Đề kiểm tra Cấp số cộng (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} = - 0,1;d = 0,1.\)Số hạng thứ \(7\)của cấp số cộng này là:
\(1,6.\).
\(6.\).
\(0,5.\).
\(0,6.\)
Chọn C
\({u_7} = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]thỏa mãn \[{u_1} = 4,\,\,{u_3} = 10.\]Công sai của cấp số cộng bằng
\(6.\).
\( - 6.\).
\(3.\).
\( - 3.\)
Chọn C
Gọi \(d\)là công sai của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\].
Ta có \[{u_1} = 4,\;{u_3} = 10\]suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_1} + 2d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = 3\end{array} \right.\).
Vậy công sai của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]là \(d = 3.\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]với \[{u_5} = 11\]và \[{u_6} = 14\]. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\[ - 6\].
\[3\].
\[12\].
\[6\].
Chọn B
Ta có: \[{u_6} = {u_5} + d \Leftrightarrow 14 = 11 + d \Rightarrow d = 3\].
Tìm tất cả các số thực \(x\) để ba số \({x^2}\),\({x^2} + 1\),\(3x\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng?
\(x = 2\).
\(x \in \left\{ {1,2} \right\}\).
\(x = 0\).
\(x \in \left\{ {2,3} \right\}\).
Chọn B
Do ba số \({x^2}\),\({x^2} + 1\),\(3x\) lập thành cấp số cộng nên \(2\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 3x\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(x \in \left\{ {1,2} \right\}\).
Cho phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\). Tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
16.
13.
12.
11.
Chọn D
Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Khi đó:
\({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\); \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\)\( \Rightarrow m = 11\)
Khi đó ta có phương trình: \({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0 \Rightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} \); \({x_2} = 1\); \({x_3} = 1 + \sqrt {12} \).
Ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.
Vậy \(m = 11\).
Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương \[\left( {n,\,\,k} \right)\]biết \[n < 20\]và các số \[C_n^{k - 1}\], \[C_n^k\], \[C_n^{k + 1}\]theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng.
\[4\].
\[2\].
\[1\].
\({z_1} = a + 5i\).
Chọn A
Các số \[C_n^{k - 1}\],\({z_2} = b\),\[C_n^{k + 1}\] theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng nên ta có: \[C_n^k - C_n^{k - 1} = C_n^{k + 1} - C_n^k\]\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!(n - k - 1)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!(n - k + 1)!}} = 2\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n - k + 1} \right)\left( {n - k} \right)}} = \frac{2}{{k\left( {n - k} \right)}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {n - 2k} \right)^2} = n + 2\).
Do \(n < 20\)\( \Rightarrow n + 2 < 22\)mà \(n + 2\)là số chính phương, \(n,k\)nguyên dương nên có các trường hợp sau:
+ \(n + 2 = 4\)\( \Rightarrow n = 2;k = 2\).
+ \(n + 2 = 9\)\( \Rightarrow n = 7;k = 2\)hoặc \(n = 7;k = 5\).
+ \(n + 2 = 16\)\( \Rightarrow n = 14;k = 5\)hoặc \(n = 14;k = 9\).
Mà \(k + 1 \le n\)nên chỉ có 4 bộ thỏa mãn.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\), \({u_{14}} = 18\). Tính tổng \[16\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
\({S_{16}} = - 24\).
\({S_{16}} = 26\).
\({S_{16}} = - 25\).
\({S_{16}} = 24\).
Chọn D
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).
Khi đó, \({S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right).16}}{2}\) \( = 8\left( { - 42 + 45} \right) = 24\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 - 2n\) thì \({S_{60}}\) bằng
\( - 6960\).
\( - 117\).
\( - 3840\).
\( - 116\).
Chọn C
Ta có \({u_{n + 1}} = 1 - 2n\), Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = - 2\). Vậy \({S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = - 3840\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_5} = 42}\\{{u_4} + {u_9} = 66}\end{array}} \right.\). Tổng \(346\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên là:
\[{S_{346}} = 422554\].
\[{S_{346}} = 242546\].
\[{S_{346}} = 156224\].
\[{S_{346}} = - 203558\].
Chọn B
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} + {u_5} = 42}\\{{u_4} + {u_9} = 66}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{u_1} + 5d = 42}\\{2{u_1} + 11d = 66}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 11}\\{d = 4}\end{array}} \right.\)
Và \({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2} \Rightarrow {S_{346}} = 346.11 + \frac{{346.345.4}}{2} = 242546\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_5} = - 15\], \[{u_{20}} = 60\]. Tổng \[{S_{20}}\] của \[20\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
\[{S_{20}} = 600\].
\[{S_{20}} = 60\].
\[{S_{20}} = 250\].
\[{S_{20}} = 500\].
Chọn C
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20.19}}{2}.d\)\( = 20.\left( { - 35} \right) + \frac{{20.19}}{2}.5\)\( = 250\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \({u_{2013}} + {u_6} = 1000\). Tổng \[2018\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
\(1009000\).
\(100800\).
\(1008000\).
\(100900\).
Chọn A
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.
Khi đó: \({u_{2013}} + {u_6} = 1000\)\( \Leftrightarrow {u_1} + 2012d + {u_1} + 5d = 1000\)\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 1000\).
Ta có: \({S_{2018}} = 2018{u_1} + \frac{{2017.2018}}{2}d\)\( = 1009.\left( {2{u_1} + 2017d} \right)\)\( = 1009000\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = - 15\) và \({u_{20}} = 60\). Tổng của \(20\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
\[{S_{20}} = 500\].
\[{S_{20}} = 250\].
\[{S_{20}} = 60\].
\[{S_{20}} = 600\].
Chọn B
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).
Khi đó, tổng của \(20\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
\({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)\)\( = 250\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết rằng: \({u_1} = 5\) và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150 , khi đó:
a) Công sai của cấp số cộng bằng \(6\)
b) Số hạng \({u_{85}} = 341\)
c) Số hạng \({u_{10}} = 42\)
d) Tổng của 85 số hạng đầu \({S_{85}} = 14705\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = \frac{{50}}{2}(2 \cdot 5 + 49d) = 5150 \Rightarrow d = 4\).
Suy ra \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1)4 = 1 + 4n\).
\({S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}(2 \cdot 5 + 84 \cdot 4) = 14705.{\rm{ }}\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\)
(trong đó \({S_n},{S_{2n}}\) theo thứ tự là tổng của \(n\) và \(2n\) số hạng đầu của cấp số cộng).
a) Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\)
b) Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\)
c) Số hạng \({u_{15}} = 58\)
b) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) b) Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có: \({u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\);
\(\begin{array}{l}4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + (2n - 1)d} \right]\\ \Leftrightarrow 4{u_1} + (2n - 2)d = 2{u_1} + (2n - 1)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0.\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \({u_1} = 2,d = 4\).
c) Số hạng tổng quát \({u_n} = 2 + (n - 1)4 = 4n - 2\) suy ra \({u_{15}} = 58\)
d) Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là:
\({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}(2 \cdot 2 + 14 \cdot 4) = 450.{\rm{ }}\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d < 0\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_7} = 26}\\{u_2^2 + u_6^2 = 466}\end{array}} \right.\). Khi đó:
a) Số hạng \({u_1} = 25\)
b) Công sai \(d = - 3\)
c) Số hạng \({u_{10}} = - 11\)
d) Số hạng \({u_{2024}} = - 8067\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: u1+u7=26u22+u62=466⇔2u1+6d=26u1+d2+u1+5d2=466⇔u1=13−3d(1)u1+d2+u1+5d2=466(2)
Thay (1) vào (2), ta được: \({(13 - 2d)^2} + {(13 + 2d)^2} = 466 \Leftrightarrow 8{d^2} + 338 = 466\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = 4}\\{d = - 4}\end{array}} \right.\)
Vì \(d < 0\)nên ta nhận \(d = - 4\), khi đó \({u_1} = 25\)
Ta có: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 25 + (n - 1)( - 4) = 29 - 4n\).
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 1}}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3}\) là cấp số cộng với \({u_1} = \frac{{ - 2}}{3};d = \frac{1}{3}\).
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 7 - 3n\) là cấp số cộng với \({u_1} = 4;d = - 3\).
c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\) là cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 1\).
d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {( - 1)^n} + 3n\) không là cấp số cộng.
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 1}}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3}\)
Ta thấy: \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = \ldots = \frac{1}{3}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = \frac{{ - 2}}{3};d = \frac{1}{3}\).
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 7 - 3n\).
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = [7 - 3(n + 1)] - (7 - 3n) = - 3\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 7 - 3.1 = 4;d = - 3\).
c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\).
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {(n + 1)^2} + (n + 1) + 1 - \left( {{n^2} + n + 1} \right) = 2n + 2\) phụ thuộc vào \(n\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {( - 1)^n} + 3n\).
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {( - 1)^{n + 1}} + 3(n + 1) - \left[ {{{( - 1)}^n} + 3n} \right] = - {( - 1)^n} + 3 - {( - 1)^n} = 3 - 2{( - 1)^n}\) phụ thuộc vào \(n\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Định x để 3 số \(10 - 3x,2{x^2} + 3,7 - 4x\) theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng.
Theo tính chất cấp số cộng ta có: \(\left( {10 - 3x} \right) + \left( {7 - 4x} \right) = 2\left( {2{x^2} + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow 17 - 7x = 4{x^2} + 6 \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee {\rm{ }}x = - \frac{{11}}{4}\).
Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng \(2700?\)
Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:
\(2700 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \times 5 + (n - 1) \times 2] = \frac{n}{2}(8 + 2n)\)
Do đó \(4n + {n^2} - 2700 = 0\). Giải phương trình bậc hai này ta được \(n = - 54\) hoặc \(n = 50\)
Vậy phải lấy 50 số hạng đầu.
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy . Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 15\) và công sai \(d = 3\). Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:
\(870 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \times 15 + (n - 1) \times 3] = \frac{n}{2}(27 + 3n)\)
Do đó \(27n + 3{n^2} - 1740 = 0\), suy ra \(n = 20,n = - 29\)
Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế
Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.
Số tiền lương trong 10 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu là \({u_1} = 100\) và công sai \(d = 20\). Tổng các số hạng này là:
\({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{10}} = \frac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + (10 - 1)20} \right] = \frac{{10}}{2}(2 \times 100 + 9 \times 20) = 1900\)
Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 10 năm là 1900 triệu đồng
Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng \(2,4\;m\) ở đáy và rộng \(1,2\;m\) ở đỉnh.
Các viên gạch hình vuông có kích thước \(10\;cm \times 10\;cm\) phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?
Đổi \(2,4\;m = 240\;cm;1,2\;m = 120\;cm\).
Số viên gạch ở hàng đầu tiên là \({u_1} = 240:10 = 24\).
Số viên gạch ở hàng trên cùng là: \({u_n} = 120:10 = 12.\)
Vì mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên ta thu được cấp số cộng có công sai \(d = - 1\).
Như vậy \({u_n} = 12 = {u_1} + (n - 1)( - 1) \Rightarrow n = 13\).
Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là
\({S_{13}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{13}}} \right)13}}{2} = 234\).
Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài đó có 2040 chỗ ngồi, hàng ghế đầu tiến có 10 chố ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm 4 chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?
Áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng với \({S_n} = 2040\), \({u_1} = 10,d = 4\) để tìm \(n\), ta được \(2040 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 10 + (n - 1)4].\)
Suy ra \(n = 30\), tức là góc khán đài đó có 30 hàng ghế.
