10 Bài tập Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
a2 + c2 = 2ab + 2bc;
a2 – c2 = 2ab – 2bc;
a2 + c2 = 2ab – 2bc;
a2 – c2 = ab – bc;
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b – a = c – b Û (b – a)2 = (c – b)2
Û b2 – 2ab + a2 = c2 – 2bc + b2
Û a2 – c2 = 2ab – 2bc.
Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
a2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ac;
a2 – c2 = 2ab + 2bc – 2ac;
a2 + c2 = 2ab + 2bc – 2ac;
a2 – c2 = 2ab – 2bc + 2ac.
Đáp án đúng là: C
Ta có 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b – a = c – b Û (b – a)2 = (c – b)2
Û b2 – 2ab + a2 = c2 – 2bc + b2
Û a2 – c2 = 2ab – 2bc
Û a2 + c2 = 2c2 + 2ab – 2bc
Û a2 + c2 = 2ab + 2c(c – b)
Û a2 + c2 = 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.
Cho 3 số a; b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?
2b2, a, c2;
–2c, –2b, –2a;
2b, a, c;
2b, –a, –c.
Đáp án đúng là: B
Ta có a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
a + c = 2b Û – 2(a + c) = – 2.2b
Û (– 2a) + (– 2c) = 2.(– 2b)
Û – 2c, –2b, –2a lập thành một cấp số cộng.
Cho ba số a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây sai?
a2 – 2ab = c2 – 2bc;
a2 – 2ab = ac;
– ac = c2 – 2bc;
a2 + 2bc = c2 – 2ab.
Đáp án đúng là: D
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c = 2b Û a = 2b – c
Ta có: a2 – 2ab = a2 – a(a + c) = – ac
= – c(2b – c) = c2 – 2bc.
Vậy a2 − 2ab = c2 − 2bc ; a2 − 2ab = − ac và − ac = c2 − 2bc.
Cho a, b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây đúng?
a2 + 8bc = (2a + c)2;
a2 + 8bc = 4a2 + c2 + b2;
a2 + 8bc = (2b + c)2;
a2 + 8bc = (b + c)2.
Đáp án đúng là: C
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b ⇔ a = 2b – c
Khi đó: a2 + 8bc = (2b – c)2 + 8bc = 4b2 – 4bc + c2 + 8bc
= 4b2 + 4bc + c2 = (2b + c)2.
Cho ba số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng?
a2 + ab + b2; a2 + ac + c2; b2 + bc + c2;
a2 + b2; a2 + c2, b2 + c2;
a2 + ab + bc; b2 + bc + ab; c2 + bc + c2;
A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Ta chứng minh ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2 ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Thật vậy:
(a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2) = 2(a2 + ac + c2) (*)
Û 2b2 + ab + bc = a2 + 2ac + c2
Û 2b2 + b(a + c) = (a + c)2
Û 2b2 + 2b2 = (2b)2
Û 4b2 = 4b2 (luôn đúng) nên (*) đúng.
Do đó ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Cho tam giác ABC có cotA2, cotB2, cotC2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi hệ thức về mối liên hệ giữa ba cạnh a,b và c nào sau đây là đúng?
a2 = bc;
b = a + c;
ab = ac + bc;
2b = a + c.
Đáp án đúng là: D
Cho bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi đẳng thức nào sau đây là đúng?
t2 + 7x2 + 18dx = 4z2 – 16d + 4y2;
t2 + 7x2 – 18dx = 4z2 – 16d + 4y2;
t2 + 7x2 + 18dx = 4z2 – 16d – 4y2;
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:
t – x = 2d và z – y = d
Þ t – x = 2(z – y) Û (t – x)2 = 4( z – y)2
Û t2 – 2tx + x2 = 4(z2 – 2zy+ y2)
Û t2 – 2tx + x2 = 4z2 – 8zy + 4y2
Û t2 − 2(x+3d). x + x2 = 4z2 − 8(x + 2d).(x + d) + 4y2
Û t2 – 2x2 – 6dx + x2 = 4z2 – 8x2 – 24dx – 16d + 4y2
Û t2 – x2 – 6dx = 4z2 – 8x2 – 24dx – 16d + 4y2
Û t2 + 7x2 + 18dx = 4z2 – 16d + 4y2
Cho ba số x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x + d = y;
x + d = y + 1;
x + d = y + 2;
x + d = y – 2.
Đáp án đúng là: C
Do x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:
y + 3 = (x + 1) + d Û y + 2 = x + d.
Cho ba số x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào đúng?
z = 2x – y + 3;
z = 2y + x – 5;
z = 2y – x + 3;
z = 2x – y + 1.
Đáp án đúng là: C
Do x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
x – 1 + z = 2(y + 1) Û x + z – 1 = 2y + 2
Û z = 2y – x + 3.
