Đề kiểm tra Cấp số cộng lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({S_n} = {n^2} + 4n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng đó là:
\({u_1} = 3,d = 2\).
\({u_1} = 5,d = 2\).
\({u_1} = 8,d = - 2\).
\({u_1} = - 5,d = 2\).
Chọn B
Biết các số \(C_n^1;{\rm{ }}C_n^2;{\rm{ }}C_n^3\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với \(n > 3.\) Tìm n.
\(n = 5.\)
\(n = 7.\)
\(n = 9.\)
\(n = 11.\)
Chọn B
Ba số \(C_n^1;{\rm{ }}C_n^2;{\rm{ }}C_n^3\) theo thứ tự \({u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}\) lập thành cấp số cộng nên
\({u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2\,\,\left( {n \ge 3} \right) \Leftrightarrow n + \frac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{6} = 2.\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\)
\( \Leftrightarrow 1 + \frac{{{n^2} - 3n + 2}}{6} = n - 1 \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 14 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 7\,\left( {n \ge 3} \right).\)
Nhận xét: Nếu \({u_{k - 1}},\,\,{u_k},\,\,{u_{k + 1}}\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 - 2n\) thì \({S_{60}}\) bằng
\( - 6960\).
\( - 117\).
đáp án khác.
\( - 116\).
Chọn C
Ta có \({u_{n + 1}} = 1 - 2n\), Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = - 2\). Vậy \({S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = - 3840\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]thỏa mãn \[{u_1} = 4,\,\,{u_3} = 10.\]Công sai của cấp số cộng bằng
\(6.\).
\( - 6.\).
\(3.\).
\( - 3.\)
Chọn C
Gọi \(d\)là công sai của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\].
Ta có \[{u_1} = 4,\;{u_3} = 10\]suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_1} + 2d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = 3\end{array} \right.\).
Vậy công sai của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]là \(d = 3.\).
Cho cấp số cộng có \({u_1} = - 3,\,d = 4\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
\({u_5} = 15\).
\({u_4} = 8\).
\({u_3} = 5\).
\({u_2} = 2\).
Chọn C
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1,\,\,d = 4\). Tìm số hạng \({u_{12}}\).
\({u_{12}} = 31\).
\({u_{12}} = 13\).
\({u_{12}} = 45\).
\({u_{12}} = 17\).
Chọn C
Ta có: \[{u_{12}} = {u_1} + 11d = 45\].
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\), \(d = 3\). Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là
20.
21.
19.
23.
Chọn A
Ta có: số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_7} = 2 + 6.3 = 20\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng đầu \({u_1} = - 5\)và công sai \(d = 3\). Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
15.
20.
35.
36.
Chọn D
Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 100 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3 \Leftrightarrow 100 = 3n - 8 \Leftrightarrow n = 36\).
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên \(k\) sao cho \(C_{14}^k\), \(C_{14}^{k + 1}\), \(C_{14}^{k + 2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).
\[8\].
\[6\].
\[10\].
\[12\].
Chọn D
Ta có \[C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) = 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right)\)
\( \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\\k = 4\end{array} \right.\).
Phương trình \({x^3} + ax + b = 0\) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
\(b = 0,\)\(a < 0\).
\(b = 0,\)\(a = 1\).
\(b = 1,\)\(a = - 2\).
\(b = - 2,\)\(a = 1\).
Chọn A
Gỉa sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi đó ta có:
\({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\),\({x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\) \( \Leftrightarrow {x_2} = 0\).
Thay \({x_2} = 0\) vào phương trình \(b = 0\). Ta có: \(b = 0\) \( \Rightarrow {x^3} + ax = 0\) \( \Rightarrow a < 0.\)
\( \Rightarrow b = 0,a < 0\) thỏa mãn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(a\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2018} \right]\) sao cho ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?
\(2008\).
\(2006\).
\(2018\).
\(2007\).
Chọn D
Ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\), theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
\(a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right)\)\( \ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}} + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}} \)\( = 12\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}\\{25^x} = {25^{ - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).
Như vậy nếu xét \(a \in \left[ {0;2018} \right]\) thì ta nhận \(a \in \left[ {12;2018} \right]\). Có \(2007\) số \(a\) thoả đề.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), \(n \in {\mathbb{N}^*}\) có số hạng tổng quát \({u_n} = 1 - 3n\). Tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng
\[ - 59048\].
\[ - 59049\].
\[ - 155\].
\[ - 310\].
Chọn C
Ta có: \({u_n} = 1 - 3n\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1 - 3.1 = - 2\\{u_{10}} = 1 - 3.10 = - 29\end{array} \right.\).
Áp dụng công thức: \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{10\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = - 155\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết rằng: \({u_1} = - 3,{u_6} = 27\), khi đó:
a) Công sai của cấp số cộng bằng \(7\)
b) Số hạng \({u_{85}} = 501\)
c) Số hạng \({u_{10}} = 52\)
d) Tổng của 85 số hạng đầu \({S_{85}} = 21165\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6\).
Vậy \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = - 3 + (n - 1) \cdot 6 = - 9 + 6n\)
\({S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}[2 \cdot ( - 3) + 84 \cdot 6] = 21165\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của nó. Biết \({S_7} = 77\) và \({S_{12}} = 192\). Khi đó:
a) Số hạng \({u_1} = 5\)
b) Tổng \({u_1} + {u_3} = 14\)
c) Công sai của cấp số cộng bằng \(3\)
d) Số hạng \({u_{11}} = 25\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_7} = 77}\\{{S_{12}} = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{7}{2}\left( {2{u_1} + 6d} \right) = 77}\\{\frac{{12}}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right) = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7{u_1} + 21d = 77}\\{12{u_1} + 66d = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 5}\\{d = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).
Khi đó: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + 2(n - 1) = 3 + 2n\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\) và \(d = - 7\). Khi đó
a) \({u_{11}} = - 65\)
b) \({u_5} + {u_7} = - 50\)
c) Số -849 là số hạng thứ 123 của cấp số cộng
d) Số \( - 114\) là số hạng thứ 18 của cấp số cộng
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot ( - 7) = - 7n + 12\)
a) Ta có: \({u_{11}} = - 7.11 + 12 = - 65\).
b) \({u_5} + {u_7} = - 60\)
c) Ta có: \( - 849 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 123\).
d) Ta có \( - 114 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 18\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array}} \right.\). Khi đó
a) Số hạng \({u_1} = 21\)
b) Công sai của cấp số cộng bằng \( - 2\)
c) Số hạng \({u_{11}} = - 9\)
d) Số \( - 6048\) là số hạng thứ \(2024\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 15}\\{{u_1} + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 2d = 15}\\{2{u_1} + 5d = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 21}\\{d = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).
Suy ra \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 21 + (n - 1).( - 3) = - 3n + 24\)
Vậy \({u_{11}} = - 9\)
Ta có \( - 6048 = - 3n + 24 \Rightarrow n = 2024\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm \(x\) để ba số \(10 - 3x,2{x^2} + 3,7 - 4x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Ba số \(10 - 3x,2{x^2} + 3,7 - 4x\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi
\(\left( {2{x^2} + 3} \right) - (10 - 3x) = (7 - 4x) - \left( {2{x^2} + 3} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{{ - 11}}{4}}\end{array}} \right.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 2n + 3\). Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = ( - 2n + 3) - [ - 2(n - 1) + 3] = - 2\), với mọi \(n \ge 2\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1} = 1\) và công sai bằng \(d = - 2\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 4n - 3\). Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát \({u_n}\) dưới dạng \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = (4n - 3) - [4(n - 1) - 3] = 4\), với mọi \(n \ge 2\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1} = 1\) và công sai bằng \(d = 4\)
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 1 + 4(n - 1)\)
Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Giá của chiếc xe sau n năm là: \({u_n} = 680 - 55(n - 1)\)
Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: \({u_5} = 680 - 55(5 - 1) = 460\)
Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.
Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1200\), công sai \[d = 30\]
Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: \({u_n} = 1200 + 30(n - 1)\)
Dân số của năm 2030 tức \(n = 11;{u_{11}} = 1200 + 30(11 - 1) = 1500\)
Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?
Áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng với
\(\begin{array}{l}{S_n} = 319200,{u_1} = 35000,d = 1400,\\319200 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 35000 + (n - 1) \cdot 1400].\end{array}\)
Suy ra \(n = 8\).
Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la.
