ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Lũy thừa
37 câu hỏi
Cho \[n \in Z,n > 0\], với điều kiện nào của aa thì đẳng thức sau xảy ra: \[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]?
a > 0
a = 0
\[a \ne 0\;\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;\;\]
a < 0
Với \[a \ne 0,n \in Z,n > 0\] thì \[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[a > 0,m,n \in Z,n \ge 2\]. Chọn kết luận đúng:
\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]
\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\]
\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[{mn}]{a}\]
\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^{mn}}}}\]
Cho \[a > 0,m,n \in Z,n \ge 2\], khi đó \[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]Đáp án cần chọn là: A
Cho \[a > 0,n \in Z,n \ge 2\], chọn khẳng định đúng:
\[{a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\]
\[{a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt {{a^n}} \]
\[{a^{\frac{1}{n}}} = {a^n}\]
\[{a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[a]{n}\]
Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \[a > 0:{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)\] nên \[{a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[m,n \in Z\], khi đó:
\[{a^{m.n}} = {a^m}.{a^n}\]
\[{a^{mn}} = {a^m} + {a^n}\]
\[{a^{mn}} = {a^m}:{a^n}\]
\[{a^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\]
Với \[m,n \in Z\] thì \[{a^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\]Đáp án cần chọn là: D
Với \[a > 1,m > 0,m \in Z\;\] thì:
\[{a^m} > 1\]
\[{a^m} = 1\]
\[{a^m} < 1\]
\[{a^m} > 2\]
Với\[a > 1,m > 0,m \in Z\] thì \[{a^m} > {a^0} = 1 \Rightarrow {a^m} > 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Với \[0 < a < b,m \in {N^ * }\;\]thì:
\[{a^m} < {b^m}\]
\[{a^m} > {b^m}\]
\[1 < {a^m} < {b^m}\]
\[{a^m} > {b^m} > 1\]
Với \[0 < a < b,m \in {N^ * }\] thì\[{a^m} < {b^m}\]
Đáp án cần chọn là: A
Với \[1 < a < b,m \in {N^ * }\]thì:
\[{a^m} > {b^m} > 1\]
\[1 < {a^m} < {b^m}\]
\[{a^m} < {b^m} < 1\]
\[1 > {a^m} > {b^m}\]
Với \[1 < a < b,m \in {N^ * }\]thì:\[{1^m} < {a^m} < {b^m} \Rightarrow 1 < {a^m} < {b^m}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho số nguyên dương \[n \ge 2\], số a được gọi là căn bậc n của số thực b nếu:
\[{b^n} = a\]
\[{a^n} = b\]
\[{a^n} = {b^n}\]
\[{n^a} = b\]
Cho số thực b và số nguyên dương \[n\left( {n \ge 2} \right)\] Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \[{a^n} = b\].
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[m \in {N^ * }\] so sánh nào sau đây không đúng?
\[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^m} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^m}\]
\[1 < {\left( {\frac{4}{3}} \right)^m}\]
\[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^m} < {\left( {\frac{3}{4}} \right)^m}\]
\[{\left( {\frac{{13}}{7}} \right)^m} > {2^m}\]
Đáp án A: Vì \[\frac{3}{4} > \frac{1}{2},m \in {N^ * }\] nên\[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^m} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^m}\] (đúng).
Đáp án B: Vì\[\frac{4}{3} > 1,m \in {N^ * }\] nên\[1 = {1^m} < {\left( {\frac{4}{3}} \right)^m}\] (đúng).
Đáp án C: Vì \[\frac{2}{3},\frac{3}{4},m \in {N^ * }\] nên\[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^m} < {\left( {\frac{3}{4}} \right)^m}\] (đúng).
Đáp án D: Vì \[\frac{{13}}{7} < 2,m \in {N^ * }\] nên\[{\left( {\frac{{13}}{7}} \right)^m} < {2^m}\] (D sai).
Đáp án cần chọn là: D
Với \[a > 1,m,n \in Z\] thì:
\[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\]
\[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\]
\[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m = n\]
\[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m \le n\]
Với \[a > 1\] thì \[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[a \ge 0,b \ge 0,m,n \in {N^ * }\] Chọn đẳng thức đúng:
\[\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\]
\[\sqrt[n]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{m}\]
\[\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]
\[\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[m]{a}\]
Cho \[a \ge 0,b \ge 0,n \in {N^ * }\], khi đó \[\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\].
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[a \ge 0,m,n \in {N^ * }\] chọn đẳng thức đúng:
\[\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{a}\sqrt[m]{a}\]
\[\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]
\[\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\]
\[\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}\]
Cho \[a \ge 0,m,n \in {N^ * }\] ta có: \[\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho \[a > 0,m,n \in {N^ * }\] chọn đẳng thức không đúng:
\[{\left( {\sqrt[{mn}]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{a}\]
\[\sqrt[{mn}]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a}\]
\[{\left( {\sqrt[{mn}]{{{a^m}}}} \right)^n} = a\]
\[{\left( {\sqrt[{mn}]{{{a^m}}}} \right)^n} = {a^n}\]
Ta có: \[\sqrt[{mn}]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[{mn}]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {\left( {\sqrt[{mn}]{{{a^m}}}} \right)^n} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\] nên A, B và C đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Chọn khẳng định đúng:
Nếu n chẵn thì \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\]
Nếu n lẻ thì \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\].
Nếu n chẵn thì \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = - a\].
Nếu n lẻ thì \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = - a\].
- Nếu n lẻ thì \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\] nên B đúng, D sai.
- Nếu n chẵn thì \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\] nếu a > 0 và \[\sqrt[n]{{{a^n}}} = - a\] nếu a < 0 nên A, C sai.
Đáp án cần chọn là: B
>
Điều kiện để biểu thức \[{a^\alpha }\] có nghĩa với \[\alpha \in I\;\] là:
a < 0
a > 0
\[a \in R\]
\[a \in Z\]
Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương nên a > 0.
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[a > 0,b < 0,\alpha \notin Z,n \in {N^ * }\]. khi đó biểu thức nào dưới đây không có nghĩa?
\[{a^n}\]
\[{b^n}\]
\[{a^\alpha }\]
\[{b^\alpha }\]
- Vì \[n \in {N^{ * \;}}\] nên \[{a^n},{b^n}\] đều có nghĩa (A, B đúng).
- Vì \[\alpha \notin Z,a > 0\] nên \[{a^\alpha }\] có nghĩa (C đúng).
- Vì \[\alpha \notin Z,b < 0\] nên \[{b^\alpha }\] không có nghĩa (D sai).
Đáp án cần chọn là: D
Mệnh đề nào đúng với mọi số thực x,y?
\[{\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{x + y}}\]
\[\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{\frac{x}{y}}}\]
\[{2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}\]
\[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{{{2^x}}}{{{3^y}}}\]
Ta có: \[{\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{xy}}\] nên A sai.
\[\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{x - y}}\] nên B sai.
\[{2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}\] nên C đúng.
\[{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{{{2^x}}}{{{3^x}}}\] nên D sai.
Đáp án cần chọn là: C
Mệnh đề nào đúng với mọi số thực dương x,yx,y?
\[{2^{\sqrt x }} = {x^{\sqrt 2 }}\]
\[{3^{\sqrt {xy} }} = {\left( {{3^{\sqrt x }}} \right)^{\sqrt y }}\]
\[\frac{{{3^{\sqrt[3]{x}}}}}{{{3^{\sqrt[3]{y}}}}} = {3^{\sqrt[3]{{x - y}}}}\]
\[{x^{\sqrt 3 }} = {y^{\sqrt 3 }}\]
\[{2^{\sqrt x }} \ne {x^{\sqrt 2 }}\] nên A sai.
\[{3^{\sqrt {xy} }} = {3^{\sqrt x .\sqrt y }} = {\left( {{3^{\sqrt x }}} \right)^{\sqrt y }}\] nên B đúng.
\[\frac{{{3^{\sqrt[3]{x}}}}}{{{3^{\sqrt[3]{y}}}}} = {3^{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}} \ne {3^{\sqrt[3]{{x - y}}}}\] nên C sai.
\[{x^{\sqrt 3 }} \ne {y^{\sqrt 3 }}\] nếu \[x \ne y\] nên D sai.
Đáp án cần chọn là: B
Thu gọn biểu thức \[P = \sqrt[5]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\,\,\,(x > 0)\] ta được kết quả là:
\[P = {x^{\frac{2}{{15}}}}\]
\[P = {x^{\frac{7}{{15}}}}\]
\[P = {x^{\frac{{38}}{{15}}}}\]
\[P = {x^{\frac{5}{2}}}\]
\[P = \sqrt[5]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[5]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{3}}}}} = {\left( {{x^{2 + \frac{1}{3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}}\]
Vậy \[P = {x^{\frac{7}{{15}}}}.\]
Đáp án cần chọn là: B
Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}}(b > 0)\] ta được kết quả là:
P=1
\[P = {b^{\frac{1}{{30}}}}\]
\[P = {b^{\frac{6}{5}}}\]
P=b
\[P = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}.{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b.{b^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \frac{{{b^{\frac{5}{{2.5}}}}}}{{{b^{\frac{3}{{2.3}}}}}} = 1\]
Vậy P=1.
Đáp án cần chọn là: A
Rút gọn biểu thức \[P = {a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[3]{a}\] với a > 0.
\[P = {a^{\frac{1}{2}}}\]
\[P = {a^{\frac{9}{2}}}\]
\[P = {a^{\frac{{11}}{6}}}\]
\[P = {a^3}\]
Ta có: \[P = {a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[3]{a} = {a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{{11}}{6}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Giá trị \[P = \frac{{\sqrt[5]{4}.\sqrt[4]{{64}}.{{(\sqrt[3]{{\sqrt 2 }})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt[3]{{32}}}}}}\] là:
\[P = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}\]
\[P = {2^{\frac{{181}}{9}}}\]
\[P = {2^{\frac{5}{6}}}\]
\[P = {2^{\frac{5}{3}}}\]
\[P = \frac{{\sqrt[5]{4}.\sqrt[4]{{64}}.{{(\sqrt[3]{{\sqrt 2 }})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt[3]{{32}}}}}} = \frac{{{2^{\frac{2}{5}}}{{.2}^{\frac{6}{4}}}{{.2}^{\frac{4}{6}}}}}{{{2^{\frac{5}{9}}}}} = {2^{\frac{2}{5} + \frac{6}{4} + \frac{4}{6} - \frac{5}{9}}} = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}\]
Vậy \[P = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}.\]
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị biểu thức \[P = \frac{{{{125}^6}.\left( { - {{16}^3}} \right)2.\left( { - {2^3}} \right)}}{{{{25}^3}.{{\left( { - {5^2}} \right)}^4}}}\] là:
\[P = \frac{{25}}{{2028}}\]
P = 2028
\[P = \frac{{{5^3}}}{{{2^{14}}}}\]
\[P = {5^4}{.2^{16}}\]
Ta có : \[P = \frac{{{{125}^6}.{{\left( { - 16} \right)}^3}2.\left( { - {2^3}} \right)}}{{{{25}^3}.{{\left( { - {5^2}} \right)}^4}}} = \frac{{{5^{18}}{2^{12}}{{.2.2}^3}}}{{{5^6}{{.5}^{2.4}}}} = {5^4}{.2^{16}}\]
Vậy \[P = {5^4}{.2^{16}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Nếu \[{\left( {a - 2} \right)^{ - \frac{1}{4}}} \le {\left( {a - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\]thì khẳng định đúng là:
\[a \ge 3\;\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;\;\]
a < 3
2 < a ≤ 3
a > 2
Vì \[ - \frac{1}{4} > - \frac{1}{3}\] nên \[{\left( {a - 2} \right)^{ - \frac{1}{4}}} \le {\left( {a - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}} \Leftrightarrow 0 < a - 2 \le 1 \Leftrightarrow 2 < a \le 3\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho số thực a thỏa mãn \[{\left( {2 - a} \right)^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2}\]. Chọn khẳng định đúng:
a < 1
a = 1
1 < a < 2
a ≤ 1
Vì \[\frac{3}{4} < 2\] nên\[{\left( {2 - a} \right)^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2} \Leftrightarrow 0 < 2 - a < 1 \Leftrightarrow 1 < a < 2\]
Đáp án cần chọn là: C
Tính giá trị của biểu thức \[P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\].
\[P = 2\sqrt 6 - 5\]
\[P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\]
\[P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\]
\[P = 2\sqrt 6 + 5\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)}^{2020}}{{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)}^{2021}}}\\{\,\,\,\,\, = {{\left[ {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)} \right]}^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)}\\{\,\,\,\, = {{\left( {24 - 25} \right)}^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right) = 2\sqrt 6 + 5}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Với giá trị nào của a thì đẳng thức \[\,\,\,\,\,\sqrt {a.\sqrt[3]{{a.\sqrt[4]{a}}}} = \sqrt[{24}]{{{2^5}}}.\frac{1}{{\sqrt {{2^{ - 1}}} }}\]đúng?
a = 1
a = 2
a = 0
a = 3
\[\,\,\,\,\,\sqrt {a.\sqrt[3]{{a.\sqrt[4]{a}}}} = \sqrt[{24}]{{{2^5}}}.\frac{1}{{\sqrt {{2^{ - 1}}} }}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {a.\sqrt[3]{{a.{a^{\frac{1}{4}}}}}} = {2^{\frac{5}{{24}}}}{.2^{\frac{1}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{5}{4}}}}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {a.{a^{\frac{5}{{12}}}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^{\frac{{17}}{{12}}}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\]
\[ \Leftrightarrow {a^{\frac{{17}}{{24}}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\]
\[ \Leftrightarrow a = 2\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?
m < n
m > n
m ≤ n
m = n
Vì \[0 < \sqrt 2 - 1 < 1\] nên\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n\]</>
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[a > 1 > b > 0\], khẳng định nào đúng?
\[{a^2} < {b^2}\]
\[{a^{ - 2}} < {a^{ - 3}}\]
\[{a^{ - \frac{3}{2}}} < {b^{ - \frac{3}{2}}}\]
\[{b^{ - 2}} > {b^{ - \frac{5}{2}}}\]\[\]
Đáp án A: Vì a > b > 0 0 và 2 > 0 nên \[{a^2} > {b^2}\] (A sai).
Đáp án B: Vì a > 1 và −2 > −3 nên \[{a^{ - 2}} > {a^{ - 3}}\] (B sai).
Đáp án C: Vì a > b > 0 và \[ - \frac{3}{2} < 0\]nên \[{a^{ - \frac{3}{2}}} < {b^{ - \frac{3}{2}}}\] (C đúng).
Đáp án D: Vì 0 < b < 1 và \[ - 2 > - \frac{5}{2}\]nên \[{b^{ - 2}} < {b^{ - \frac{5}{2}}}\] (D sai).
Đáp án cần chọn là: C
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: \[a = {1^{3,8}};\,\,b = {2^{ - 1}};\,\,c = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}}\]
b;c;a
bc;a;b
c;b;a
b;a;c
Ta có: \[a = {1^{3,8}} = 1;b = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2} = 0,5\] và \[c = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} = {2^3} = 8.\].
Mà \[0,5 < 1 < 8 \Rightarrow b < a < c\]
Đáp án cần chọn là: D
Rút gọn biểu thức: \[C = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}:\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)\] ta được kết quả là:
\(\frac{1}{2}\)
C = 1
C = a + b
\[C = \sqrt a - \sqrt b \]
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{C = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}:\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}:\left( {\frac{{2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}} \right)}\\{\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}.\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}} = 1.}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Rút gọn biểu thức \[P = \left( {\sqrt {ab} - \frac{{ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right):\frac{{\sqrt[4]{{ab}} - \sqrt b }}{{a - b}}\left( {a > 0,b > 0,a \ne b} \right)\] ta được kết quả là:
\[P = a\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}} \right)\]
\[P = \sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\]
\[P = \sqrt[4]{{ab}}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\]
\[P = a\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\]
\[P = \left( {\sqrt {ab} - \frac{{ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right):\frac{{\sqrt[4]{{ab}} - \sqrt b }}{{a - b}}\]
\[ = \left( {\frac{{\sqrt {ab} \left( {a + \sqrt {ab} } \right) - ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right).\frac{{a - b}}{{\sqrt[4]{{ab}} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{a.\sqrt {ab} + ab - ab}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + \sqrt a .\sqrt b }}.\frac{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}\]
\[ = \frac{{a\sqrt {ab} }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}} = \frac{{a\sqrt a .\sqrt b }}{{\sqrt a }}.\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}\]
\[ = \frac{{a\sqrt b .\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}} = \frac{{a{{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}.\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{b}}} = a\sqrt[4]{b}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\]
Vậy \[P = a\sqrt[4]{b}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}).\]
Đáp án cần chọn là: D
Đơn giản biểu thức \[P = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)\] ta được:
\[P = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\]
\[P = a + b\]
\[P = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\]
\[P = a - b\]
Ta có:
\[P = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right) = a - b\]
Vậy \[P = a - b\]
Đáp án cần chọn là: C
Đơn giản biểu thức \[A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\] ta được:
A = a
A = −a
\[A = \frac{1}{a}\]
\[A = {a^{2\sqrt 2 - 1}}\]
\[A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2 + 1}} = {a^{\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}} = a\]
Đáp án cần chọn là: A
Rút gọn biểu thức \[B = \frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\] ta được kết quả là:
\[\frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\]
\[\frac{{{a^{2\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\]
\[\frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\]
0
Ta có:\[B = \frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\]
\[ = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} + 1 = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Tính giá trị của biểu thức \[A = \sqrt {{{\left( {{a^e} + {b^e}} \right)}^2} - {{\left( {{4^{\frac{1}{e}}}ab} \right)}^e}} \] khi a = e; b = 2e
\[A = \left( {{2^e} - 1} \right){e^e}\]
\[\left( {1 - {2^e}} \right){e^e}\]
\[A = {e^e}\]
\[ - {e^e}\]
\[A = \sqrt {{{\left( {{a^e} + {b^e}} \right)}^2} - {{\left( {{4^{\frac{1}{e}}}ab} \right)}^e}} = \sqrt {{a^{2e}} + 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}} - 4{a^e}{b^e}} \]
\[ = \sqrt {{a^{2e}} - 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}}} = \sqrt {{{\left( {{a^e} - {b^e}} \right)}^2}} = \left| {{a^e} - {b^e}} \right|\]
Với \[a = e;b = 2e\] thì \[A = \left| {{a^e} - {b^e}} \right| = \left| {{e^e} - {{\left( {2e} \right)}^e}} \right| = \left( {{2^e} - 1} \right){e^e}\]
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}\] là:
2
\(\frac{1}{2}\)
\[\frac{2}{{\sqrt 5 }}\]
\[\frac{2}{5}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \[{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}};{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}\] ta có:
\[A = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} = {5^{ - {{\sin }^2}x}} + {5^{ - {{\cos }^2}x}} \ge 2\sqrt {{5^{ - {{\sin }^2}x}}{{.5}^{ - {{\cos }^2}x}}} = 2\sqrt {{5^{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}} = 2\sqrt {{5^{ - 1}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]
Dấu “=” xảy ra khi
\[{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\]
Vậy GTNN của A là \[\frac{2}{{\sqrt 5 }}\]Đáp án cần chọn là: C
