 = lo{g_2}({2^2}.15) = 2 + lo{g_2}15 \Rightarrow lo{g_2}15 = a - 2\]
\[ \Rightarrow lo{g_2}5 = \frac{{lo{g_{15}}5}}{{lo{g_{15}}2}} = \frac{{lo{g_2}15}}{{lo{g_5}15}} = \frac{{a - 2}}{b}\]
\[b = lo{g_5}15 = lo{g_5}(3.5) = 1 + lo{g_5}3 \Rightarrow lo{g_5}3 = b - 1\]
\[lo{g_2}3 = lo{g_2}5.lo{g_5}3 = \frac{{a - 2}}{b}.(b - 1) = \frac{{ab - 2b - a + 2}}{b}\]
\[lo{g_2}12 = lo{g_2}({2^2}.3) = 2 + lo{g_2}3 = \frac{{ab - a + 2}}{b}\]
Đáp án cần chọn là: B
Đặt \[a = {\log _2}5\] và \(b = {\log _2}6\). Hãy biểu diễn \[lo{g_3}90\] theo a và b?
\[{\log _3}90 = \frac{{a - 2b + 1}}{{b + 1}}\]
\[{\log _3}90 = \frac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}\]
\[{\log _3}90 = \frac{{2a - b + 1}}{{a + 1}}\]
\[{\log _3}90 = \frac{{2a + b - 1}}{{a - 1}}\]
Có \[b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1\]
\[\begin{array}{l}{\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5 = 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 2 + \frac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}}\\ = 2 + \frac{{1 + a}}{{b - 1}} = \frac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}\end{array}\]Đáp án cần chọn là: B
Nếu \[{\log _a}b = p\] thì \[{\log _a}{a^2}{b^4}\;\] bằng:
\[{a^2}{p^4}\]
\[4p + 2\]
\[4p + 2a\]
\[{p^4} + 2a\]
Ta có: \[{\log _a}{a^2}{b^4} = {\log _a}{a^2} + {\log _a}{b^4} = 2{\log _a}a + 4{\log _a}b = 2 + 4p\]
Đáp án cần chọn là: B
Đặt \[a = {\log _3}4,b = {\log _5}4\]. Hãy biểu diễn \[lo{g_{12}}80\] theo a và b
\[{\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\]
\[{\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\]
\[{\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\]
\[{\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\]
Ta có\[80 = {4^2}.5;12 = 3.4\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_{12}}80 = {{\log }_{12}}{4^2} + {{\log }_{12}}5 = 2{{\log }_{12}}4 + {{\log }_{12}}5 = \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}12}} = \frac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \frac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}4}}}\\{ = \frac{2}{{\frac{1}{a} + 1}} + \frac{1}{{\frac{b}{a} + b}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Nếu \[{\log _{12}}6 = a;{\log _{12}}7 = b\] thì:
\[{\log _2}7 = \frac{a}{{1 - b}}\]
\[{\log _2}7 = \frac{b}{{1 - a}}\]
\[{\log _2}7 = \frac{a}{{1 + b}}\]
\[{\log _2}7 = \frac{b}{{1 + a}}\]
Gán giá trị đề bài cho bằng cách bấm:
Lần lượt thử từng đáp án:
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[a > 0,b > 0\;\] thỏa mãn \[{a^2} + 4{b^2} = 5ab\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[2\log \left( {a + 2b} \right) = 5\left( {\log a + \log b} \right)\]
\[\log \left( {a + 1} \right) + \log b = 1\]
\[\log \frac{{a + 2b}}{3} = \frac{{\log a + \log b}}{2}\]
\[5\log \left( {a + 2b} \right) = \log a - \log b\]
Ta có: \[{a^2} + 4{b^2} = 5ab \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 9ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 9ab\]
Logarit cơ số 1010 hai vế ta được:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\log {{\left( {a + 2b} \right)}^2} = \log \left( {9ab} \right) \Leftrightarrow 2\log \left( {a + 2b} \right) = \log 9 + \log a + \log b}\\{ \Leftrightarrow 2\log \left( {a + 2b} \right) = 2\log 3 + \log a + \log b \Leftrightarrow 2\left( {\log \left( {a + 2b} \right) - \log 3} \right) = \log a + \log b}\\{ \Leftrightarrow \log \frac{{a + 2b}}{3} = \frac{{\log a + \log b}}{2}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Biết \[{\log _{15}}20 = a + \frac{{2{{\log }_3}2 + b}}{{{{\log }_3}5 + c}}\] với a\[a,b,c \in \mathbb{Z}\]. Tính \[T = a + b + c\]
T=−3
T=3
T=−1
T=1
Ta có:
\[lo{g_{15}}20 = lo{g_{15}}({2^2}.5)\]
\[ = 2lo{g_{15}}2 + lo{g_{15}}5\]
\[ = \frac{2}{{lo{g_2}15}} + \frac{1}{{lo{g_5}15}}\]
\[ = \frac{2}{{lo{g_2}3 + lo{g_2}5}} + \frac{1}{{lo{g_5}3 + lo{g_5}5}}\]
\[ = \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}2}} + \frac{{lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2}}}} + \frac{1}{{lo{g_5}3 + 1}}\]
\[ = \frac{{2lo{g_3}2}}{{1 + lo{g_3}5}} + \frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + 1}}\]
\[ = \frac{{2lo{g_3}2}}{{1 + lo{g_3}5}} + \frac{{lo{g_3}5}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]
\[ = \frac{{2lo{g_3}2 + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]
\[ = \frac{{lo{g_3}5 + 1 + 2lo{g_3}2 - 1}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]
\[ = 1 + \frac{{2lo{g_3}2 - 1}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]
\[ \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 1,\,\,c = 1\]
Vậy \[T = a + b + c = 1 + \left( { - 1} \right) + 1 = 1.\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho biểu\[P = \,{(\ln a\, + {\log _a}e)^2}\, + {\ln ^2}a - \log _a^2e\], với a là số dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\[P = 2{\ln ^2}a + 1\]
\[P = 2{\ln ^2}a + 2\]
\[P = 2{\ln ^2}a\]
\[P = {\ln ^2}a + 2\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\left( {\ln a + {{\log }_a}e} \right)}^2} + {{\ln }^2}a - \log _a^2e = {{\ln }^2}a + 2.\ln a.{{\log }_a}e + \log _a^2e + {{\ln }^2}a - \log _a^2e}\\{ = 2.{{\ln }^2}a + 2.\ln a.\frac{{\ln e}}{{\ln a}} = 2{{\ln }^2}a + 2}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho các số dương a,b,c,d. Biểu thức \[S = \ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a}\] bằng:
0
1
\[\ln (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a})\]
\[\ln (abcd)\]
\[S = \ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a} = \ln \left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{a}} \right) = \ln 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[\log x = a\] và ln10=b . Tính \[lo{g_{10e}}x\] theo a và b
\[\frac{{2ab}}{{1 + b}}\]
\[\frac{{ab}}{{1 + b}}\]
\[\frac{a}{{1 + b}}\]
\[\frac{b}{{1 + b}}\]
Ta có:
\[{\log _{10e}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}10e}} = \frac{1}{{{{\log }_x}e + {{\log }_x}10}} = \frac{1}{{\frac{{\ln e}}{{\ln x}} + \frac{{\ln 10}}{{\ln x}}}} = \frac{{\ln x}}{{1 + \ln 10}} = \frac{{\ln 10.\log x}}{{1 + \ln 10}}\]
Suy ra\[{\log _{10e}}x = \frac{{ab}}{{1 + b}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Sự tăng trưởng của 1 loài vi khuẩn được tính theo công thức \[S = A.{e^{rt}}\], trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r>0), tt là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 150 con và sau 5 giờ có 450 con, tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng.
900
1350
1050
1200
Ta có: \[450 = 150.{e^{5r}}\]
\[ = > {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 = > r = \frac{{\ln 3}}{5}\]
Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng là:
\[S = 150.{e^{10.\frac{{\ln 3}}{5}}} = 150.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {150.3^2} = 1350\] (con)
Đáp án cần chọn là: B
Cho a,b là các số dương thỏa mãn \[{a^2} + 4{b^2} = 12ab\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\[\ln \left( {a + 2b} \right) - 2\ln 2 = \ln a + \ln b\]
\[\ln \left( {a + 2b} \right) = \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)\]
\[\ln \left( {a + 2b} \right) - 2\ln 2 = \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)\]
\[\ln \left( {a + 2b} \right) + 2\ln 2 = \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)\]
\[{a^2} + 4{b^2} = 12ab \Leftrightarrow {(a + 2b)^2} - 4ab = 12ab \Leftrightarrow {(a + 2b)^2} = 16ab\]
\[ \Rightarrow ln{(a + 2b)^2} = ln(16ab)\]
\[ \Rightarrow 2ln(a + 2b) = ln16 + lna + lnb\]
\[ \Rightarrow 2ln(a + 2b) - 4ln2 = lna + lnb\]
\[ \Rightarrow ln(a + 2b) - 2ln2 = \frac{1}{2}(lna + lnb)\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[a > 0,\,\,b > 0\] và \[ln\frac{{a + b}}{3} = \frac{{2lna + lnb}}{3}\]. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\[{a^3} + {b^3} = 8{a^2}b - a{b^2}\]
\[{a^3} + {b^3} = 3\left( {8{a^2}b + a{b^2}} \right)\]
\[{a^3} + {b^3} = 3\left( {{a^2}b - a{b^2}} \right)\]
\[{a^3} + {b^3} = 3\left( {8{a^2}b - a{b^2}} \right)\]
\[ln\frac{{a + b}}{3} = \frac{{2lna + lnb}}{3}\]
\[ \Leftrightarrow 3ln\frac{{a + b}}{3} = 2lna + lnb\]
\[ \Leftrightarrow ln{(\frac{{a + b}}{3})^3} = ln{a^2} + lnb\]
\[ \Leftrightarrow ln\frac{{{{(a + b)}^3}}}{{27}} = ln({a^2}b)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{{(a + b)}^3}}}{{27}} = {a^2}b\]
\[ \Leftrightarrow {(a + b)^3} = 27{a^2}b\]
\[ \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 27{a^2}b\]
\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 24{a^2}b - 3a{b^2}\]
\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3(8{a^2}b - a{b^2})\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho lnx=2. Tính giá trị của biểu thức \[T = 2ln\sqrt {ex} - ln\frac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + ln3.lo{g_3}e{x^2}\] ?
T=7
T=12
T=13
T=21
Ta có
\[T = 2ln\sqrt {ex} - ln\frac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + ln3.lo{g_3}e{x^2}\]
\[ = 2ln\left( {{e^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{2}}}} \right) - \left( {ln{e^2} - ln{x^{\frac{1}{2}}}} \right) + ln3.\frac{{ln(e.{x^2})}}{{ln3}}\]
\[ = 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}lnx) - (2 - \frac{1}{2}lnx) + lne + 2lnx\]
\[ = 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.2) - (2 - \frac{1}{2}.2) + 1 + 2.2 = 7\]
Đáp án cần chọn là: A
