a) Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A = $\frac{x+3}{x^2-4}$ ta được:

A = $\frac{3+3}{3^2-4}$ = $\frac{6}{5}$.

Vậy với x = 3 thì A = $\frac{6}{5}$.

b) Với x ≠ ±2 ta có:

Ta có: B = $\frac{x^2}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}$ − $\frac{x}{x+2}$ 

= $\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{1}{x-2}$ − $\frac{x}{x+2}$ 

= $\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ − $\frac{\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ − $\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

= $\frac{x^2-\left(x+2\right)-x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

= $\frac{x^2-x-2-x^2+2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

= $\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

= $\frac{1}{x+2}$.

Vậy với x ≠ ±2 thì B = $\frac{1}{x+2}.$

c) Với x ≠ ±2 ta có:

P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{1}{x+2}$ : $\frac{x+3}{x^2-4}$

=  $\frac{1}{x+2}$. $\frac{x^2-4}{x+3}$

=  $\frac{1}{x+2}$. $\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+3}$

= $\frac{x-2}{x+3}$

Ta có:

P < 1 $\iff$$\frac{x-2}{x+3}$ < 1

$\iff$ $\frac{x-2}{x+3}$− 1 < 0

$\iff$ $\frac{x-2-x-3}{x+3}$< 0

$\iff$ $\frac{-5}{x+3}$ < 0

Û x + 3 > 0 (vì –5 < 0)

$\iff$ x > −3

Kết hợp điều kiện x ≠ ±2 ta có:

x > −3 và x ≠ ±2.

Vậy với x > −3 và x ≠ ±2 thì P < 1.

a) 5(3x − 2) − 4(5 − 3x) = 1

Û 15x – 10 – 20 + 12x = 1

Û 15x + 12x = 1 + 10 + 20

Û 27x = 31

Û x = $\frac{31}{27}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{31}{27}\right\}$.

Ta có: $\frac{x-3}{3}$− $\frac{2x-1}{2}$ > 2

Û $\frac{6.\left(x-3\right)}{3}$− $\frac{6.\left(2x-1\right)}{2}$ > 6.2

Û $\frac{\mathrm{3.2.}\left(x-3\right)}{3}$− $\frac{\mathrm{2.3.}\left(2x-1\right)}{2}$ > 12

Û 2.(x – 3) – 3.(2x – 1) > 12

Û 2x − 6 − 6x + 3 > 12

Û 2x − 6x > 12 + 6 − 3

Û −4x > 15

Û x < −3,75

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x| x < −3,75}.

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

Chiều cao của mực nước là:

2,3 – 0,5 = 1,8 (m)

Số lít nước đã bơm vào bể là:

50.25.1,8 = 2 250 (m³) = 2 250 000 (lít)

Vậy người ta đã bơm vào bể 2 250 000 lít nước.

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

Þ AH ⊥ BC

Þ ∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

Þ ∆AEH vuông tại E

Do đó $\widehat{AEH}$= $\widehat{AHB}$ = 90°

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\widehat{AEH}$= $\widehat{AHB}$ (chứng minh trên),

$\widehat{BAH}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

Þ $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{AE}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a)

Þ $\widehat{AHC}$ = 90°

Vì HF ⊥ AC (giả thiết)

Þ $\widehat{AFH}$ = 90°

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\widehat{AFH}$ = $\widehat{AHC}$ = 90°,

$\widehat{HAF}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

Þ $\frac{AF}{AH}$ = $\frac{AH}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AH² = AF. AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC.

c) Theo câu b có: AE. AB = AF.AC

Þ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$ 

Xét ∆AEF và ∆ACB có

$\widehat{A}$chung,

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

Þ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$= $\frac{E\text{}F}{BC}$ (tỉ số đồng dạng)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$= $\frac{E\text{}F}{BC}$ = $\frac{AE+A\text{}F+E\text{}F}{AC+AB+BC}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$ 

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

Þ $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$ = ${\left(\frac{AE}{AC}\right)}^2$= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ = $\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{4}=\frac{S_{ABC}}{9}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(do S_ABC – S_AEF = 25 (cm²))

Þ S_AEF = 5.4 = 20 (cm²)

Và S_ABC = 5.9 = 45 (cm²)

Vậy S_AEF = 20 cm² và S_ABC = 45 cm².