Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là: 45 cm; 43 cm; 41 cm; …; 31 cm. Hỏi cái thang đó có bao nhiêu bậc?
8;
9;
10;
7.
Đáp án đúng là: A
Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 45 và công sai d = –2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:
un = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, ∀ n ∈ ℕ*.
Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.
Ta có un = 47 – 2n = 31 ⇔ n = 8.
Vậy cái thang có 8 bậc.
Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144;… (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là
1600 feet;
1500 feet;
1700 feet;
2000 feet.
Đáp án đúng là: A
Cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u1 = 16 và công sai d = 32.
Khi đó công thức số hạng tổng quát là: un = 16 + (n – 1).32 = 32n – 16.
Sau 10 giây buông dù quãng đường người đó rơi tự do là:
u10 = 32.10 – 16 = 304 (feet).
Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên cũng chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng và bằng:
.
Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1 600 feet.
Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm . Khi trưởng thành, cây thấp nhất của
loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100 cm . Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?
100;
110;
120;
150.
Đáp án đúng là: C
Chiều cao của các cây lập thành một cấp số cộng un
Cây thấp nhất có kiểu gene aabb nên u1 = 100.
Nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm do đó công sai của cấp số cộng là d = 5.
Vậy cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm).
Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Hỏi giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là bao nhiêu?
460 triệu đồng;
360 triệu đồng;
500 triệu đồng;
400 triệu đồng.
Đáp án đúng là: A
Giá trị của chiếc xe ô tô trong từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u1 = 680 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).
Do đó, giá trị còn lại của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là
u5 = u1 + (5 – 1)d = 680 + 4 . (– 55) = 460 (triệu đồng).
Vậy giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là 460 triệu đồng.Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
18;
20;
19;
17.
Đáp án đúng là: B
Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 3.
Giả sử cần thiết kế tối thiếu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.
Ta có: \[{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2\,.\,\,15 + \left( {n - 1} \right)\,.\,3} \right] \ge 870\]
Do đó, n(30 + 3n – 3) ≥ 1740
⇔n(3n + 27) – 1740 ≥ 0
⇔3n2 + 27n – 1740 ≥ 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \le - 29\\n \ge 20\end{array} \right.\].
Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Theo giả sử này, dân số của thành phố này vào năm 2030 là bao nhiêu?
1,7 triệu người;
1,1 triệu người;
1,8 triệu người;
1,5 triệu người.
Đáp án đúng là: D
Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u1 = 1 200 và công sai d = 30.
Ta có: u11 = u1 + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.
Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.
Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế. Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?
1260,8 m;
1261,8 m;
1026,8 m;
1206,8 m.
Đáp án đúng là: A
Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u1 = 1 250 m so với mực nước biển.
•Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là:
u2 = 1 250 + 1,2 (m).
•Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là:
u3 = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).
...
•Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là:
u10 = 1 250 + 9.1,2 = 1260,8 (m).
Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là 1260,8 m so với mực nước biển.
Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau:
Năm thứ nhất: 240 triệu;
Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu.
Hỏi số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11 là bao nhiêu?
390 triệu đồng;
306 triệu đồng;
360 triệu đồng;
300 triệu đồng.
Đáp án đúng là: C
Gọi un là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n.
Khi đó, dãy số (un) tạo thành cấp số cộng có u1 = 240 và d = 12.
Ta có u11 = u1 + 10d = 240 + 10.12 = 360.
Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.
Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Hỏi tổng số tiền vé thu được của rạp hát là bao nhiêu?
35 000 000 đồng.
30 540 000 đồng.
30 400 000 đồng
35 400 000 đồng.
Đáp án đúng là: D
Gọi un là số ghế ở hàng thứ n.
Khi đó, dãy số (un) tạo thành cấp số cộng với u1 = 20 và d = 1.
Tổng số ghế có trong rạp hát là: .
Tổng số tiền vé thu được là: 590 . 60 000 = 35 400 000 (đồng).
Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?
90;
91;
89;
92.
Đáp án đúng là: C
Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông.
Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).
Vậy tổng số tiếng chuông là:
S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = =+11 = 89 (tiếng chuông).
Vậy bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả 89 tiếng.
Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 120 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương (triệu đồng) mà anh Nam nhận được sau 15 năm làm việc cho công ty đó.
3900.
3800.
3700.
4000.
Đáp án đúng là: A
Số tiền lương trong 15 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u1 = 120 và công sai d = 20.
Tổng các số hạng là:
\({S_{15}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {15 - 1} \right) \cdot 20} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 120 + 14 \cdot 20} \right) = 3900\)
Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 15 năm là 3900 triệu đồng
Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: xn = 75 + 5(n – 1). Chiều cao của một đứa trẻ phát triển bình thường năm bốn tuổi là bao nhiêu?
80.
85.
90.
95.
Đáp án đúng là: C
Chiều cao năm bốn tuổi của một đứa trẻ phát triển bình thường là:
x4 = 75 + 5∙(4 – 1) = 90 cm.
Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 40 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang.
2440.
2450.
2400.
2500.
Đáp án đúng là: A
Theo bài ra ta có số viên gạch ở mỗi bậc thang (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng gồm 40 số với số hạng đầu u1 = 100 và công sai d = − 2.
Bậc trên cùng là bậc thứ 40. Do đó, số viên gạch cần cho bậc trên cùng là
\({S_{40}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{40}} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 100 + \left( {40 - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = 2440\)
Người ta trồng cây theo hình tam giác với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 5050 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
90.
100.
80.
200.
Đáp án đúng là: B
Ta thấy số cây ở mỗi hàng tạo nên một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 1.
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của cấp số cộng ta có:
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] \Leftrightarrow \frac{{{n^2} + n}}{2} = 5050\)
\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 10100 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 100}\\{n = - 101}\end{array}} \right.\).
Vậy có 100 hàng cây được trồng theo cách trên.
Một con ốc sên bị rơi vào một cái giếng sâu 100 mét. Ốc sên cố gắng thoát ra bằng cách mỗi ngày trèo lên thêm một đoạn 3 mét so với ngày trước đó theo chiều cao của miệng giếng. Biết rằng ngày đầu tiên con ốc sên trèo được 2 mét. Hỏi sau bao nhiêu ngày con ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng?
7.
8.
9.
10.
Đáp án đúng là: B
Gọi n là số ngày mà ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng (n ∈ ℕ).
Số mét ốc sên bò được qua các ngày lập thành một cấp số cộng với ngày thứ nhất bò được là u1 = 2 và công sai d = 3.
Tổng quãng đường ốc sên trèo được sau n ngày là:
\({S_n} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = \frac{n}{2} \cdot \left[ {4 + 3\left( {n - 1} \right)} \right] = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
Do giếng sâu 100 mét nên ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng khi Sn ≥ 100.
Ta có : \(\frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2} \ge 100 \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \le \frac{{ - 25}}{3}}\\{8 \le n}\end{array}} \right.\).
Do đó n = 8.
Vậy ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng vào ngày thứ 8.
Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó. Gọi Tn là thời gian mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n (n ∈ ℕ).
Khi đó:
Sáu số hạng đầu của dãy số Tn lần lượt là: 10; 12; 14; 16; 18 và 20.
Công thức tổng quát của dãy số (Tn) là Tn = 8 + 2n.
Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.
Tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình là 1200 phút.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Dãy số Tn lập thành cấp số cộng với số hạng đầu T1 = 10 và công sai d = 2 là: T1 = 10, T2 = 12, T3 = 14, T4 = 16, T5 = 18, T6 = 20.
b) Đúng. Dãy số Tn là cấp số cộng có T1 = 10 và công sai d = 2
Do đó, công thức tổng quát của dãy số là: Tn = T1 + (n −1)∙d = 8 + 2n với ∀ n ≥ 1.
c) Đúng. Ta có Tn ≥ 60 ⇔ 8 + 2n ≥ 60 hay n ≥ 26 .
Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.
d) Sai. Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là:
\({S_{30}} = \frac{{\left[ {2{T_1} + \left( {30 - 1} \right) \cdot d} \right] \cdot 30}}{2} = \frac{{\left[ {2 \cdot 10 + 29 \cdot 2} \right] \cdot 30}}{2} = 1170\) (phút).
Khi ký kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng thêm 18 triệu đồng.
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng thêm 1,8 triệu đồng.
Khi đó
Trong phương án 1: Dãy số tiền lương là cấp số cộng có số hạng đầu tiên và công sai.
Trong phương án 1: Tiền lương người lao động nhận được trong năm thứ ba là 160 triệu đồng.
Trong phương án 1: Tổng tiền lương người lao động nhận được trong ba năm là 414 triệu đồng.
Nếu ký hợp đồng lao động trong ba năm, với mong muốn nhận được tổng số tiền lương cao nhất thì người lao động nên chọn phương án 2.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Phương án 1 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 120 (triệu đồng) và công sai d₁ = 18 (triệu đồng).
b) Sai. Tiền lương năm thứ ba là: u3 = u1 + 2d1 = 120 + 218 =156 ( triệu đồng).
c) Đúng. Tổng tiền lương trong ba năm của phương án 1 là:
\({S_3} = \frac{3}{2} \cdot \left( {2{u_1} + 2{d_1}} \right) = \frac{3}{2} \cdot \left( {2 \cdot 120 + 2 \cdot 18} \right) = 414\)(triệu đồng).
d) Sai. Xét phương án 2:
Phương án 2 cũng là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 24 (triệu đồng) và công sai d1 = 1,8 (triệu đồng).
Tổng tiền lương trong ba năm ứng với 12 quý của phương án 2 là:
\({S_{12}} = \frac{{12}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 24 + 11 \cdot 1,8} \right) = 406,8\) (triệu đồng).
Vì tổng tiền lương trong ba năm của phương án 1 là 414 triệu đồng lớn hơn tổng tiền lương trong ba năm của phương án hai là 406,8 triệu đồng. Do đó người lao động nên chọn phương án 1 để nhận được tổng số tiền lương cao nhất nếu kí hợp đồng lao động trong ba năm.
Trong một hội chợ đón xuân, một gian hàng sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo quy luật là hàng trên cùng có 1 hộp sữa, mỗi hàng ngay phía dưới lần lượt được xếp nhiều hơn 2 hộp so với hàng trên nó.
Khi đó:
Số hộp sữa ở các hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.
Hàng thứ 10 có 20 hộp sữa.
Hàng thứ 12 có 23 hộp sữa.
Cần 30 hàng để xếp hết tất cả số hộp sữa lên gian hàng.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. c) Đúng.
a) Đúng. Số hộp sữa ở các hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.
b) Sai. Số hộp sữa ở hàng thứ 10 là: u10 = 1 + (10 – 1)∙2 = 19 (hộp).
c) Đúng. Số hộp sữa ở hàng thứ 12 là: u12 = 1 + (12 – 1)∙2 = 23 (hộp).
d) Đúng. Gọi n là số hàng cần thiết để xếp hết 900 hộp sữa. Khi đó tổng số hộp sữa xếp được sau n hàng là tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng với số hạng đầu tiên u1 = 1 và công sai d = 2.
\(S{}_n = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right] = \frac{n}{2} \cdot 2n = {n^2}\).
Để xếp hết 900 hộp sữa ta có n2 = 900 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 30}\\{n = - 30}\end{array}} \right.\).
Vậy cần 30 hàng để xếp hết tất cả số hộp sữa lên gian hàng.
Bạn Gia Linh xếp que diêm thành hình tháp trên mặt sân như hình vẽ:
1 tầng 2 tầng 3 tầng
Nếu có 5 tầng thì cần 20 que diêm xếp tầng để của tháp.
Nếu có 100 tầng thì cần 400 que diêm xếp tầng đế của tháp.
Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng 200 que diêm?
Số que diêm để xếp thêm vào tầng đế thứ n lập thành một cấp số cộng un với số hạng đầu là u1 = 3 và công sai là d = 3.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp.
Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp.
Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp.
Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp.
Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp.
b) Sai. Số que diêm xếp tầng đế của tháp lập thành một cấp số cộng với u1 = 3 và công sai d = 4. Do đó số que diêm xếp tầng để của tháp nếu có 100 tầng là:
u100 = u1 + (100 −1)∙d = 3 + 99∙4 = 399.
c) Sai. Số que ở 1 tầng là u1 = 3;
Tổng số que ở 2 tầng là u1 + u2 = 3 + 7 = 3 + (3 + 1∙4).
Tổng số que ở 3 tầng là u1 + u2 + u3 = 3 + 7 + 11 = 3 + (3 + 1∙4) + (3 +24)
….
Tổng số que ở 10 tầng là
u1 + u2 + u3 + …+ u10 = 3 + 7 + 11 = 3 + (3 + 1∙4) + (3 +24) + …+ (3 + 94).
Do đó \({S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 3 + 9 \cdot 4} \right) = 210\) que.
d) Sai. Số que diêm để xếp thêm vào tầng đế thứ n lập thành một cấp số cộng un với số hạng đầu là u1 = 3 và công sai là d = 4.
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m.
Thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là 960 mét so với mực nước biển.
Công thức tổng quát tính độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ n là un = 950 + 1,5∙(n – 1).
Một người khách du lịch đang đứng ở thửa ruộng có độ cao 972,5 m so với mực nước biển. Thửa ruộng này thuộc bậc thứ 15.
Biết rằng đỉnh núi nơi làm ruộng bậc thang có độ cao tối đa là 1000 m. Thửa ruộng cao nhất có thể xây dựng được tại đây là bậc thứ 34.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Gọi un là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó dãy số un lập thành cấp số cộng với u1 = 950 và d = 1,5.
Thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao so với mực nước biển là:
\({u_{12}} = {u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d = 950 + \left( {12 - 1} \right) \cdot 1,5 = 966,5\)(m).
b) Đúng. Công thức tổng quát tính độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ n là:
un = u1 + (n – 1)∙d = 950 + 1,5∙(n – 1).
c) Sai. Du khách đứng ở độ cao 972,5 m so với mực nước biển.
Ta có 950 + 1,5(n – 1) = 972,5 ⇔ 1,5(n – 1) = 22,5 ⇔ n – 1 = 15 ⇔ n = 16.
Thửa ruộng này thuộc bậc thứ 16.
d) Đúng. Thửa ruộng phải nằm dưới hoặc bằng độ cao đỉnh núi, tức là: un ≤ 1000.
950 + 1,5(n – 1) ≤ 1000 ⇔ 1,5(n – 1) ≤ 50 ⇔ \(n \le \frac{{103}}{3} \approx 34,3\).
Thửa ruộng cao nhất có thể xây dựng được tại đây là bậc thứ 34.
Một nhà thi đấu có 22 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế, … Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 80520000 đồng. Tính giá tiền của mỗi vé (đơn vị: nghìn đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá.
Đáp án: 120
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 20 và công sai d = 1. Cấp số cộng này có 22 số hạng.
Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là: \({S_{22}} = \frac{{\left[ {2 \cdot 20 + \left( {22 - 1} \right) \cdot 1} \right] \cdot 22}}{2} = 671\)
Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là 671.
Vậy giá tiền của một vẻ là: 80520000 : 671 = 120000 (đồng) = 120 nghìn đồng.
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 36 mét mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để khoan cái giếng đó?
Đáp án: 6,03
Số tiền khoan giếng được tăng theo cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 80000 và công sai d = 5000.
Số tiền phải trả khi khoan đến 36 mét là:
\({S_{36}} = \frac{{36 \cdot \left[ {2 \cdot 80000 + \left( {36 - 1} \right) \cdot 5000} \right]}}{2} = 6030000\) đồng.
Ta có 6030000 đồng = 6,03 triệu đồng.
Vậy phải trả 6,03 triệu đồng để khoan cái giếng đó.
Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 48 cm, 46 cm, 44 cm,…30 cm. Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
Đáp án: 10
Chiều dài các thanh ngang lập thành cấp số cộng với u1 = 48, d = −2. Gọi n là số bậc của cái thang.
Số hạng tổng quát là: un = 48 – 2(n – 1) = 50 – 2n
Khi un = 30.
Ta có: 30 = 50 − 2n ⇔ n = 10.
Vậy cái thang có 10 bậc.
Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 15; 47; 79; 111; 143;... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng). Tính công sai của cấp số cộng trên?
Đáp án: 32
Quãng đường vận động viên rơi tự do trong mỗi giây liên tiếp trước khi bung dù lập thành cấp số cộng với số hạng ban đầu là u1 = 15 và số hạng thứ hai là u2 là 47,… Do đó công sai d = u2 – u1 = 47 − 15 = 32.
Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 40 nghìn người. Số dân của thành phố này vào năm 2030 là bao nhiêu nghìn người?
Đáp án: 1600
Ta có 1,2 triệu người = 1200 nghìn người.
Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành cấp số cộng gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11) với số hạng đầu u1 = 1200, công sai d = 40.
Công thức số hạng tổng quát của số dân thành phố là un = 1200 + 40(n − 1).
Dân số của năm 2030 là u11 = 1200 + 40(11 − 1) = 1600 (nghìn người).
