Bài tập Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
a2 + c2 = 2ab + 2bc;
a2 – c2 = 2ab – 2bc;
a2 + c2 = 2ab – 2bc;
a2 – c2 = ab – bc;
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b – a = c – b ⇔ (b – a)2 = (c – b)2
⇔ b2 – 2ab + a2 = c2 – 2bc + b2
⇔ a2 – c2 = 2ab – 2bc.
a2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ac;
a2 – c2 = 2ab + 2bc – 2ac;
a2 + c2 = 2ab + 2bc – 2ac;
a2 – c2 = 2ab – 2bc + 2ac.
Đáp án đúng là: C
Ta có 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b – a = c – b ⇔ (b – a)2 = (c – b)2
⇔ b2 – 2ab + a2 = c2 – 2bc + b2
⇔ a2 – c2 = 2ab – 2bc
⇔ a2 + c2 = 2c2 + 2ab – 2bc
⇔ a2 + c2 = 2ab + 2c(c – b)
⇔ a2 + c2 = 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.
2b2, a, c2;
–2c, –2b, –2a;
2b, a, c;
2b, –a, –c.
Đáp án đúng là: B
Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
a + c = 2b ⇔ – 2(a + c) = – 2.2b
⇔ (– 2a) + (– 2c) = 2.(– 2b)
⇔ – 2c, –2b, –2a lập thành một cấp số cộng.
a2 – 2ab = c2 – 2bc;
a2 – 2ab = ac;
– ac = c2 – 2bc;
a2 + 2bc = c2 – 2ab.
Đáp án đúng là: D
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c = 2b ⇔ a = 2b – c
Ta có: a2 – 2ab = a2 – a(a + c) = – ac
= – c(2b – c) = c2 – 2bc.
Vậy a2 − 2ab = c2 − 2bc ; a2 − 2ab = − ac và − ac = c2 − 2bc.
a2 + 8bc = (2a + c)2;
a2 + 8bc = 4a2 + c2 + b2;
a2 + 8bc = (2b + c)2;
a2 + 8bc = (b + c)2.
Đáp án đúng là: C
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b ⇔ a = 2b – c
Khi đó: a2 + 8bc = (2b – c)2 + 8bc = 4b2 – 4bc + c2 + 8bc
= 4b2 + 4bc + c2 = (2b + c)2.
a2 + ab + b2; a2 + ac + c2; b2 + bc + c2;
a2 + b2; a2 + c2, b2 + c2;
a2 + ab + bc; b2 + bc + ab; c2 + bc + c2;
A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Ta chứng minh ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2 ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Thật vậy:
(a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2) = 2(a2 + ac + c2) (*)
⇔ 2b2 + ab + bc = a2 + 2ac + c2
⇔ 2b2 + b(a + c) = (a + c)2
⇔ 2b2 + 2b2 = (2b)2
⇔ 4b2 = 4b2 (luôn đúng) nên (*) đúng.
Do đó ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
a2 = bc;
b = a + c;
ab = ac + bc;
2b = a + c.
Đáp án đúng là: D
Do \(\cot \frac{A}{2},\,\cot \frac{B}{2},\,\cot \frac{C}{2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
\(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2} = 2\cot \frac{B}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{{\cos \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}} = 2 \cdot \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} = 2\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \left[ {\cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)} \right] \cdot \cos \frac{B}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{B}{2}\)
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin B = \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\sin B\]
\[ \Leftrightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{1}{2}(\sin A + \sin C) \Leftrightarrow 2\sin {\rm{B}} = \sin {\rm{A}} + \sin {\rm{C}} \,\, (*)\]
Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra:
\[\sin {\rm{A}} = \frac{a}{{2R}}\,;\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}}\,;\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\] thay vào (*) ta được:
\[2 \cdot \frac{b}{{2R}} = \frac{a}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} \Leftrightarrow 2\;{\rm{b}} = {\rm{a}} + {\rm{c}}\]
Do đó, ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.
t2 + 7x2 + 18dx = 4z2 – 16d + 4y2;
t2 + 7x2 – 18dx = 4z2 – 16d + 4y2;
t2 + 7x2 + 18dx = 4z2 – 16d – 4y2;
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:
t – x = 2d và z – y = d
⇒ t – x = 2(z – y) ⇔ (t – x)2 = 4( z – y)2
⇔ t2 – 2tx + x2 = 4(z2 – 2zy+ y2)
⇔ t2 – 2tx + x2 = 4z2 – 8zy + 4y2
⇔ t2 − 2(x+3d). x + x2 = 4z2 − 8(x + 2d).(x + d) + 4y2
⇔ t2 – 2x2 – 6dx + x2 = 4z2 – 8x2 – 24dx – 16d + 4y2
⇔ t2 – x2 – 6dx = 4z2 – 8x2 – 24dx – 16d + 4y2
⇔ t2 + 7x2 + 18dx = 4z2 – 16d + 4y2
x + d = y;
x + d = y + 1;
x + d = y + 2;
x + d = y – 2.
Đáp án đúng là: C
Do x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:
y + 3 = (x + 1) + d ⇔ y + 2 = x + d.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
z = 2x – y + 3;
z = 2y + x – 5;
z = 2y – x + 3;
z = 2x – y + 1.
Đáp án đúng là: C
Do x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
x – 1 + z = 2(y + 1) ⇔ x + z – 1 = 2y + 2
⇔ z = 2y – x + 3.
a + b = 2c.
a + c = 2b.
b + c = 2a.
a + c = b.
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số công nên \(b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\).
u1 + u10 = u2 + u9.
u1 + u10 = u2 + u8.
u1 + u10 = u3 + u6.
u1 + u10 = u4 + u5.
Đáp án đúng là: A
u1 + u10 = u2 – d + u9 + d = u2 + u9.
9.
12.
6.
4.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(x = \frac{{ - 3 + 15}}{2} = 6\).
20.
15.
10.
25.
Đáp án đúng là: B
Có u5 + u15 = u10 – 5d + u10 + 5d = 2u10 \( \Rightarrow {u_{10}} = \frac{{30}}{2} = 15\).
30.
42.
36.
24.
Đáp án đúng là: C
Giả sử phương trình có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng.
Theo tính chất ba số hạng của cấp số cộng, ta có: x1 + x3 = 2x2.
Theo định lý Vi-ét dành cho phương trình bậc ba, \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{{ - 12}}{1} = 12\).
Thay hệ thức đối xứng x1 + x3 = 2x2 vào biểu thức tổng nghiệm, ta thu được:
3x2 = 12 ⇔ x2 = 4.
Vì x2 = 4 là một nghiệm của phương trình nên 43 – 1242 + 414 – m = 0 ⇔ m = 36.
(x – 1) + (x + 5) = 24.
Giá trị của số thực x tìm được bằng \(3\).
Bộ ba số hạng cụ thể của cấp số cộng này sau khi tìm được x là 1; 4; 7.
Tổng 3 số hạng này là 12.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì x – 1; 4; x + 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên
(x – 1) + (x + 5) = 24.
b) Sai. Có (x – 1) + (x + 5) = 24 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.
c) Đúng. Với x = 2, ta có bộ 3 số là 1; 4; 7.
d) Đúng. Tổng: 1 + 4 + 7 = 12.
\({u_1} + {u_{20}} = 50\).
u7 + u14 = 50.
Nếu u11 = 25 thì u10 = 25.
u1 + 19d = 50.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. u3 + u18 = u1 + 2d + u20 – 2d = u1 + u20 = 50.
b) Đúng. u3 + u18 = u7 − 4d + u14 + 4d = u7 + u14 = 50.
c) Đúng. u3 + u18 = u11 – 8d + u10 + 8d = u11 + u10 = 50 mà u11 = 25 nên u10 = 25.
d) Sai. u3 + u18 = u1 + 2d + u1 + 17d = 2u1 + 19d = 50.
b – a = c – b
Bộ 3 số a2; b2; c2 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
Bộ ba số a + 3; b + 3; c + 3 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
(a – c)2 = 4(b2 – ac).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ba số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên b – a = c – b = d.
b) Sai. Ví dụ ba số 1; 2; 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nhưng 1; 4; 9 không lập thành cấp số cộng.
c) Đúng. b + 3 – (a + 3) = b – a = d;
c + 3 – (b + 3) = c – b = d.
Do đó bộ ba số a + 3; b + 3; c + 3 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
d) Đúng. Ta có a + c = 2b => a2 + 2ac + c2 = 4b2 ⇔ (a – c)2 + 4ac = 4b2
⇔ (a – c)2 = 4b2 – 4ac ⇔ (a – c)2 = 4(b2 – ac).
Hệ thức liên hệ giữa ba góc là α + γ = 2β.
\(\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \beta \).
\(\tan \alpha \cdot \tan \gamma = {\tan ^2}\beta \).
\(\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \beta \cdot \cos (\alpha - \beta )\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Do ba số góc α; β; γ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên α + γ = 2β.
b) Sai. \(\sin (\alpha + \gamma ) \ne \sin \alpha + \sin \gamma \) nên \(\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \beta \) sai.
c) Sai. Có \(\tan 2\beta = \tan \left( {\alpha + \gamma } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }}\).
d) Đúng. \(\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \left( {\frac{{\alpha + \gamma }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha - \gamma }}{2}} \right)\)
Từ ý a ta có \(\frac{{\alpha + \gamma }}{2} = \beta \). Mặt khác, từ \(\alpha + \gamma = 2\beta \Rightarrow \gamma = 2\beta - \alpha \).
Khi đó \(\frac{{\alpha - \gamma }}{2} = \frac{{\alpha - (2\beta - \alpha )}}{2} = \frac{{2\alpha - 2\beta }}{2} = \alpha - \beta \).
Do đó \(\sin \alpha + \sin \gamma = 2\sin \beta \cdot \cos (\alpha - \beta )\).
\({u_3} = 5\).
\({u_2} = 5 - d\).
\(2{d^2} = 20\).
\({u_1} = 3\) và \(d = 2\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. \({u_1} + {u_5} = 2{u_3} \Leftrightarrow 10 = 2{u_3} \Rightarrow {u_3} = 5\).
b) Đúng. \({u_2} = {u_3} - d = 5 - d\).
c) Sai. Thay \({u_2} = 5 - d\) và \({u_4} = 5 + d\) vào phương trình \(u_2^2 + u_3^2 = 58\) ta được \({(5 - d)^2} + {(5 + d)^2} = 58 \Leftrightarrow 50 + 2{d^2} = 58 \Leftrightarrow 2{d^2} = 8\).
d) Sai. \(2{d^2} = 8 \Leftrightarrow {d^2} = 4 \Rightarrow d = 2\) hoặc \(d = - 2\).
Vì đề bài yêu cầu các số hạng nguyên dương (dãy tăng) nên ta chọn \(d = 2\).
Suy ra u1 = u3 – 2d = 5 – 22 = 1.
Đáp án: 9
\(x = \frac{{ - 5 + 23}}{2} = \frac{{18}}{2} = 9.\)
Đáp án: 4
Ta có \((2x - 3) + (3x + 5) = 2 \cdot 11\)
⇔\(5x + 2 = 22 \Leftrightarrow 5x = 20 \Leftrightarrow x = 4.\)
Đáp án: 80
\({u_1} + {u_{20}} = {u_4} + {u_{17}} = 80\).
Đáp án: 40
Có \({u_3} + {u_{17}} = 2{u_{10}}\quad {\rm{và }}\quad {u_6} + {u_{14}} = 2{u_{10}}\)
Khi đó \(({u_3} + {u_{17}}) + ({u_6} + {u_{14}}) = 160 \Leftrightarrow 2{u_{10}} + 2{u_{10}} = 160\)
\( \Leftrightarrow 4{u_{10}} = 160 \Leftrightarrow {u_{10}} = 40.\)
Đáp án: 12
Ta có \((x + 1) + ({x^2} + 2) = 2(2x + 3)\)
⇔\({x^2} + x + 3 = 4x + 6 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 3 = 0\) có = 21 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.
Do đó theo định lý viet có x1 + x2 = 3.
Do đó \(P = 4 \cdot ({x_1} + {x_2})\) = 12.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
