$A=\frac{x+2}{x+5}+\frac{-5x-1}{x^2+6x+5}-\frac{1}{1+x}$;

$B=\frac{-10}{x-4}$ với x ≠ − 5, x ≠ − 1, x ≠ 4.

a) $A=\frac{x+2}{x+5}+\frac{-5x-1}{x^2+6x+5}-\frac{1}{1+x}$ (với x ≠ − 5, x ≠ − 1)

$=\frac{x+2}{x+5}+\frac{-5x-1}{(x+1)(x+5)}-\frac{1}{1+x}$

$=\frac{(x+2)(x+1)}{(x+1)(x+5)}+\frac{-5x-1}{(x+1)(x+5)}-\frac{x+5}{(x+1)(x+5)}$

$=\frac{x^2+3x+2-5x-1-x-5}{(x+1)(x+5)}$

$=\frac{x^2-3x-4}{(x+1)(x+5)}=\frac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x+5)}=\frac{x-4}{x+5}$.

Vậy $A=\frac{x+2}{x+5}+\frac{-5x-1}{x^2+6x+5}-\frac{1}{1+x}=\frac{x-4}{x+5}$.

b) Thay x = 2 (TMĐK) vào biểu thức B, ta có:

$B=\frac{-10}{x-4}=\frac{-10}{2-4}=\frac{-10}{-2}=5$.

Vậy tại x = 2, giá trị của biểu thức B bằng 5.

c) Ta có: $P=A.B=\frac{x-4}{x+5}.\frac{-10}{x-4}=\frac{-10}{x+5}$.

Để biểu thức P nhận giá trị nguyên hay $\frac{-10}{x+5}\in \mathbb{Z}$ thì:

x + 5 ∈ Ư(10) = {± 1; ± 2; ± 5; ± 10}.

Ta có bảng sau:

Vậy với $x\in \{-15;-10;-7;-6;-4;-3;0;5\}$ thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.

 a) $\frac{1}{x-1}-\frac{2}{2-x}=\frac{5}{(x-1)(x-2)}$

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ 2-x\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 2\end{array}$

Phương trình đã cho tương đương:

$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{5}{(x-1)(x-2)}$

$\iff \frac{x-2}{(x-1)(x-2)}+\frac{2(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{5}{(x-1)(x-2)}$

$\Rightarrow$ x – 2 + 2(x – 1) = 5

Û x – 2 + 2x – 2 = 5

Û 3x – 4 = 5

Û 3x = 9

Û x = 3 (TMĐK).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3}.

b) |x – 3| = 9 – 2x

• Với x ≥ 3, ta có:

|x – 3| = 9 – 2x

Û x – 3 = 9 – 2x

Û x + 2x = 9 + 3

Û 3x = 12

Û x = 4 (TMĐK).

• Với x < 3, ta có:

|x – 3| = 9 – 2x

Û x – 3 = 2x – 9

Û 2x – x = 9 – 3

Û x = 6 (không TMĐK).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {4}.

c) $\frac{x-5}{5}\le \frac{x-7}{3}$

$\iff \frac{3(x-5)}{15}\le \frac{5(x-7)}{15}$

Û 3(x – 5) ≤ 5(x – 7)

Û 3x – 15 ≤ 5x – 35

Û 3x – 5x ≤ 15 – 35

Û – 2x ≤ – 20

Û x ≥ 10.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = {x | x ≥ 10}.

Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân) (x nguyên dương).

Số công nhân xí nghiệp II trước kia là $\frac{4}{3}x$ (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x + 40 (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: $\frac{4}{3}x+80$ (công nhân).

Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình:

$\frac{x+40}{8}=\frac{\frac{4}{3}x+80}{11}$

$\iff 11(x+40)=8(\frac{4}{3}x+80)$

$\iff 11x-\frac{32}{3}x=640-440$

$\iff \frac{1}{3}x=200$

Û x = 600 (TMĐK).

Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: $\frac{4}{3}.600+80=880$ (công nhân).

a)Xét ∆CED và ∆CAB có:

$\widehat{CED}=\widehat{CAB}={90}^o$ (vì $AC\perp DE$)

$\widehat{C}$ chung

Do đó ∆CED  ∆CAB (g.g).

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Vì ∆CED ∆CAB (cmt) nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$.

Khi đó: $\frac{DE}{9}=\frac{CD}{15}\Rightarrow \frac{CD}{DE}=\frac{5}{3}$.

Vậy $\frac{CD}{DE}=\frac{5}{3}$.

c) Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.

Khi đó $\frac{BD}{CD}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\Rightarrow BD=\frac{45}{7}$.

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.9.12=54$ (cm²).

Mặt khác:$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}=\frac{3}{7}$

$\Rightarrow S_{ABD}=\frac{3}{7}{S}_{ABC}=\frac{3}{7}.54=\frac{162}{7}$ (cm²).

Vậy diện tích tam giác ABD là $\frac{162}{7}$ cm².

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

V = 5 . 4 . 3 = 60 (cm³).

Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là 60 cm³.