ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hàm số lũy thừa

Các hàm số ở mỗi đáp án A, B, D đều là hàm số lũy thừa.

Đáp án cần chọn là: C

- Hàm số \[y = {x^\alpha }\] có TXĐ \[D = R\] với mọi \[\alpha \] nguyên dương nên A và B sai.

- Hàm số \[y = {x^\alpha }\] có TXĐ \[D = R \setminus \left\{ 0 \right\}\] với mọi \[\alpha \] nguyên âm hoặc \[\alpha = 0\] nên C sai.

- Hàm số \[y = {x^\alpha }\] có TXĐ \[D = \left( {0; + \infty } \right)\] với mọi \[\alpha \] không nguyên nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Vì hàm số \[y = {x^{\frac{1}{n}}}\] có số mũ không nguyên nên cơ số phải dương, hay x>0.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: \[{\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha - 1}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Vì\[\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\] nếu x>0 nên\[{\left( {\sqrt[n]{x}} \right)^\prime } = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \frac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\] chỉ đúng nếu x>0.

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số \[y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] nếu \[\alpha > 0\] nên A và C sai.

Hàm số \[y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)\] nghịch biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] nếu \[\alpha < 0\] nên B đúng, D sai.

Đáp án cần chọn là: B

>

Với \[\alpha = 1\] thì \[y = {x^1} = x\] nên đồ thị hàm số là đường thẳng.

Đáp án cần chọn là: A

Từ hình vẽ ta thấy \[1 < {2^\alpha } < 2 \Rightarrow 0 < \alpha < 1\]

Đáp án cần chọn là: D

+ Hàm số \[y = {x^{e - 3}}\] có \[\alpha = e - 3\] không nguyên, suy ra tập xác định là \[(0; + \infty ) \Rightarrow C(0; + \infty )\]⇒C đúng

+ Hàm số đi qua điểm (1;1) suy ra A đúng

+ \[y' = (e - 3).{x^{e - 4}} < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow B\] sai

+ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Ox,Oy suy ra D đúng

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số \[y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\frac{\pi }{2}}}\] xác định khi \[{x^3} - 27 > 0 \Leftrightarrow x > 3\].

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số \[y = {\left( {{x^4} - 3{x^2} - 4} \right)^{ - 2}}\] xác định khi \[{x^4} - 3{x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 2\]

Đáp án cần chọn là: A

\[P = {x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^{1 + \frac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} = {x^{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}x}}}} = {x^{1 + {{\log }_x}2}} = {x^{{{\log }_x}2x}} = 2x}\\{{8^{\frac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{3.\frac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{\frac{1}{{{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{{{\log }_2}{x^2}}} = {x^2}}\end{array}\]

Khi đó\[f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} - 1 = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} - 1 = x \Rightarrow f\left( x \right) = x\]

Do đó \[P = f\left( {f\left( {2018} \right)} \right) = f\left( {2018} \right) = 2018\]

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

\[y' = {\left[ {{{\left( {2{x^2} + x - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]^\prime } = \frac{2}{3}{\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}{\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^\prime }\]

\[ = \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{2{x^2} + x - 1}}}}\left( {4x + 1} \right) = \frac{{2\left( {4x + 1} \right)}}{{3\sqrt[3]{{2{x^2} + x - 1}}}}\]

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: \[D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

Ta có:

\[y' = f'\left( x \right) = {\left[ {{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]^\prime } = \frac{2}{3}{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}}{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^\prime }\]

\[ = \frac{2}{3}{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\left( {2x + 1} \right) = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{3\sqrt[3]{{{x^2} + x - 2}}}},\forall x \in D\]

Do đó:

\[f'\left( 2 \right) = \frac{{10}}{{3\sqrt[3]{4}}};f'\left( { - 3} \right) = - \frac{{10}}{{3\sqrt[3]{4}}};f'\left( 3 \right) = \frac{{14}}{{3\sqrt[3]{{10}}}}\] và không tồn tại \[f'\left( 0 \right)\]

Đáp án cần chọn là: A

Ta thấy hàm số \[y = {x^a}\;\] nghịch biến nên \[a < 0\;\] nên loại C, D.

Kẻ đường thẳng y=1 cắt hai đồ thị hàm số \[y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\] tại hai điểm lần lượt có hoành độ x=b;x=c. Quan sát đồ thị ta thấy b<c.

Vậy a<b<c.

Đáp án cần chọn là: B

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

- Với 0<x<1 thì \[{x^a} < {x^b} < {x^c} < {x^1} \Leftrightarrow a > b > c > 1\]</x

- Với x>1 thì \[x < {x^c} < {x^b} < {x^a} \Rightarrow 1 < c < b < a\]

Vậy 1<c<b<a

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = - 2.{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 3}}.{{\left( {x + 2} \right)}^\prime } = - 2{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 3}}}\\{y'' = - 2.\left( { - 3} \right).{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 4}}{{\left( {x + 2} \right)}^\prime } = 6{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 4}}}\\{ \Rightarrow y'' = 6{y^2}}\\{ \Leftrightarrow y'' - 6{y^2} = 0}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Đồ thị hàm số không có tiệm cận là \[y = {x^{\frac{1}{3}}}\]

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:\[y' = \frac{\pi }{2}{x^{\frac{\pi }{2} - 1}} \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \frac{\pi }{2}\]

Với \[{x_0} = 1\] thì\[{y_0} = {1^{\frac{\pi }{2}}} = 1\]

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀ là:

\[y = \frac{\pi }{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{2} + 1\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta thấy hàm số \[y = {x^a}\;\] nghịch biến nên \[a < 0\;\] nên loại C, D.

Kẻ đường thẳng y=1 cắt hai đồ thị hàm số \[y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\] tại hai điểm lần lượt có hoành độ x=b;x=c. Quan sát đồ thị ta thấy b<c.

Vậy a<b<c.

Đáp án cần chọn là: B