Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
110;
–220;
220;
–110.
Đáp án đúng là: B
Cấp số cộng có công thức tổng quát cho số hạng thứ n là: un = – 4 + (– 4).(n – 1) .
Áp dụng công thức nên
Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
.
−565;
−530;
−652;
−285.
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết bài toán, ta có:
Tổng của 20 số hạng đầu:
120;
230;
150;
200.
Đáp án đúng là: B
Theo giả thiết thì u2 + u22 = 20
\(\Leftrightarrow \) u1 + d + u1 + 21d = 20
\(\Leftrightarrow \) 2u1 + 22d = 20.
Vậy \({S_{23}} = \frac{{23\left( {2{u_1} + 22d} \right)}}{2} = \frac{{23.20}}{2} = 230.\)
u1 = 16;
u1 = –16;
u1 = 8;
u1 = – 4.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({S_8} = 72 = \frac{{8\left( {{u_1} + {u_8}} \right)}}{2} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_8} = 18\) (1)
Lại có: u8 = u1 + 7d \(\Leftrightarrow \) u8 – u1 = 7d = –14 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_8} = 18}\\{{u_8} - {u_1} = - 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\{u_8} = 2\end{array} \right.\).
n(2n – 1);
n(n + 1);
\(\frac{{n\left( {2n + 1} \right)}}{2}\);
\[\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{2}\].
Ta có dãy số 2; 4; 6;… ; 2n − 2; 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 2.
Số hạng tổng quát: un= 2 + 2(n – 1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.
\[ \Rightarrow {S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 2} \right)}}{2} = n\left( {n + 1} \right)\].
\[S = \frac{9}{{246}}\] ;
\[S = \frac{4}{{23}}\];
\[S = \frac{1}{3}\];
\[S = \frac{{49}}{{246}}\].
Đáp án đúng là: D
Gọi d là công sai của cấp số đã cho.
Ta có: \[{S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24\,\,850\]
\[ \Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5\]
\[ \Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]
\[ = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]
\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\]
\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}\]
\[ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.\]
\[\frac{7}{2}\];
\[\frac{{13}}{2}\];
\[\frac{7}{2}\] hoặc \[\frac{{13}}{2}\];
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết ta có : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S_4} = 20}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {2{u_1} + 3d} \right) = 20 \,\, \left( 1 \right)}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]
Từ (1) suy ra : \[2{{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} = 10 \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 - \frac{3}{2}d\] thế vào (2) ta được
\[\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 2d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 3d}} = \frac{{25}}{{24}}\]\[ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 + \frac{3}{2}d}}} \right) + \left( {\frac{1}{{5 - \frac{d}{2}}} + \frac{1}{{5 + \frac{d}{2}}}} \right) = \frac{{25}}{{24}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{10}}{{25 - \frac{{9{d^2}}}{4}}} + \frac{{10}}{{25 - \frac{{{d^2}}}{4}}} = \frac{{25}}{{24}}\] (*)
Đặt \[t = \frac{{{d^2}}}{4}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\] khi đó phương trình (*) trở thành:
\[\frac{{10}}{{25 - 9t}} + \frac{{10}}{{25 - t}} = \frac{{25}}{{24}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {25 - t} \right) + 2\left( {25 - 9t} \right)}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{100 - 20t}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}}\]
\[ \Leftrightarrow 24\left( {20 - 4{\rm{t}}} \right) = \left( {25 - 9{\rm{t}}} \right)\left( {25 - t} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 9{{\rm{t}}^2} - 154{\rm{t}} + 145 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{145}}{9}}\\{t = 1}\end{array}} \right.\]
Với \[t = \frac{{145}}{9}\] thì \[{d^2} = \frac{{145}}{9} \Rightarrow d = \pm \frac{{\sqrt {145} }}{3}\].
+ Khi \[{\rm{d}} = \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{{\sqrt {145} }}{2}\]
+ Khi \[{\rm{d}} = - \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 + \frac{{\sqrt {145} }}{2}\]
Với t = 1 ⇒ d2 = 1 ⇔ d = ± 1.
+ Khi \[{\rm{d}} = 1 \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\]
+ Khi \[{\rm{d}} = - 1 \Rightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 + \frac{3}{2} = \frac{{13}}{2}\]
Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u1 thỏa mãn.
475;
500;
1 000;
750.
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết ta có:
\[{{\rm{u}}_4} + {{\rm{u}}_8} + {{\rm{u}}_{11}} + {{\rm{u}}_{17}} = 100\]
\[ \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 10\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 16\;{\rm{d}} = 100\]
\[ \Leftrightarrow 4{{\rm{u}}_1} + 36\;{\rm{d}} = 100 \Leftrightarrow 2{{\rm{u}}_1} + 18\;{\rm{d}} = 50\]
Do đó: \[{S_{19}} = \frac{{19\left( {2{u_1} + 18d} \right)}}{2} = \frac{{19.50}}{2} = 475\].
50;
150;
75;
100.
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết ta có:
u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300
\(\Leftrightarrow \) u1 + d + u1 + 2d + u1 + 6d + u1 + 9d + u1 +11d+ u1 + 16d = 300
\(\Leftrightarrow \) 6u1 + 45d = 300 ⇔ 2u1 + 15d = 100
Do đó: \[{{\rm{u}}_9} + {{\rm{u}}_8} = {{\rm{u}}_1} + 8\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} = 2{{\rm{u}}_1} + 15\;{\rm{d}} = 100.\]
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
63;
67;
75;
81.
Đáp án đúng là: B
Theo giả thiết ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} = 10}\\{{S_{10}} = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 4d = 10}\\{\frac{{10.\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 5}\end{array}} \right.} \right.\]
\Leftrightarrow
\begin{cases}
u_1+4d=10\\
2u_1+9d=1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
u_1=86\\
d=-19
\end{cases}
\]
Do đó, tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67.
\({S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\).
Sn = n(u1 + un).
\({S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2}\).
\({S_n} = \frac{{n({u_1} - {u_n})}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\({S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\).
420.
210.
195.
390.
Đáp án đúng là: B
\[{S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = 5 \cdot \left( {3 + 39} \right) = 5 \cdot 42 = 210.\]
660.
740.
1440.
1320.
Đáp án đúng là: A
\({S_{20}} = \frac{{20 \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right]}}{2} = 10 \cdot [2 \cdot \left( { - 5} \right) + 19 \cdot 4] = 660\).
14.
16.
15.
17.
Đáp án đúng là: B
Ta có \({S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 392 = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3} \right]}}{2}\)
\( \Leftrightarrow 784 = n \cdot \left[ {4 + 3n - 3} \right] \Leftrightarrow 784 = 3{n^2} + n \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 784 = 0\) ⇔ n = 16 (vì n ∈ ℕ*)
Vậy số lượng số hạng cần tìm là 16.
u1 = 1; d = 2.
u1 = 2; d = 1.
u1 = 3; d = 2.
u1 = 1; d = 3.
Đáp án đúng là: A
Lời giải chi tiết:
Ta có \({S_5} = \frac{{5 \cdot \left( {2{u_1} + 4d} \right)}}{2} = 5{u_1} + 10d = 25 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 5\);
\({S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 10{u_1} + 45d = 100 \Leftrightarrow 2{u_1} + 9d = 20\).
Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 2d = 5}\\{2{u_1} + 9d = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{u_1} + 4d = 10}\\{2{u_1} + 9d = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).
Công thức thu gọn của tổng n số hạng đầu tiên là \({S_n} = \frac{{23n - 3{n^2}}}{2}\).
Tổng của 3 số hạng đầu tiên là 21.
Tổng của 8 số hạng đầu tiên là 0.
Số hạng thứ 5 của cấp số cộng này là u5 = S5 - S4.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: \({S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 10 + \left( {n - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right]}}{2} = \frac{{n \cdot \left[ {20 - 3n + 3} \right]}}{2} = \frac{{23n - 3{n^2}}}{2}\).
b) Đúng. \({S_3} = \frac{{23 \cdot 3 - 3 \cdot {3^2}}}{2} = \frac{{69 - 27}}{2} = 21\).
c) Sai. \({S_8} = \frac{{23 \cdot 8 - 3 \cdot {8^2}}}{2} = \frac{{184 - 192}}{2} = - 4\).
d) Đúng. u5 = S5 - S4.
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng giá trị của tổng S1, tức là u1 = 3.
Tổng của hai số hạng đầu tiên của cấp số cộng có giá trị bằng S2 = 10.
Số hạng thứ hai của cấp số cộng được tính bằng công thức hiệu tổng u2 = S2 - S1 = 7.
Công sai d của cấp số cộng này nhận giá trị bằng 2.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta luôn có u1 = S1 => u1 = 212 + 1 = 3.
b) Đúng. S2 = 222 + 2 = 10.
c) Đúng. u2 = S2 - S1 = 10 - 3 = 7.
d) Sai. d = u2 - u1 = 7 - 3 = 4.
u1 + 3d = 15.
Từ dữ kiện bài cho, ta chưa thể xác định được duy nhất giá trị hằng số của công sai d.
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng này bắt buộc phải nhận giá trị bằng 0.
Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này chắc chắn nhận giá trị bằng 150.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có u4 = u1 + 3d = 15.
b) Đúng. \({S_7} = \frac{{7 \cdot \left( {2{u_1} + 6d} \right)}}{2} = 7\left( {{u_1} + 3d} \right) = 105 \Leftrightarrow {u_1} + 3d = 15\).
Vì hai dữ kiện đưa về cùng một phương trình một hệ nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Sai. Do hệ phương trình phụ thuộc vô số nghiệm nên số hạng đầu u1 có thể nhận giá trị thực bất kỳ, không bắt buộc phải bằng số 0.
d) Sai. Ta xét biểu thức tổng \({S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left[ {2{u_1} + 9d} \right]}}{2} = 5\left( {2{u_1} + 9d} \right)\).
Biểu thức tổng S3 viết theo số hạng đầu u1 và công sai d chưa rút gọn là 3u1 + 3d = 9.
Công sai d của cấp số cộng này có giá trị bằng 2.
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u1 = 1.
Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này có giá trị bằng 100.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \({S_3} = \frac{{3\left( {2{u_1} + 2d} \right)}}{2} = 3{u_1} + 3d = 9 \Leftrightarrow {u_1} + d = 3\).
b) Đúng. \({S_5} = \frac{{5\left( {2{u_1} + 4d} \right)}}{2} = 5{u_1} + 10d = 25 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 5\).
Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + d = 3}\\{{u_1} + 2d = 5}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{d = 2}\end{array}} \right.\).
c) Đúng. Theo câu b, u1 = 1.
d) Đúng. \({S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left[ {2 \cdot 1 + \left( {10 - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = 5 \cdot \left( {2 + 18} \right) = 5 \cdot 20 = 100.\)
Tỷ số giữa số hạng đầu tiên của cấp số cộng thứ nhất và cấp số cộng thứ hai bằng \(\frac{8}{{31}}\).
Tỷ số giữa hai số hạng đứng ở vị trí thứ mười một \(\frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}}\) bằng \(\frac{{{S_{21}}}}{{{A_{21}}}}\).
Tỷ số giữa số hạng thứ mười một của cấp số cộng thứ nhất và cấp số cộng thứ hai bằng \(\frac{4}{3}\).
Tỷ số giữa hai tổng Sn và An luôn nhận một hằng số cố định, không phụ thuộc vào số lượng số hạng n.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\frac{{{S_1}}}{{{A_1}}} = \frac{{{u_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{7 \cdot 1 + 1}}{{4 \cdot 1 + 27}} = \frac{8}{{31}}\).
b) Đúng. \(\frac{{{S_{21}}}}{{{A_{21}}}} = \frac{{21 \cdot \left( {{u_1} + 10{d_1}} \right)}}{{21 \cdot \left( {{v_1} + 10{d_2}} \right)}} = \frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}}\).
c) Đúng. \(\frac{{{S_{21}}}}{{{A_{21}}}} = \frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}} = \frac{{7 \cdot 21 + 1}}{{4 \cdot 21 + 27}} = \frac{{148}}{{111}} = \frac{4}{3}.\)
d) Sai. \(\frac{{{S_n}}}{{{A_n}}} = \frac{{7n + 1}}{{4n + 27}}\) tỉ số này thay đổi liên tục, phụ thuộc vào n.
Đáp án: 510
\({S_{15}} = \frac{{15 \cdot \left[ {2{u_1} + 14d} \right]}}{2} = 15 \cdot \left( {{u_1} + 7d} \right)\) = 15(−8 + 76) = 510.
Đáp án: 2500
Đây là tổng của 50 số nguyên dương lẻ tiếp tiếp trong tập số thực với u1 = 1 và d = 2.
Khi đó \({S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{u_1} + {u_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500.\)
Đáp án: 459
Có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 18\\{u_{12}} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 18\\{u_1} + 11d = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 3\end{array} \right.\).
Suy ra \({S_{17}} = \frac{{17\left( {2 \cdot 3 + 16 \cdot 3} \right)}}{2} = 459\).
Đáp án: 14
Ta có \[245 = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( {n - 1} \right)3} \right]}}{2} \Leftrightarrow 490 = n \cdot \left( { - 4 + 3n - 3} \right)\]
\( \Leftrightarrow 490 = n \cdot (3n - 7) \Leftrightarrow 3{n^2} - 7n - 490 = 0\) ⇔ n = 14 (vì n ∈ ℕ*)
Đáp án: 55
Ta có u10 = S10 - S9.
Có S10 = 3102 - 210 = 280; S9 = 392 - 29 = 225.
Khi đó u10 = 280 - 225 = 55.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
