Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
(un): 1; 1; 2; 3; 5; …;
(vn): 0; 2; 4; 6; 8; …;
(wn): 1; –1; 1; –1; …;
(tn): 2; 4; 8; 16; 32; ….
Đáp án đúng là: B
Có v1 = 0, v2 = 2, v3 = 4, v4 = 6, v5 = 8.
Dễ thấy các số hạng của dãy số (vn) là các số chẵn có hiệu giữa hai phần tử liên tiếp là 2 đơn vị.
Do đó (vn) là một cấp số cộng.
1; 2; 3;
1;
2; 3;
1; 3; 4;
Đáp án đúng là: D
• Xét dãy (1) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
5 – 0 = 10 – 5 = … = 5 \(\Rightarrow \) Dãy (1) là cấp số cộng.
• Xét dãy (2) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
4 – 1 = 3; 9 – 4 = 5; … khác nhau \(\Rightarrow \) Dãy (2) không phải cấp số cộng.
• Xét dãy (3) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
5 – 3 = 7 – 5 = … = 2 \(\Rightarrow \) Dãy (3) là cấp số cộng.
• Xét dãy (4) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
– 1 – 5 = –7 – (– 1) = … = – 6 \(\Rightarrow \) Dãy (4) là cấp số cộng.
Vậy các dãy số thỏa mãn là cấp số cộng là: 1; 3; 4.
(un): 0; 2; 4; 6; 8; …;
(vn): 1; 5; 9; 13; 17; …;
(wn): 2; –6; 18; –54; …;
(tn): 6; 12; 18; 24; 30; ….
Đáp án đúng là: D
Có w1 = 2, w2 = –6, w3 = 18, w4 = –54.
|
n |
wn + 1 – wn |
|
1 |
–8 |
|
2 |
–24 |
|
3 |
–72 |
\(\Rightarrow \) Ta kết luận wn không phải một cấp số cộng.
Vậy D là đáp án đúng.
–13n + 27;
–13n2 + 27n;
(– 13)n + 27.
Đáp án đúng là: A
Ta có: un + 1 = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14
\(\Rightarrow \) un + 1 − un = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = −13.
un = −3 − 8n;
un = n + 2;
un = 3n;
un = 3. (−4)n − 8.
Đáp án đúng là: D
• Xét phương án A: un = −3 − 8n.
Ta có un + 1 = −3 − 8(n + 1) = −11 − 8n
\(\Rightarrow \) un + 1 − un = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8
\(\Rightarrow \) (un): un = −3 − 8n là một cấp số cộng với công sai d = −8.
• Xét phương án B: un = n + 2.
Ta có un + 1 = n + 1+ 2 = n + 3;
\(\Rightarrow \) un + 1 − un = (n + 3) − (n + 2) = 1
\(\Rightarrow \) (un): un = n + 2 là một cấp số cộng với công sai d = 1.
• Xét phương án C: un = 3n.
Ta có un + 1 = 3(n + 1) = 3n + 3;
\(\Rightarrow \) un + 1 − un = 3n + 3 – 3n = 3
\(\Rightarrow \) C (un) là một cấp số cộng với công sai d = 3.
• Xét phương án D: un = n + 2:
Ta có un + 1 = 3.(−4)n + 1 − 8;
\(\Rightarrow \) un + 1 − un = [3.(−4)n + 1 − 8] − [ 3.(−4)n − 8] = 3.(−4)n + 1 − 3.(−4)n.
\(\Rightarrow \) (un + 1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n.
Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
\(\Rightarrow \) D đúng.
\({u_n} = \frac{1}{{n + 2}};\)
\[{u_n} = \frac{{{n^2} - 2}}{n};\]
\({u_n} = \frac{{{2^n}}}{n};\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ ℕ*.
Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay uk + 1 = 2.
Theo giả thiết ta có: \[{u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + {\rm{2}}} = 2\]
\(\Rightarrow \) Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.
Vậy với mọi n ta có: un = un + 1 nên un + 1 − un = 0.
\(\Rightarrow \) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\);
un = n2 + 2n + 2;
un = n + 10;
un = 2n + 3.
Đáp án đúng là: C
Ta có: un + 1 – un = (n + 1) + 10 – n – 10 = 1
\(\Rightarrow \) un là cấp số cộng có công sai bằng 1.
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
• Ta có: vn+1 = −2(n + 1)2 + (n + 1) + 1= −2n2 − 3n
Xét hiệu: vn + 1 − vn = (−2n2 − 3n) − (−2n2 + n + 1) = −4n – 1.
Do đó, hiệu (vn + 1 − vn) còn phụ thuộc vào n nên (vn) không là cấp số cộng.
• Ta có: un + 1 = – 2(n + 1)2 + (n + 1) + 1
Xét hiệu: un + 1 − un = −2(n + 1)2 + 2n2 + 1 = – 4n – 1 phụ thuộc vào n.
\(\Rightarrow \) (un) không là cấp số cộng.
+ Ta có: \({w_1} = - 1\,;\,\,{w_2} = 1\,;\,\,{w_3} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \) w3 − w2 ≠ w2 − w1 nên dãy số (wn) không phải là cấp số cộng.
0;
4;
(un) không phải là cấp số cộng;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2.
Do đó, dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
0;
3;
2;
Dãy số không phải là cấp số cộng.
Đáp án đúng là: A
Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ ℕ* .
Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: \[{u_{k + 1}} = \sqrt {3{u_k} - 2} = \sqrt {3\,\,.\,\,2 - 2} = 2\]
\(\Rightarrow \) Đúng với n = k + 1, ta có điều phải chứng minh.
Vậy với mọi n ta có: un = un + 1 nên un + 1 − un = 0.
\(\Rightarrow \) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một hằng số.
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số thay đổi theo thời gian.
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một hằng số không đổi.
Cấp số cộng là một dãy số tăng dần đều mà hiệu số hạng sau trừ số hạng trước phải luôn nhận giá trị bằng 0.
Đáp án đúng là: C
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\) (gọi là công sai).
2; 4; 6; 8; 10.
10; 20; 40; 80; 160.
1; 4; 9; 16; 25.
1; 1; 2; 3; 5.
Đáp án đúng là: A
Ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp kề nhau trong từng dãy số:
Với dãy A: 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2; 10 – 8 = 2.
Hiệu luôn là hằng số 2 nên dãy A là cấp số cộng.
Dãy số không phải cấp số cộng vì không có công thức số hạng tổng quát.
Dãy số là một cấp số cộng với công sai d = −3.
Dãy số là một cấp số cộng với công sai d = 5.
Dãy số là một cấp số cộng với công sai d = 2.
Đáp án đúng là: C
Ta có un + 1 = un + 5 => un + 1 un = 5.
Suy ra dãy số này lập thành một cấp số cộng và có công sai d = 5.
Dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{3}\).
Dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{2}{3}\).
Dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{6}\).
Dãy số không phải là cấp số cộng vì hiệu số không bằng nhau.
Đáp án đúng là: A
Ta thực hiện trừ các cặp số hạng liên tiếp kề nhau từ trái qua phải:
\({u_2} - {u_1} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\);
\({u_3} - {u_2} = \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\);
\({u_4} - {u_3} = \frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Vì tất cả các hiệu số hạng liên tiếp đều cho ra cùng một hằng số duy nhất là \(\frac{1}{3}\), nên đây là cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{3}\).
28.
30.
32.
26.
Đáp án đúng là: A
Gọi 4 số hạng liên tiếp của cấp số cộng này lần lượt là u1 = x; u2 = 11; u3 = 17; u4 = y.
Ta có d = u3 – u2 = 17 – 11 = 6.
Khi đó u2 – u1 = d ⇔ 11 – x = 6 ⇔ x = 5.
Có u4 = u3 + d = 17 + 6 = 23 => y = 23.
Do đó P = x + y = 28.
Hiệu của số hạng thứ hai và số hạng thứ nhất là u2 – u1 = 3.
Hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kì trong bốn số hạng trên luôn là hằng số không đổi.
Bốn số hạng trên lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = −5 và công sai d = 3.
Số hạng tiếp theo (số hạng thứ 5) của cấp số cộng này theo quy luật trên bằng 6.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. u2 – u1 = −2 + 5 = 3.
b) Đúng. Kiểm tra tiếp các cặp còn lại: 1 – (2) = 3; 4 – 1 = 3. Hiệu luôn cố định bằng 3.
c) Đúng. Cấp số cộng có u1 = −5 và d = 3.
d) Sai. u5 = u4 + d = 4 + 3 = 7.
Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 4; 2; −2.
Hiệu số un + 1 – un = −2n.
Vì hiệu số un + 1 – un luôn âm với mọi n ≥ 1 nên dãy số này chắc chắn là một cấp số cộng.
Dãy số đã cho không phải là cấp số cộng vì hiệu số un + 1 – un biến thiên phụ thuộc vào chỉ số n, không phải là một hằng số.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. u2 = u1 – 2 = 4 – 2 = 2; u3 = u2 – 4 = 2 – 4 = 2.
b) Đúng. un + 1 – un = −2n.
c) Sai. Định nghĩa cấp số cộng yêu cầu hiệu số bắt buộc phải là một hằng số không đổi.
d) Đúng. Lập luận này hoàn toàn chính xác theo đúng định nghĩa kiểm tra tính chất cấp số cộng.
Định nghĩa cấp số cộng bắt buộc số hạng đầu tiên u1 của dãy số phải bằng 0.
Hiệu số un + 1 un = log23 là một hằng số không đổi với mọi n ≥ 1.
Dãy số (un) đã cho là một cấp số cộng với công sai d = log23.
Nếu ta bình phương tất cả các số hạng để tạo thành dãy số mới (vn) với \({v_n} = u_n^2\), thì dãy số (vn) vẫn là một cấp số cộng.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Định nghĩa cấp số cộng chỉ xét cấu trúc hiệu hai số liên tiếp, còn số hạng đầu u1 có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào tùy ý (dương, âm, hoặc bằng 0).
b) Đúng. un + 1 un = log23.
c) Đúng. Dãy số (un) đã cho là một cấp số cộng với công sai d = log23.
d) Sai. \[{v_{n + 1}} - {v_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2 = \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d \cdot \left( {2{u_n} + d} \right)\].
Biểu thức này chứa biến số un (thay đổi theo n) nên dãy mới không phải là cấp số cộng.
Theo định nghĩa cấp số cộng, ta luôn có đẳng thức liên hệ giữa ba số là b – a = c – b.
a + c = 2b.
Nếu cộng thêm vào mỗi số cùng một hằng số k để được bộ ba số mới a + k; b + k; c + k thì bộ ba số này không còn lập thành cấp số cộng nữa.
Ba số 2a; 2b; 2c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng mới.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên b – a = c – b = d.
b) Đúng. Từ b – a = c – b => a + c = 2b.
c) Sai. Có (b + k) – (a + k) = b – a = (c + k) – (b + k) = c – b = d.
Do đó bộ ba số mới này vẫn lập thành một cấp số cộng.
d) Đúng. Có 2b – 2a = 2(b – a) = 2d và 2c – 2b = 2(c – b) = 2d.
Do đó ba số 2a; 2b; 2c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng mới.
Ba số hạng đầu tiên của dãy số cũ là \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{1}{2};{u_3} = \frac{1}{3}\).
Ba số hạng đầu tiên của dãy số mới là v1 = 1; v2 = 2; v3 = 3.
Hiệu vn + 1 – vn = 1.
Dãy số mới (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu v1 = 1 và công sai d = 1.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \({u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_3} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\).
b) Đúng. Nghịch đảo các giá trị tương ứng ở ý a: \({v_1} = \frac{1}{1} = 1,{v_2} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2,{v_3} = \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = 3\).
c) Đúng. \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} = 1 + {v_n} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = 1\).
d) Đúng. Vì hiệu vn + 1 – vn = 1 là hằng số cố định nên dãy số mới (vn) chính xác là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai d = 1.
Đáp án: 4
d = −9 – (−13) = 4.
Đáp án: 6
Ta có un + 1 – un = m – 2.
Để dãy số này là một cấp số cộng và có công sai d = 4 thì m – 2 = 4 ⇔ m = 6.
Đáp án: 2
Dãy 1: un + 1 – un = −3 (là hằng số không đổi => là cấp số cộng).
Dãy 2: vn + 1 – vn = n (hiệu số chứa biến n, thay đổi theo thời gian => Loại).
Dãy 3: \(\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = 2\) (đây là định nghĩa của cấp số nhân => Loại).
Dãy 4: \({y_{n + 1}} - {y_n} = \sqrt 2 \) (là hằng số chứa căn thức cố định => là cấp số cộng).
Vậy có tất cả 2 dãy số thỏa mãn yêu cầu là Dãy 1 và Dãy 4.
Đáp án: −2
Gọi 5 số hạng trong dãy lần lượt là u1 = −17; u2 = −12; u3 = −7; u4 = x; u5 = 3.
Ta có d = u2 – u1 = 5.
Do đó u4 = u3 + d = −7 + 5 = −2 = x.
Đáp án: 26
Ta có d = 14 – 11 = 3.
Khi đó u4 = 17 + 3 = 20; u5 = 20 + 3 = 23; u6 = 23 + 3 = 26.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
