Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC\) và \(AD\,{\rm{//}}\,BC.\)

Xét \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) và \(\Delta CKB\) vuông tại \(K\) có:

\(AD = BC\) và \(\widehat {ADH} = \widehat {CBK}\) (so le trong của \(AD\,{\rm{//}}\,BC).\)

Do đó \(\Delta AHD = \Delta CKB\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(DH = BK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có \(\Delta AHD = \Delta CKB\) (câu a) nên\(AH = CK\).

Mặt khác: \(AH \bot BD,\,\,CK \bot BD\) nên \(AH\,{\rm{//}}\,CK\)

Do đó tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Ta có: \(AH = HE\) và \(AH = CK\) nên \(HE = CK\)

Mà \(HE\,{\rm{//}}\,CK\) (\(AH\,{\rm{//}}\,CK\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H\))

Do đó tứ giác \(CKHE\) là hình bình hành. Suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,CE\) hay \(BD\,{\rm{//}}\,CE\)(1)

Xét \(\Delta ADE\) có \(DH\) là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ADE\) cân tại \(D\)

Do đó \(DH\) là đường phân giác của \(\Delta ADE\), nên \(\widehat {ADB} = \widehat {EDB}\)

Mà \(\widehat {ADB} = \widehat {CBD}\) nên \(\widehat {EDB} = \widehat {CBD}\)(2)

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác \(CEDB\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Hướng dẫn giải

Từ \(x + y + z = 0\) suy ra \(z = - x - y;\,\,y = - x - z;\,\,x = - y - z.\)

Ta có: \(T = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)

\( = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {{\left( { - y - z} \right)}^2}}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - {{\left( { - x - z} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right)}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - \left( {{z^2} + 2xz + {x^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{xy}}{{ - 2xy}} + \frac{{yz}}{{ - 2yz}} + \frac{{xz}}{{ - 2xz}}\)

\( = \frac{1}{{ - 2}} + \frac{1}{{ - 2}} + \frac{1}{{ - 2}} = - \frac{3}{2}\)

Vậy \(T = - \frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải

Vì tấm lưới dài \(500\,\,{\rm{m}}\), hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) trừ khu nhà kho \[EF = 100\,\,{\rm{m}}\] bằng \(500\,\,{\rm{m}}\).

Suy ra chu vi của mảnh vườn là \(600\,\,{\rm{m}}\), nên nửa chu vi mảnh vườn là \(300{\rm{\;m}}.\)

Do đó chiều rộng của mảnh vườn rào được theo chiều dài \(x{\rm{\;(m)}}\)là: \(300 - x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

\[S = x \cdot \left( {300 - x} \right)\]\( = - {x^2} + 300x\)

 \( = - {x^2} + 2 \cdot x \cdot 150 - {150^2} + {150^2}\)

 \( = - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22\,\,500\)

Với mọi \(x > 0,\) ta có \({\left( {x - 150} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x - 150} \right)^2} \le 0\) hay \( - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22\,\,500 \le 22\,\,500\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 150\).

Vậy diện tích mảnh vườn lớn nhất là \(22\,\,500{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) khi \(x = 150{\rm{\;m}}.\)

Hướng dẫn giải

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: \[50 \cdot 30 = 1\,\,500{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: \(50 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: \(30 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hộp là: \(2x\left( {50 - 2x + 30 - 2x} \right) = 2x\left( {80 - 4x} \right) = - 8{x^2} + 160x{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì \( - 8{x^2} + 160x\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \( - 8{x^2} + 160x = - 8\left( {{x^2} - 20x + 100} \right) + 800 = - 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800\)

Với mọi \(x > 0,\) ta có: \( - 8{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0\) nên \( - 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800 \le 800\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 10 = 0\) hay \(x = 10\).

Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là \(800{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\) khi \(x = 10{\rm{ cm}}\).