Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Số tiền lương trong 15 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u₁ = 120 và công sai d = 20.

Tổng các số hạng là:

\({S_{15}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {15 - 1} \right) \cdot 20} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 120 + 14 \cdot 20} \right) = 3900\)

Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 15 năm là 3900 triệu đồng

Đáp án đúng là: C

Chiều cao năm bốn tuổi của một đứa trẻ phát triển bình thường là:

x₄ = 75 + 5∙(4 – 1) = 90 cm.

Đáp án đúng là: A

Theo bài ra ta có số viên gạch ở mỗi bậc thang (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng gồm 40 số với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = − 2.

Bậc trên cùng là bậc thứ 40. Do đó, số viên gạch cần cho bậc trên cùng là

\({S_{40}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{40}} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 100 + \left( {40 - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = 2440\)

Đáp án đúng là: B

Ta thấy số cây ở mỗi hàng tạo nên một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 1.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của cấp số cộng ta có:

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] \Leftrightarrow \frac{{{n^2} + n}}{2} = 5050\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 10100 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 100}\\{n = - 101}\end{array}} \right.\).

Vậy có 100 hàng cây được trồng theo cách trên.

Đáp án đúng là: B

Gọi n là số ngày mà ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng (n ∈ ℕ).

Số mét ốc sên bò được qua các ngày lập thành một cấp số cộng với ngày thứ nhất bò được là u₁ = 2 và công sai d = 3.

Tổng quãng đường ốc sên trèo được sau n ngày là:

\({S_n} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = \frac{n}{2} \cdot \left[ {4 + 3\left( {n - 1} \right)} \right] = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)

Do giếng sâu 100 mét nên ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng khi S_n ≥ 100.

Ta có : \(\frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2} \ge 100 \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \le \frac{{ - 25}}{3}}\\{8 \le n}\end{array}} \right.\).

Do đó n = 8.

Vậy ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng vào ngày thứ 8.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Dãy số T_n lập thành cấp số cộng với số hạng đầu T₁ = 10 và công sai d = 2 là: T₁ = 10, T₂ = 12, T₃ = 14, T₄ = 16, T₅ = 18, T₆ = 20.

b) Đúng. Dãy số T_n là cấp số cộng có T₁ = 10 và công sai d = 2

Do đó, công thức tổng quát của dãy số là: T_n = T₁ + (n −1)∙d = 8 + 2n với ∀ n ≥ 1.

c) Đúng. Ta có T_n ≥ 60 ⇔ 8 + 2n ≥ 60 hay n ≥ 26 .

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

d) Sai. Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là:

\({S_{30}} = \frac{{\left[ {2{T_1} + \left( {30 - 1} \right) \cdot d} \right] \cdot 30}}{2} = \frac{{\left[ {2 \cdot 10 + 29 \cdot 2} \right] \cdot 30}}{2} = 1170\) (phút).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Phương án 1 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 120 (triệu đồng) và công sai d₁ = 18 (triệu đồng).

b) Sai. Tiền lương năm thứ ba là: u₃ = u₁ + 2d₁ = 120 + 218 =156 ( triệu đồng).

c) Đúng. Tổng tiền lương trong ba năm của phương án 1 là:

\({S_3} = \frac{3}{2} \cdot \left( {2{u_1} + 2{d_1}} \right) = \frac{3}{2} \cdot \left( {2 \cdot 120 + 2 \cdot 18} \right) = 414\)(triệu đồng).

d) Sai. Xét phương án 2:

Phương án 2 cũng là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 24 (triệu đồng) và công sai d₁ = 1,8 (triệu đồng).

Tổng tiền lương trong ba năm ứng với 12 quý của phương án 2 là:

\({S_{12}} = \frac{{12}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 24 + 11 \cdot 1,8} \right) = 406,8\) (triệu đồng).

Vì tổng tiền lương trong ba năm của phương án 1 là 414 triệu đồng lớn hơn tổng tiền lương trong ba năm của phương án hai là 406,8 triệu đồng. Do đó người lao động nên chọn phương án 1 để nhận được tổng số tiền lương cao nhất nếu kí hợp đồng lao động trong ba năm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. c) Đúng.

a) Đúng. Số hộp sữa ở các hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 2.

b) Sai. Số hộp sữa ở hàng thứ 10 là: u₁₀ = 1 + (10 – 1)∙2 = 19 (hộp).

c) Đúng. Số hộp sữa ở hàng thứ 12 là: u₁₂ = 1 + (12 – 1)∙2 = 23 (hộp).

d) Đúng. Gọi n là số hàng cần thiết để xếp hết 900 hộp sữa. Khi đó tổng số hộp sữa xếp được sau n hàng là tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng với số hạng đầu tiên u₁ = 1 và công sai d = 2.

\(S{}_n = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right] = \frac{n}{2} \cdot 2n = {n^2}\).

Để xếp hết 900 hộp sữa ta có n² = 900 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 30}\\{n = - 30}\end{array}} \right.\).

Vậy cần 30 hàng để xếp hết tất cả số hộp sữa lên gian hàng.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp.

Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp.

Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp.

Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp.

Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp.

b) Sai. Số que diêm xếp tầng đế của tháp lập thành một cấp số cộng với u₁ = 3 và công sai d = 4. Do đó số que diêm xếp tầng để của tháp nếu có 100 tầng là:

u₁₀₀ = u₁ + (100 −1)∙d = 3 + 99∙4 = 399.

c) Sai. Số que ở 1 tầng là u₁ = 3;

Tổng số que ở 2 tầng là u₁ + u₂ = 3 + 7 = 3 + (3 + 1∙4).

Tổng số que ở 3 tầng là u₁ + u₂ + u₃ = 3 + 7 + 11 = 3 + (3 + 1∙4) + (3 +24)

….

Tổng số que ở 10 tầng là

u₁ + u₂ + u₃ + …+ u₁₀ = 3 + 7 + 11 = 3 + (3 + 1∙4) + (3 +24) + …+ (3 + 94).

Do đó \({S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 3 + 9 \cdot 4} \right) = 210\) que.

d) Sai. Số que diêm để xếp thêm vào tầng đế thứ n lập thành một cấp số cộng u_n với số hạng đầu là u₁ = 3 và công sai là d = 4.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Gọi u_n là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó dãy số u_n lập thành cấp số cộng với u₁ = 950 và d = 1,5.

Thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao so với mực nước biển là:

\({u_{12}} = {u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d = 950 + \left( {12 - 1} \right) \cdot 1,5 = 966,5\)(m).

b) Đúng. Công thức tổng quát tính độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ n là:

u_n = u₁ + (n – 1)∙d = 950 + 1,5∙(n – 1).

c) Sai. Du khách đứng ở độ cao 972,5 m so với mực nước biển.

Ta có 950 + 1,5(n – 1) = 972,5 ⇔ 1,5(n – 1) = 22,5 ⇔ n – 1 = 15 ⇔ n = 16.

Thửa ruộng này thuộc bậc thứ 16.

d) Đúng. Thửa ruộng phải nằm dưới hoặc bằng độ cao đỉnh núi, tức là: u_n ≤ 1000.

950 + 1,5(n – 1) ≤ 1000 ⇔ 1,5(n – 1) ≤ 50 ⇔ \(n \le \frac{{103}}{3} \approx 34,3\).

Thửa ruộng cao nhất có thể xây dựng được tại đây là bậc thứ 34.

Đáp án: 120

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 20 và công sai d = 1. Cấp số cộng này có 22 số hạng.

Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là: \({S_{22}} = \frac{{\left[ {2 \cdot 20 + \left( {22 - 1} \right) \cdot 1} \right] \cdot 22}}{2} = 671\)

Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là 671.

Vậy giá tiền của một vẻ là: 80520000 : 671 = 120000 (đồng) = 120 nghìn đồng.

Đáp án: 6,03

Số tiền khoan giếng được tăng theo cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 80000 và công sai d = 5000.

Số tiền phải trả khi khoan đến 36 mét là:

\({S_{36}} = \frac{{36 \cdot \left[ {2 \cdot 80000 + \left( {36 - 1} \right) \cdot 5000} \right]}}{2} = 6030000\) đồng.

Ta có 6030000 đồng = 6,03 triệu đồng.

Vậy phải trả 6,03 triệu đồng để khoan cái giếng đó.

Đáp án: 10

Chiều dài các thanh ngang lập thành cấp số cộng với u₁ = 48, d = −2. Gọi n là số bậc của cái thang.

Số hạng tổng quát là: u_n = 48 – 2(n – 1) = 50 – 2n

Khi u_n = 30.

Ta có: 30 = 50 − 2n ⇔ n = 10.

Vậy cái thang có 10 bậc.

Đáp án: 32

Quãng đường vận động viên rơi tự do trong mỗi giây liên tiếp trước khi bung dù lập thành cấp số cộng với số hạng ban đầu là u₁ = 15 và số hạng thứ hai là u₂ là 47,… Do đó công sai d = u₂ – u₁ = 47 − 15 = 32.

Đáp án: 1600

Ta có 1,2 triệu người = 1200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành cấp số cộng gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11) với số hạng đầu u₁ = 1200, công sai d = 40.

Công thức số hạng tổng quát của số dân thành phố là u_n = 1200 + 40(n − 1).

Dân số của năm 2030 là u₁₁ = 1200 + 40(11 − 1) = 1600 (nghìn người).