ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình mũ và một số phương pháp giải

Đặt

\[t = {3^x},t > 0 \Rightarrow \sqrt {t + 6} = t \to t + 6 = {t^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 2\left( l \right)}\\{t = 3}\end{array}} \right.\]

\[t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Rightarrow x = 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Đặt\[t = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\left( {t > 0} \right)\] phương trình có dạng

\[t + \frac{1}{t} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2 + 1\left( {tm} \right)}\\{t = \sqrt 2 - 1\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\]

Khi đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{t = \sqrt 2 + 1 \Rightarrow x = - 1}\\{t = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow x = 1}\end{array}\]

Suy ra tích các nghiệm bằng −1.

Đáp án cần chọn là: B

Đặt \[t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)\]

Xét hàm số\[y = {t^2} - 8t + 3\]  trên (2;8) có:

\[y' = 2t - 8;y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in (2;8)\]

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình \[{4^x} - {\rm{\;}}{2^{x{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}} + {\rm{\;}}3{\rm{\;}} = {\rm{\;}}m\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9\]

Đáp án cần chọn là: A

Đặt \[t = {2^{{x^2} - 2x + 1}} \ge 1\]phương trình đã cho trở thành\[{t^2} - 2mt + 3m - 2 = 0\left( * \right)\]

Với t=1 ta tìm được 1 giá trị của x

Với t>1 ta tìm được 2 giá trị của x

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime = {m^2} - (3m - 2) > 0}\\{({t_1} - 1) + ({t_2} - 1) > 0}\\{({t_1} - 1)({t_2} - 1) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - (3m - 2) > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 2}\\{{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 2 > 0}\\{2m > 2}\\{3m - 2 - 2m + 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\\{m > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > 2\)</>

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Thử với m=−1 ta được phương trình:

\[{\left( {{3^{1 - x}}} \right)^2} - {4.3^{1 - x}} + 1 = 0\] phải có 2 nghiệm \[{3^{1 - x}}\] đều dương và 2 nghiệm đó là\[2 - \sqrt 3 \] và \[2 + \sqrt 3 \]

Vậy m=−1 thỏa mãn nên ta loại được A; B; D

Đáp án cần chọn là: C

Đặt \[\left| {x - 1} \right| = a\] khi đó phương trình trở thành\[{2^{a + 1}} + {2^a} + m = 0\](1)

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì pt (1) bắt buộc phải có nghiệm duy nhất a=0 ( vì nếu a>0 thì sẽ tồn tại 2 giá trị của x)

Nên \[{2^1} + {2^0} + m = 0\]. Suy ra m=−3

Đáp án cần chọn là: C

\[2 = {5^{{{\log }_3}x}} \Leftrightarrow {\log _5}2 = {\log _3}x \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}} = {\log _5}2\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}2}} = {\log _5}3 \Leftrightarrow {\log _5}3 = {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _3}5 = {\log _x}2\]

Suy ra \[2 = {x^{{{\log }_3}5}}\]

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình trên tương đương với

\[{3^{2x - 2}} = {2^{x - \frac{3}{2}}} \Leftrightarrow {9^{x - 1}} = {2^{x - 1}}{.2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})^{x - 1}} = {2^{\frac{{ - 1}}{2}}}\]

\[ \Leftrightarrow x - 1 = {\log _{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{{ - 1}}{2}}} \Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2\]

Suy ra \[x + \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2 = 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: C

\[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2^{x + 1 + 1}} - {2^{x + 1 + 2}}\]

\[ \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2.2^{x + 1}} - {2^2}{.2^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = (2m - 4){2^{x + 1}}\]

\[ \Leftrightarrow 2m - 4 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]

Đáp án cần chọn là: A

\[{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {({2^{{x^2}}})^2} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow ({2^{{x^2}}} - 4)({2^{{x^2}}} - 1) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{{x^2}}} = 4}\\{{2^{{x^2}}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 2}\\{{x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \sqrt 2 }\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có . 

Dấu "=" xảy ra khi \[{a^\alpha } = {a^{ - \alpha }}\]. Điều này dẫn đến \[\alpha = - \alpha \Rightarrow \alpha = 0\]

Đáp án cần chọn là: C

\[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x \Leftrightarrow {2^{23{x^3} + x}} + 23{x^3} + x = {2^{10{x^2}}} + 10{x^2}\]

Xét hàm số\[f(t) = {2^t} + t;f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t\]

\[ \Rightarrow f(23{x^3} + x) = f(10{x^2}) \Leftrightarrow 23{x^3} + x = 10{x^2} \Leftrightarrow x(23{x^2} - 10x + 1) = 0\]

Theo vi-et cho phương trình bậc 3 ta có \[{x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = \frac{{10}}{{23}} \approx 0,45\]

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

\[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) + \left( {{x^2} - mx - 1} \right)} \right]{.2^{ - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} + {x^2} - {m^2}x - 1\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2} - {m^2}x - 1}\\{v = {x^2} - mx - 1}\end{array}} \right.\) Phương trình trở thành:

\[\left( {u + v} \right){.2^{ - v}} = v{.2^{u - v}} + u \Leftrightarrow u\left( {{2^{ - v}} - 1} \right) = v{2^{ - v}}\left( {{2^u} - 1} \right)\left( * \right)\]

+) Dễ dàng kiểm tra u=0 hoặc v=0 là nghiệm của (*)

+) Với \[u,v \ne 0,\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^{ - v}} - 1}}{{v{2^{ - v}}}} = \frac{{{2^u} - 1}}{u}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} = \frac{{1 - {2^v}}}{v}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\]

Xét hàm\[f\left( t \right) = \frac{{{2^t} - 1}}{t}\] trên\[\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\] ta thấy:

+) Với t>0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 > 0}\\{t > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)

+) Với t<0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 < 0}\\{t < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)</0 thì>

Do đó \[f\left( t \right) > 0\] với mọi \[t \ne 0\]

\[ \Rightarrow f\left( u \right) > 0,f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]

\[ \Rightarrow f\left( u \right) + f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]

\[ \Rightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} > 0,\forall u,v \ne 0\]

Do đó phương trình\[\frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\] vô nghiệm.

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{v = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - {m^2}x - 1 = 0(1)}\\{{x^2} - mx - 1 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:

\[{S_1} = {m^2},\,{S_2} = m \Rightarrow S = {m^2} + m \ge - \frac{1}{4}\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là \[ - \frac{1}{4}\]  khi \[m = - \frac{1}{2}\]Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

\[{e^{2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}}} = m \Leftrightarrow 2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2} = \ln m\]

Xét \[g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}\]có:

\[g'\left( x \right) = 6{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 13f\left( x \right)f'\left( x \right) + 7f'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {6{f^2}\left( x \right) - 13f\left( x \right) + 7} \right]\]

Suy ra

\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (x) = 0}\\{6{f^2}(x) - 13f(x) + 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (x) = 0}\\{f(x) = 1}\\{f(x) = \frac{7}{6}}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1;x = 3}\\{x = 1,x = {x_1} > 3}\\{x = {x_2} < 1}\end{array}} \right.\)

Xét g(x) trên đoạn \[[0;2].\]

+ Trong khoảng (0;1) thì\[f'\left( x \right) < 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < f(0) = \frac{7}{6}\]nên\[f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \frac{7}{6}} \right) > 0\]hay\[g'\left( x \right) > 0\]</></>

+ Trong khoảng (1;2) thì \[f'\left( x \right) > 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < \frac{{15}}{{13}} < \frac{7}{6}\]nên\[f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \frac{7}{6}} \right) < 0\]hay \[g'\left( x \right) < 0\]

Từ đó ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = 4\]

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu\[\ln m \le 4 \Leftrightarrow m \le {e^4}\]hay giá trị lớn nhất của m là \[m = {e^4}\].

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: B

Ta có\[{16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\] (1)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0\] chia cả hai vế cho\[{9^x}\]

Đặt\[{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t \Rightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}t > 0 \Leftrightarrow t > 1\]

Khi đó ta có phương trình \[{t^2} - 2t + m - 2 = 0\left( * \right)\]

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = 1 - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\]

Với \[m \le 3\] thì (∗) có nghiệm \[{t_1} = 1 - \sqrt {3 - m} ,{t_2} = 1 + \sqrt {3 - m} \]

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì

\[1 + \sqrt {3 - m} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - m} > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\]

Mà m nguyên dương nên \[m \in \left\{ {1;2} \right\}\]Vậy có 2 giá trị của mm thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{4^x} + {4^{ - x}} = 7}\\{{4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 9}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{2^x}} \right)}^2} + {{\left( {{2^{ - x}}} \right)}^2} + {{2.2}^x}{{.2}^{ - x}} = 9}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2} = 9}\\{ \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3}\end{array}\]

(do \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\])

Vậy

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}}}\\{\,\,\,\, = \frac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}}\\{\,\,\,\, = \frac{{5 - 3}}{{8 + 4.3}} = \frac{1}{{10}}}\\{ \Rightarrow a = 1,b = 10 \Rightarrow a.b = 1.10 = 10}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A

* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\]

\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \frac{1}{x}khix \in \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

⇒ Ta chặn được\[y > - 3 \Rightarrow y \ge - 2\]

\[*pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\]

Đặt \[f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\] ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(\frac{1}{3}) = {3^{y - 8}} - \frac{y}{3} - 1}\\{f(3) = {{27}^{3y}} - 3y - 1}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy ngay\[f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\] chỉ bằng 0 tại y=0

+ Xét y=0⇒ thay vào phương trình ban đầu ⇒\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) loại vì không có nghiệm thuộc \[\left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

+ Xét\[y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ * }\]

1) Ta Table khảo sát\[f\left( {\frac{1}{3}} \right)\] với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Start:y = - 2}\\{End:y = 17}\\{Step: = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]

⇒ Có 11 giá trị của yy để tồn tại nghiệm

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi\[y \ge 10\] thì \[f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\] và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi \[y \ge 10\] thì phương trình vô nghiệm.

\[g\prime (y) = x({27^{3{x^2} + x(y - 9)}}.ln27 - 1) > 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\forall y \ge 10}\\{x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\]

Ta có\[h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]

\[ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{14}}{3} > 0\]

⇒ Phương trình vô nghiệm với\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của yy.

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \[{x^3}\] theo y.

Ta có\[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \frac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)}\end{array}\]

Xét \[f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\]ta có\[f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\].Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\]Bước 2: Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.

Khi đó

\[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{{y - 2}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \ge 2\sqrt {\frac{7}{y}.\frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{{12}}{7}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\]

\[{P_{\min }} = \frac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\]

Vậy\[a = 12,b = 7 = > a - b = 5\]