1) Ta có: 2(2x − 1) − x = 4

$\iff$4x – 2 – x = 4

$\mathbf{\iff }$4x – x = 4 +2

$\iff$3x = 6

$\iff$x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

2) Ta có: $\frac{x+1}{x-2}$ + $\frac{1}{x}$ = $\frac{5x-4}{x^2-2x}$ 

ĐKXĐ: x ≠ 2 và x ≠ 0

$\frac{x+1}{x-2}$ + $\frac{1}{x}$ = $\frac{5x-4}{x^2-2x}$

$\iff$ $\frac{x.\left(x+1\right)}{x.\left(x-2\right)}$+ $\frac{1.\left(x-2\right)}{x.\left(x-2\right)}$ = $\frac{5x-4}{x.\left(x-2\right)}$

$\Rightarrow$x.(x + 1) + x – 2 = 5x – 4

$\iff$ x² + x + x – 2 = 5x – 4

$\iff$ x² + x + x – 5x – 2 + 4 = 0

$\iff$ x² – 3x + 2 = 0

$\iff$ x² – x – 2x + 2 = 0

$\iff$ x(x – 1) – 2(x – 1) = 0

$\iff$(x – 1). (x – 2) = 0

$\iff$$\left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x-2=0\end{array}\right.$

$\iff$$\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}\right.$

Ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

1) Ta có: 3(x + 2) > 2x – 1

$\iff$3x + 6 > 2x – 1

$\iff$ 3x – 2x > – 1 – 6

$\iff$x > – 7.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (–7; +∞).

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số là:

Gọi x (áo) là số áo mà xưởng phải dệt theo kế hoạch (x ∈ ℕ^*)

Theo kế hoạch xưởng sẽ dệt xong số áo trong $\frac{x}{30}$ (ngày)

Thực tế, số áo may được là x + 20 (cái)

Số ngày thực tế là: $\frac{x+20}{40}$(ngày)

Vì xưởng đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày nên:

$\frac{x}{30}$ = $\frac{x+20}{40}$ + 3

$\iff$ $\frac{x}{30}$– $\frac{x}{40}$ = $\frac{7}{2}$

$\iff$ 40x – 30x = 4200

$\iff$ x = 420 (cái áo)

Vậy số áo xưởng phải dệt theo kế hoạch phân là 420 cái áo.

Áp dụng định lý Pytago vào ∆ DCM vuông tại C ta được:

DM² = CM² + CD² = 6² + 8² = 100

$\Rightarrow$ DM = 10

Xét ∆ ABM và ∆ DCM ta có:

$\widehat{AMB}$ = $\widehat{DMC}$(2 góc đối đỉnh)

$\widehat{B}$= $\widehat{C}$= 90°

Do đó ∆ABM ᔕ ∆DCM (g.g)

$\Rightarrow$ $\frac{AB}{DC}$ = $\frac{BM}{CM}$ = $\frac{AM}{DM}$

$\Rightarrow$ $\frac{y}{8}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{x}{10}$

$\Rightarrow$ y = $\frac{3.8}{6}$= 4

x = $\frac{3.10}{6}$ = 5

Vậy x = 5 và y = 4.

a) Vì ∆ ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}$ = 90°

Vì AH ⊥ BC nên $\widehat{BHA}$= 90°

Xét ∆ ABC và ∆ HBA ta có:

Chung $\widehat{ABC}$

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BHA}$= 90°

Do đó ∆ ABC ᔕ ∆ HBA (g.g)

b) Vì AH ⊥ BC nên $\widehat{CHM}$= 90°

Vì AM ⊥ BD tại K nên $\widehat{CKB}$= 90°

Xét ∆CHM và ∆CBK ta có:

Chung $\widehat{MCH}$

$\widehat{CHM}$ = $\widehat{CKB}$ = 90°

Do đó ∆ CHM ᔕ ∆ CBK (g.g)

$\Rightarrow$ $\frac{CH}{CM}$ = $\frac{CB}{CK}$

$\Rightarrow$ CH. CK = CM. CB (đpcm)

c) Xét ∆CMH và ∆DMK, có:

$\widehat{CHM}=\widehat{DKM}=90°$

$\widehat{CMH}=\widehat{DMK}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆CMH ᔕ ∆DMK (g – g)

⇒ $\frac{MH}{MK}=\frac{CM}{DM}$ (hai cạnh tương ứng)

⇒ $\frac{MH}{CM}=\frac{MK}{DM}$

Xét ∆MHK và ∆MCD, có:

$\frac{MH}{CM}=\frac{MK}{DM}$ (cmt)

$\widehat{HMK}=\widehat{CMD}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆MHK ᔕ ∆MCD (c – g – c)

⇒ $\widehat{CDM}=\widehat{MKH}$ (2 góc tương ứng)

Ta lại có:

$\widehat{CDM}+\widehat{DCH}=90°$ (∆CDH vuông tại H)

$\widehat{HKB}+\widehat{MKH}=\widehat{MKB}=90°$ (hai góc phụ nhau)

Mà $\widehat{CDM}=\widehat{MKH}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{HKB}=\widehat{DCH}$ hay $\widehat{BKH}$ = $\widehat{BCD}$.

Ta có: 3x³ − 5x² − x − 2 > 0

$\iff$3(x³ − 8) − 5 (x² − 4) − x + 2 > 0

$\iff$ 3(x − 2) (x² + 2x + 4) − 5 (x − 2) (x + 2) – (x – 2) > 0

$\iff$ (x – 2) (3x² + 6x + 12 – 5x – 10 – 1) > 0

$\iff$(x – 2) (3x² + x + 1) > 0 (*)

Ta có: 3x² + x + 1 = 3$\left(x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{3}\right)$ = 3$\left[{\left(x+\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{11}{36}\right]$ > 0, ∀x

Vậy (*) $\iff$ x – 2 > 0 $\iff$ x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x | x > 2}.