Đề kiểm tra Cấp số cộng lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có \(n + 2\) số hạng với \({u_1} =  - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23.\)

Khi đó $u_{n+2}=u_1+\left(n+1\right)d\iff n+1=\frac{u_{n+2}-u_1}{d}=\frac{23-\left(-3\right)}{2}=13\iff n=12\underset{}{\to }A$

Chọn B

Ta có \[{u_{21}} = {u_1} + 20d\]\[ \Rightarrow d = \frac{{{u_{21}} - {u_1}}}{{20}}\]\[ = \frac{{50 - 10}}{{20}} = 2\].

Chọn B

Ta có: \({u_2} = {u_1} + d \Rightarrow d =  - 3\)

Khi đó \[{u_{10}} = {u_1} + 9d \Leftrightarrow {u_{10}} = 4 + 9.( - 3) \Leftrightarrow {u_{10}} =  - 23\].

a) Đặt: \({u_1} = - 1;{u_2} = 2;{u_3} = 5;{u_4} = 8;{u_5} = 11;{u_6} = 14;{u_7} = 17\).

Ta có: \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = {u_5} - {u_4} = {u_6} - {u_5} = {u_7} - {u_6} = 3\).

Vậy dãy số hưu hạn đã cho là một cấp số cộng.

b) Công sai cấp số cộng là \(d = 3\).

Với \({u_1} = - 1,n = 7,d = 3\) thì \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = \frac{{7[2( - 1) + 6.3]}}{2} = 56\).

a) Ta có: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = \frac{3}{2} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\).

b) Xét \(5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}\); suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) Xét \(\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};\) suy ra \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là:

\({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + (100 - 1) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.{\rm{ }}\)

a) b) Ta có: \({a_{n + 1}} - {a_n} = 4(n + 1) - 3 - (4n - 3) = 4,\forall n \ge 1\).

Do đó \(\left( {{a_n}} \right)\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1} = 4 \cdot 1 - 3 = 1\) và công sai \(d = 4\).

c) Ta có: \({b_{n + 1}} - {b_n} = \frac{{2 - 3(n + 1)}}{4} - \frac{{2 - 3n}}{4} = \frac{{2 - 3n - 3 - 2 + 3n}}{4} = - \frac{3}{4},\forall n \ge 1\).

Suy ra: \(\left( {{b_n}} \right)\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({b_1} = \frac{{2 - 3.1}}{4} = - \frac{1}{4}\) và công sai \(d = - \frac{3}{4}\)

d) Ta có: \({c_{n + 1}} - {c_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1\) (phụ thuộc vào giá trị của \(n\)).

Suy ra \(\left( {{c_n}} \right)\) không phải là một cấp số cộng.

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có: \(x = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = 2\) và \(6 = \frac{{x + y}}{2}\).

\({\rm{ V\`i }}x = 2{\rm{ n\^e n }}6 = \frac{{2 + y}}{2} \Rightarrow y = 10.\)

Vậy \({\rm{ }}P = y - x = 8\)

Vậy \({\rm{ }}P = {x^2} + {y^2} = {2^2} + {10^2} = 104.\)

Do ba số \(\frac{1}{{b + c}},\frac{1}{{c + a}},\frac{1}{{a + b}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(\frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} = \frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}} \Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}}\).

\( \Rightarrow 2{b^2} = {a^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} - {a^2} = {c^2} - {b^2}\). Suy ra ba số \({a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng với \(n = 20\) và \(d = 3\) ta có

\(650 = {S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left[ {2{u_1} + (20 - 1)3} \right].\)

Suy ra \({u_1} = 4\).

Từ \(2x,3x + 2,5x + 3\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ta suy ra

\(2x + (5x + 3) = 2(3x + 2) \Leftrightarrow x = 1.\)

Thử lại, ta có ba số tìm được là \(2,5,8\) thoả mãn bài toán. Vậy \(x = 1\).

Áp dụng công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng ta có

\(702 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 78 + (n - 1)( - 4)]\)

Suy ra \(n = 13\), tức là ta cần lấy 13 số hạng đầu.

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông; ...; lúc \(12\;h\) trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là: \(S = (1 + 2 + 3 + \ldots + 12) + 1.11 = 89\)

Tổng số khúc gỗ được xếp là: \(15 + 16 + \ldots + 21 = \frac{{(21 + 15) \cdot 7}}{2} = 126\).