Đề kiểm tra Cấp số cộng lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

Gỉa sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi đó ta có:

\({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\),\({x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\) \( \Leftrightarrow {x_2} = 0\).

Thay \({x_2} = 0\) vào phương trình \(b = 0\). Ta có: \(b = 0\) \( \Rightarrow {x^3} + ax = 0\) \( \Rightarrow a < 0.\)

\( \Rightarrow b = 0,a < 0\) thỏa mãn.

Chọn D

Ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\), theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

\(a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right)\)\( \ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}}  + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}} \)\( = 12\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}\\{25^x} = {25^{ - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Như vậy nếu xét \(a \in \left[ {0;2018} \right]\) thì ta nhận \(a \in \left[ {12;2018} \right]\). Có \(2007\) số \(a\) thoả đề.

Chọn C

Ta có: \({u_n} = 1 - 3n\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1 - 3.1 =  - 2\\{u_{10}} = 1 - 3.10 =  - 29\end{array} \right.\).

Áp dụng công thức: \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{10\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} =  - 155\).

Ta có: \({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6\).

Vậy \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = - 3 + (n - 1) \cdot 6 = - 9 + 6n\)

\({S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}[2 \cdot ( - 3) + 84 \cdot 6] = 21165\)

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_7} = 77}\\{{S_{12}} = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{7}{2}\left( {2{u_1} + 6d} \right) = 77}\\{\frac{{12}}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right) = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7{u_1} + 21d = 77}\\{12{u_1} + 66d = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 5}\\{d = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Khi đó: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + 2(n - 1) = 3 + 2n\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot ( - 7) = - 7n + 12\)

a) Ta có: \({u_{11}} = - 7.11 + 12 = - 65\).

b) \({u_5} + {u_7} = - 60\)

c) Ta có: \( - 849 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 123\).

d) Ta có \( - 114 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 18\)

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 15}\\{{u_1} + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 2d = 15}\\{2{u_1} + 5d = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 21}\\{d = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Suy ra \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 21 + (n - 1).( - 3) = - 3n + 24\)

Vậy \({u_{11}} = - 9\)

Ta có \( - 6048 = - 3n + 24 \Rightarrow n = 2024\)

Ba số \(10 - 3x,2{x^2} + 3,7 - 4x\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi

\(\left( {2{x^2} + 3} \right) - (10 - 3x) = (7 - 4x) - \left( {2{x^2} + 3} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{{ - 11}}{4}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = ( - 2n + 3) - [ - 2(n - 1) + 3] = - 2\), với mọi \(n \ge 2\)

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1} = 1\) và công sai bằng \(d = - 2\)

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = (4n - 3) - [4(n - 1) - 3] = 4\), với mọi \(n \ge 2\)

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1} = 1\) và công sai bằng \(d = 4\)

Số hạng tổng quát: \({u_n} = 1 + 4(n - 1)\)

Giá của chiếc xe sau n năm là: \({u_n} = 680 - 55(n - 1)\)

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: \({u_5} = 680 - 55(5 - 1) = 460\)

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1200\), công sai \[d = 30\]

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: \({u_n} = 1200 + 30(n - 1)\)

Dân số của năm 2030 tức \(n = 11;{u_{11}} = 1200 + 30(11 - 1) = 1500\)

Áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng với

\(\begin{array}{l}{S_n} = 319200,{u_1} = 35000,d = 1400,\\319200 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 35000 + (n - 1) \cdot 1400].\end{array}\)

Suy ra \(n = 8\).

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la.