Bài tập Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

b – a = c – b ⇔ (b – a)² = (c – b)²

⇔ b² – 2ab + a² = c² – 2bc + b²

⇔ a² – c² = 2ab – 2bc.

Đáp án đúng là: C

Ta có 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

b – a = c – b ⇔ (b – a)² = (c – b)²

⇔ b² – 2ab + a² = c² – 2bc + b²

⇔ a² – c² = 2ab – 2bc

⇔ a² + c² = 2c² + 2ab – 2bc

⇔ a² + c² = 2ab + 2c(c – b)

⇔ a² + c² = 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.

Đáp án đúng là: B

Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

a + c = 2b ⇔ – 2(a + c) = – 2.2b

                  ⇔ (– 2a) + (– 2c) = 2.(– 2b)

                 ⇔ – 2c, –2b, –2a lập thành một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c = 2b ⇔  a = 2b – c

Ta có: a² – 2ab = a² – a(a + c) = – ac

              = – c(2b – c) = c² – 2bc.

Vậy a² − 2ab = c² − 2bc ; a² − 2ab = − ac và − ac = c² − 2bc.

Đáp án đúng là: C

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b ⇔ a = 2b – c

Khi đó: a² + 8bc = (2b – c)² + 8bc = 4b² – 4bc + c² + 8bc

= 4b² + 4bc + c² = (2b + c)².

Đáp án đúng là: A

Ta chứng minh ba số: a² + ab + b²; a² + ac + c² ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Thật vậy:

(a² + ab + b²) + (b² + bc + c²) = 2(a² + ac + c²)        (*)

⇔ 2b² + ab + bc = a² + 2ac + c²

⇔ 2b² + b(a + c) = (a + c)²

⇔ 2b² + 2b² = (2b)²

⇔ 4b² = 4b² (luôn đúng) nên (*) đúng.

Do đó ba số: a² + ab + b²; a² + ac + c² ; b² + bc + c² theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Do \(\cot \frac{A}{2},\,\cot \frac{B}{2},\,\cot \frac{C}{2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

\(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2} = 2\cot \frac{B}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} = 2\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \left[ {\cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)} \right] \cdot \cos \frac{B}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}\)  

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\sin B\]

\[ \Leftrightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{1}{2}(\sin A + \sin C) \Leftrightarrow 2\sin {\rm{B}} = \sin {\rm{A}} + \sin {\rm{C}} \,\, (*)\]

Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra:

\[\sin {\rm{A}} = \frac{a}{{2R}}\,;\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}}\,;\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\] thay vào (*) ta được:

\[2 \cdot \frac{b}{{2R}} = \frac{a}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} \Leftrightarrow 2\;{\rm{b}} = {\rm{a}} + {\rm{c}}\]

Do đó, ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.

Đáp án đúng là: A

Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:

t – x = 2d và z – y = d

⇒ t – x = 2(z – y) ⇔ (t – x)² = 4( z – y)²

⇔ t² – 2tx + x² = 4(z² – 2zy+ y²)

⇔ t² – 2tx + x² = 4z² – 8zy + 4y²

⇔ t² − 2(x+3d). x + x² = 4z² − 8(x + 2d).(x + d) + 4y²

⇔ t² – 2x² – 6dx + x² = 4z² – 8x² – 24dx – 16d + 4y²

⇔ t² – x² – 6dx = 4z² – 8x² – 24dx – 16d + 4y²

⇔ t² + 7x² + 18dx = 4z² – 16d + 4y²

Đáp án đúng là: C

Do x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:

y + 3 = (x + 1) + d ⇔ y + 2 = x + d.

Đáp án đúng là: C

Do x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

x – 1 + z = 2(y + 1) ⇔ x + z – 1 = 2y + 2

⇔ z = 2y – x + 3.