Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
(un): 1; 1; 2; 3; 5; …;
(vn): 0; 2; 4; 6; 8; …;
(wn): 1; –1; 1; –1; …;
(tn): 2; 4; 8; 16; 32; ….
Đáp án đúng là: B
Có v1 = 0, v2 = 2, v3 = 4, v4 = 6, v5 = 8.
Dễ thấy các số hạng của dãy số (vn) là các số chẵn có hiệu giữa hai phần tử liên tiếp là 2 đơn vị.
Do đó (vn) là một cấp số cộng.
Cho các dãy số sau:
(1): 0; 5; 10; 15; 20; …
(2): 1; 4; 9; 16; 25; …
(3): 3; 5; 7; 9; 11; 13; …
(4): 5; –1; –7; –13; –19; …
Các dãy số là cấp số cộng là
1; 2; 3;
1;
2; 3;
1; 3; 4;
Đáp án đúng là: D
• Xét dãy (1) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
5 – 0 = 10 – 5 = … = 5 \(\Rightarrow \) Dãy (1) là cấp số cộng.
• Xét dãy (2) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
4 – 1 = 3; 9 – 4 = 5; … khác nhau \(\Rightarrow \) Dãy (2) không phải cấp số cộng.
• Xét dãy (3) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
5 – 3 = 7 – 5 = … = 2 \(\Rightarrow \) Dãy(3) là cấp số cộng.
• Xét dãy (4) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:
– 1 – 5 = –7 – (– 1) = … = – 6 \(\Rightarrow \) Dãy(4) là cấp số cộng.
Vậy các dãy số thỏa mãn là cấp số cộng là: 1;3;4.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số không phải là một cấp số cộng?
(un): 0; 2; 4; 6; 8; …;
(vn): 1; 5; 9; 13; 17; …;
(wn): 2; –6; 18; –54; …;
(tn): 6; 12; 18; 24; 30; ….
Đáp án đúng là: D
Có w1 = 2, w2 = –6, w3 = 18, w4 = –54.
n | wn+1 – wn |
1 | –8 |
2 | –24 |
3 | –72 |
\(\Rightarrow \) Ta kết luận wn không phải một cấp số cộng.
Vậy D là đáp án đúng.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
–13n + 27;
–13n2 + 27n;
(– 13)n + 27.
Đáp án đúng là: A
Ta có: un+1 = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14
\(\Rightarrow \) un+1 − un = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d= −13.
Dãy số nào dưới đây không là cấp số cộng?
un = −3 − 8n;
un = n + 2;
un = 3n;
un = 3. (−4)n − 8.
Đáp án đúng là: D
•Xét phương án A: un = −3 − 8n.
Ta có un+1 = −3 − 8(n+1) = −11 − 8n
\(\Rightarrow \) un+1 − un = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8
\(\Rightarrow \) (un): un = −3 − 8n là một cấp số cộng với công sai d = −8.
•Xét phương án B: un = n + 2.
Ta có un+1 = n + 1+ 2 = n + 3;
\(\Rightarrow \) un+1 − un = (n + 3) − (n + 2) = 1
\(\Rightarrow \) (un): un = n + 2 là một cấp số cộng với công sai d = 1.
•Xét phương án C: un = 3n.
Ta có un+1 = 3(n + 1) = 3n + 3;
\(\Rightarrow \) un+1 − un = 3n + 3 – 3n = 3
\(\Rightarrow \) C (un) là một cấp số cộng với công sai d = 3.
•Xét phương án D: un = n + 2:
Ta có un+1 = 3.(−4)n+1 − 8;
\(\Rightarrow \) un+1 − un = [3.(−4)n+1 − 8] − [ 3.(−4)n − 8] = 3.(−4)n+1 − 3.(−4)n.
\(\Rightarrow \) (un + 1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n.
Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
\(\Rightarrow \) D đúng.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
\({u_n} = \frac{1}{{n + 2}};\)
\[{u_n} = \frac{{{n^2} - 2}}{n};\]
\({u_n} = \frac{{{2^n}}}{n};\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ ℕ*.
Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: \[{u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + {\rm{2}}} = 2\]
\(\Rightarrow \) Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.
Vậy với mọi n ta có: un = un + 1 nên un + 1 − un = 0.
\(\Rightarrow \) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\);
un = n2 + 2n + 2;
un = n + 10;
un = 2n + 3.
Đáp án đúng là: C
Ta có: un + 1 – un = (n + 1) + 10 – n – 10 = 1
\(\Rightarrow \) un là cấp số cộng có công sai bằng 1.
Cho các dãy số sau đây: vn = −2n2 + n + 1; \({u_n} = \frac{1}{{2n - 3}}\) ; \[{w_n} = \frac{{{n^2} + 2n}}{{{n^2}}}\].Có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
•Ta có: vn+1 = −2(n + 1)2 + (n + 1) + 1= −2n2 − 3n
Xét hiệu: vn + 1 − vn = (−2n2 − 3n) − (−2n2 + n + 1) = −4n – 1.
Do đó, hiệu (vn + 1 − vn) còn phụ thuộc vào n nên (vn) không là cấp số cộng.
•Ta có: un + 1 = – 2(n + 1)2 + (n + 1) + 1
Xét hiệu: un + 1 − un = −2(n + 1)2 + 2n2 + 1 = – 4n – 1 phụ thuộc vào n.
\(\Rightarrow \) (un) không là cấp số cộng.
+ Ta có: \({w_1} = - 1\,;\,\,{w_2} = 1\,;\,\,{w_3} = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \) w3 − w2 ≠ w2 − w1 nên dãy số (wn) không phải là cấp số cộng.
Cho dãy số (un) có . Cấp số cộng có công sai là
0;
4;
(un) không phải là cấp số cộng;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2.
Do đó, dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và \({u_{n + 1}}\; = \sqrt {3{u_n}\; - {\rm{ }}2} \). Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai là bao nhiêu?
0;
3;
2;
Dãy số không phải là cấp số cộng.
Đáp án đúng là: A
Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ ℕ* .
Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: \[{u_{k + 1}} = \sqrt {3{u_k} - 2} = \sqrt {3\,\,.\,\,2 - 2} = 2\]
\(\Rightarrow \) Đúng với n = k + 1, ta có điều phải chứng minh.
Vậy với mọi n ta có: un = un + 1 nên un + 1 − un = 0.
\(\Rightarrow \) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
Khẳng định nào sau đây là đúng về định nghĩa của một cấp số cộng?
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một hằng số.
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số thay đổi theo thời gian.
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một hằng số không đổi.
Cấp số cộng là một dãy số tăng dần đều mà hiệu số hạng sau trừ số hạng trước phải luôn nhận giá trị bằng 0.
Đáp án đúng là: C
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\) (gọi là công sai).
Cho bốn dãy số hữu hạn sau đây. Dãy số nào là một cấp số cộng?
2; 4; 6; 8; 10.
10; 20; 40; 80; 160.
1; 4; 9; 16; 25.
1; 1; 2; 3; 5.
Đáp án đúng là: A
Ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp kề nhau trong từng dãy số:
Với dãy A: 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2; 10 – 8 = 2.
Hiệu luôn là hằng số 2 nên dãy A là cấp số cộng.
Cho dãy số (un) được xác định bởi hệ thức truy hồi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = - 3}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\quad (\forall n \ge 1)}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây mô tả đúng nhất về dãy số này?
Dãy số không phải cấp số cộng vì không có công thức số hạng tổng quát.
Dãy số là một cấp số cộng với công sai d = −3.
Dãy số là một cấp số cộng với công sai d = 5.
Dãy số là một cấp số cộng với công sai d = 2.
Đáp án đúng là: C
Ta có un + 1 = un + 5 => un + 1 un = 5.
Suy ra dãy số này lập thành một cấp số cộng và có công sai d = 5.
Cho dãy số có các số hạng đầu tiên được liệt kê là: \(\frac{1}{2};\frac{5}{6};\frac{7}{6};\frac{3}{2}; \ldots \) Khẳng định nào sau đây là chính xác?
Dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{3}\).
Dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{2}{3}\).
Dãy số là một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{6}\).
Dãy số không phải là cấp số cộng vì hiệu số không bằng nhau.
Đáp án đúng là: A
Ta thực hiện trừ các cặp số hạng liên tiếp kề nhau từ trái qua phải:
\({u_2} - {u_1} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\);
\({u_3} - {u_2} = \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\);
\({u_4} - {u_3} = \frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Vì tất cả các hiệu số hạng liên tiếp đều cho ra cùng một hằng số duy nhất là \(\frac{1}{3}\), nên đây là cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{3}\).
Cho bốn số hạng đầu tiên của một dãy số lập thành một cấp số cộng theo thứ tự là x; 11; 17; y. Tìm giá trị của biểu thức P = x + y.
28.
30.
32.
26.
Đáp án đúng là: A
Gọi 4 số hạng liên tiếp của cấp số cộng này lần lượt là u1 = x; u2 = 11; u3 = 17; u4 = y.
Ta có d = u3 – u2 = 17 – 11 = 6.
Khi đó u2 – u1 = d ⇔ 11 – x = 6 ⇔ x = 5.
Có u4 = u3 + d = 17 + 6 = 23 => y = 23.
Do đó P = x + y = 28.
Cho bốn số hạng đầu tiên của một dãy số hữu hạn là −5; −2; 1; 4. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
Hiệu của số hạng thứ hai và số hạng thứ nhất là u2 – u1 = 3.
Hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kì trong bốn số hạng trên luôn là hằng số không đổi.
Bốn số hạng trên lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = −5 và công sai d = 3.
Số hạng tiếp theo (số hạng thứ 5) của cấp số cộng này theo quy luật trên bằng 6.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. u2 – u1 = −2 + 5 = 3.
b) Đúng. Kiểm tra tiếp các cặp còn lại: 1 – (2) = 3; 4 – 1 = 3. Hiệu luôn cố định bằng 3.
c) Đúng. Cấp số cộng có u1 = −5 và d = 3.
d) Sai. u5 = u4 + d = 4 + 3 = 7.
Xét một dãy số (un) được cho dưới dạng hệ thức truy hồi sau:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 4}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} - 2n\;\left( {\forall n \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\).
Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 4; 2; −2.
Hiệu số un + 1 – un = −2n.
Vì hiệu số un + 1 – un luôn âm với mọi n ≥ 1 nên dãy số này chắc chắn là một cấp số cộng.
Dãy số đã cho không phải là cấp số cộng vì hiệu số un + 1 – un biến thiên phụ thuộc vào chỉ số n, không phải là một hằng số.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. u2 = u1 – 2 = 4 – 2 = 2; u3 = u2 – 4 = 2 – 4 = 2.
b) Đúng. un + 1 – un = −2n.
c) Sai. Định nghĩa cấp số cộng yêu cầu hiệu số bắt buộc phải là một hằng số không đổi.
d) Đúng. Lập luận này hoàn toàn chính xác theo đúng định nghĩa kiểm tra tính chất cấp số cộng.
Xét bài toán chứng minh một dãy số là cấp số cộng. Cho dãy số (un) biết mối liên hệ hệ thức: un + 1 = un + log23 với mọi n ∈ ℕ*.
Định nghĩa cấp số cộng bắt buộc số hạng đầu tiên u1 của dãy số phải bằng 0.
Hiệu số un + 1 un = log23 là một hằng số không đổi với mọi n ≥ 1.
Dãy số (un) đã cho là một cấp số cộng với công sai d = log23.
Nếu ta bình phương tất cả các số hạng để tạo thành dãy số mới (vn) với \({v_n} = u_n^2\), thì dãy số (vn) vẫn là một cấp số cộng.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Định nghĩa cấp số cộng chỉ xét cấu trúc hiệu hai số liên tiếp, còn số hạng đầu u1 có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào tùy ý (dương, âm, hoặc bằng 0).
b) Đúng. un + 1 un = log23.
c) Đúng. Dãy số (un) đã cho là một cấp số cộng với công sai d = log23.
d) Sai. \[{v_{n + 1}} - {v_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2 = \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d \cdot \left( {2{u_n} + d} \right)\].
Biểu thức này chứa biến số un (thay đổi theo n) nên dãy mới không phải là cấp số cộng.
Cho ba số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
Theo định nghĩa cấp số cộng, ta luôn có đẳng thức liên hệ giữa ba số là b – a = c – b.
a + c = 2b.
Nếu cộng thêm vào mỗi số cùng một hằng số k để được bộ ba số mới a + k; b + k; c + k thì bộ ba số này không còn lập thành cấp số cộng nữa.
Ba số 2a; 2b; 2c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng mới.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên b – a = c – b = d.
b) Đúng. Từ b – a = c – b => a + c = 2b.
c) Sai. Có (b + k) – (a + k) = b – a = (c + k) – (b + k) = c – b = d.
Do đó bộ ba số mới này vẫn lập thành một cấp số cộng.
d) Đúng. Có 2b – 2a = 2(b – a) = 2d và 2c – 2b = 2(c – b) = 2d.
Do đó ba số 2a; 2b; 2c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng mới.
Cho dãy số (un) được xác định bởi hệ thức truy hồi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{{u_n} + 1}}\quad \left( {\forall n \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\).
Người ta lập một dãy số mới (vn) bằng cách nghịch đảo các số hạng của dãy cũ, tức là \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\).
Ba số hạng đầu tiên của dãy số cũ là \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{1}{2};{u_3} = \frac{1}{3}\).
Ba số hạng đầu tiên của dãy số mới là v1 = 1; v2 = 2; v3 = 3.
Hiệu vn + 1 – vn = 1.
Dãy số mới (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu v1 = 1 và công sai d = 1.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \({u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_3} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\).
b) Đúng. Nghịch đảo các giá trị tương ứng ở ý a: \({v_1} = \frac{1}{1} = 1,{v_2} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2,{v_3} = \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = 3\).
c) Đúng. \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} = 1 + {v_n} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = 1\).
d) Đúng. Vì hiệu vn + 1 – vn = 1 là hằng số cố định nên dãy số mới (vn) chính xác là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai d = 1.
Cho một cấp số cộng có 4 số hạng đầu tiên được liệt kê lần lượt là: −13; −9; −5; −1. Hãy xác định công sai d của cấp số cộng này.
Đáp án: 4
d = −9 – (−13) = 4.
Cho dãy số (un) thỏa mãn hệ thức truy hồi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 5}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + m - 2\quad \left( {\forall n \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\) (với m là tham số). Biết rằng dãy số này là một cấp số cộng có công sai d = 4. Tìm giá trị nguyên của tham số m.
Đáp án: 6
Ta có un + 1 – un = m – 2.
Để dãy số này là một cấp số cộng và có công sai d = 4 thì m – 2 = 4 ⇔ m = 6.
Trong các dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi dưới đây, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?
Dãy 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} - 3}\end{array}} \right.\); Dãy 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 1}\\{{v_{n + 1}} = {v_n} + n}\end{array}} \right.\); Dãy 3: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 5}\\{{x_{n + 1}} = 2{x_n}}\end{array}} \right.\); Dãy 4: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = - 4}\\{{y_{n + 1}} = {y_n} + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
Đáp án: 2
Dãy 1: un + 1 – un = −3 (là hằng số không đổi => là cấp số cộng).
Dãy 2: vn + 1 – vn = n (hiệu số chứa biến n, thay đổi theo thời gian => Loại).
Dãy 3: \(\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = 2\) (đây là định nghĩa của cấp số nhân => Loại).
Dãy 4: \({y_{n + 1}} - {y_n} = \sqrt 2 \) (là hằng số chứa căn thức cố định => là cấp số cộng).
Vậy có tất cả 2 dãy số thỏa mãn yêu cầu là Dãy 1 và Dãy 4.
Cho một dãy số hữu hạn gồm 5 số hạng được liệt kê lần lượt là −17; −12; −7; x; 3. Biết rằng dãy số đã cho tuân theo đúng định nghĩa của một cấp số cộng. Tìm x.
Đáp án: −2
Gọi 5 số hạng trong dãy lần lượt là u1 = −17; u2 = −12; u3 = −7; u4 = x; u5 = 3.
Ta có d = u2 – u1 = 5.
Do đó u4 = u3 + d = −7 + 5 = −2 = x.
Cho cấp số cộng hữu hạn có 3 số hạng đầu tiên được liệt kê lần lượt là 11; 14; 17; …. Tìm giá trị của số hạng thứ 6 trong dãy trên.
Đáp án: 26
Ta có d = 14 – 11 = 3.
Khi đó u4 = 17 + 3 = 20; u5 = 20 + 3 = 23; u6 = 23 + 3 = 26.
