d) $\frac{2\text{x}-3}{x+2}+\frac{\text{x}-5}{3-x}-\frac{10}{x^2-x-6}=2$

ĐKXĐ: $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ 3-x\ne 0\\ x^2-x-6\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ 3-x\ne 0\\ (x+2)(x-3)\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{2\text{x}-3}{x+2}-\frac{\text{x}-5}{x-3}-\frac{10}{(x+2)(x-3)}=2 \\ \iff \frac{\left(2x-3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}+\frac{\left(\text{x}-5\right)\left(-1\right)\left(x+2\right)}{\left(3-x\right)\left(-1\right)\left(x+2\right)}-\frac{10}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}=2.\frac{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)} \\ \iff \frac{\left(2x-3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}+\frac{\left(-x-2\right)\left(x-5\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}-\frac{10}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}=2.\frac{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)} \end{gathered}$$

=> (x – 3)(2x – 3) + (x – 5)(–2 – x) – 10 = 2(x + 2)(x – 3)

Û 2x² – 9x + 9 – x² + 10 + 3x – 10 = 2(x² – x – 6)

Û x² – 6x + 9 = 2x² – 2x – 12

Û 2x² – x² – 2x + 6x – 12 – 9 = 0

Û x² + 4x – 21 = 0

Û x² + 7x – 3x – 21 = 0

Û (x² + 7x) – (3x + 21) = 0

Û x(x + 7) – 3(x + 7) = 0

Û (x + 7)(x – 3) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}-x-7=0\\ x-3=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-7\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Gọi x (kg) là khối lượng rau mà siêu thị đã thu mua (x > 0)

Theo dự định, khối lượng rau mỗi ngày bán được là: $\frac{x}{18}$  (kg)

Khối lượng rau đó sớm hơn dự định 3 ngày so với dự định nên số theo thực tế số lượng rau đó bán được là: 18 – 3 = 15 (kg)

Thực tế, số rau bán trong 15 ngày nên khối lượng rau mỗi ngày bán được là: $\frac{x}{15}$  (kg)

Theo đề bài, mỗi ngày siêu thị bán vượt mức 120 kg ta có phương trình:

$\frac{x}{15}$ – $\frac{x}{18}$  = 120

$\iff \left(\frac{1}{15}-\frac{1}{18}\right)x=120$

$\iff \frac{1}{90}x=120$

x = 10 800 (thỏa mãn)

Vậy khối lượng rau mà siêu thị đã thu mua là 10 800 (kg)

c) Từ câu b ta có: x = $\frac{m^2-4m+3}{m^2-1}=\frac{\left(m-3\right)\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}$

$=\frac{m-3}{m+1}=\frac{m+1-4}{m+1}=1-\frac{4}{m+1}$

Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số nguyên thì $\frac{4}{m+1}\in \mathbb{Z}$  và m ≠ ±1.

Khi đó, m ≠ ±1 và (m + 1) Î Ư(4) = {±1; ±2; ±4}.

a) Vì BD và CE là đường cao của DABC nên BD ^ AC, CE ^ AB.

Suy ra $\widehat{ADB}={90}^o;\widehat{AEC}={90}^o$

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$ .

Xét DABD và DACE có:

$\widehat{BAC}$ chung

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$ (chứng minh trên)

Do đó DABD $\backsim$  DACE (g.g).

b) Xét DACE và DHCD có:

$\widehat{AEC}=\widehat{HDC}$ = 90° (vì BD ^ AC, CE ^ AB)

$\widehat{HCD}$ chung

Do đó D ACE $\backsim$  D HCD (g.g)

Suy ra $\frac{CA}{CH}=\frac{CE}{C\text{D}}$

$\iff$ (b – a). (ab² + a) − (b − a). (a²b + b) = 0

$\iff$ (b – a). (ab² − a²b + a − b) = 0

$\iff$ (b – a). [ab. (b – a) – (b – a)] = 0

$\iff$ (b – a). (b – a). (ab – 1) = 0

Vì a ≠ b nên b – a ≠ 0

Do đó (b – a). (b – a). (ab – 1) = 0

$\iff$ ab – 1 = 0

$\iff$ ab = 1

$\iff$ a = $\frac{1}{b}$

$$\begin{gathered} M=\frac{1}{a^{2021}+1}+\frac{1}{b^{2021}+1} \\ =\frac{1}{{\left(\frac{1}{b}\right)}^{2021}+1}+\frac{1}{b^{2021}+1} \end{gathered}$$