Xét hai tam giác vuông AED và BFC có: AD = BC và $\widehat{D}=\widehat{C}$ (ABCD là hình thang cân) nên $\Delta AED=\Delta BFC$ (ch-gn).

$\Rightarrow DE=FC$ 

Xét hai tam giác BDC và ACD có: cạnh DC chung; $\widehat{BCD}=\widehat{ADC}$ và AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\Rightarrow \Delta BDC=\Delta ACD$ (c-g-c)

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{ACD}$ 

$\Rightarrow \Delta ODC$  cân tại O => OD = OC 

Chứng minh tương tự ta có OB = OC.

Theo giá thiết ta có các tam giác ABC và ADE là các tam giác cân nên $\widehat{AED}=\frac{{180}^0-\widehat{EAD}}{2}$ và $\widehat{ACB}=\frac{{180}^0-\widehat{BAC}}{2}$ 

Mặt khác $\widehat{EAD}=\widehat{BAC}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{AED}=\widehat{ACB}$ 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // BC 

=> BCDE là hình thang

Lại có EC = EA + AC = DA + AB = DB  nên BCDE là hình thang cân.

a) Kẻ BE vuông góc với tia DA; BF vuông góc với tia DC

Khi đó do hai tam giác vuông BEA và BFCcó: $\widehat{BAE}=\widehat{BCF}={70}^0$ và AB = BC nên chúng bằng nhau. Do đó: BE = BF 

=> B thuộc tia phân giác $\widehat{ADC}$ hay DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$.

b) tam giác ADB cân tại A có $\widehat{DAB}={110}^0$ nên $\widehat{ADB}={35}^0$ 

$\Rightarrow \widehat{ADC}={70}^0$ (DB là tia phân giác $\widehat{ADC}$)

$\Rightarrow \widehat{ADC}+\widehat{DAB}={70}^0+{110}^0={180}^0$ 

=> AB // DC 

Mà $\widehat{D}=\widehat{C}={70}^0$ nên ABCD là hình thang cân.

Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Khi đó hình thang ABFE có hai cạnh bên song song nên hai cạnh đáy EF = AB =10cm 

Mặt khác theo câu 4 thì DE = CF nên $DE=CF=\frac{24-10}{2}=2cm$ 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác tính được $BF=3\sqrt{69}cm$ 

a) Các tứ giác $AEM\text{}F; BDMF; CDME$ có một cặp cạnh đối song song và có các góc ở đáy đều bằng ${60}^0$  nên chúng là các hình thang cân.

Do đó: $\widehat{EMF}=\widehat{EMD}=\widehat{DMF}=\widehat{A}={60}^0$ 

b) Vì các tứ giác $AEM\text{}F;BDMF;CDME$ là các hình thang cân nên $MA=EF;MB=FD;MC=ED$ 

$MA;MB;MC$ bằng độ dài ba cạnh của một tam giác nên suy ra đpcm

Xét hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy AB và CD $\left(AB\le CD\right)$, kẻ các đường cao AE và BF.

Ta có hình thang ABFE có hai cạnh bên song song(cùng vuông góc với DC) nên suy ra hai cạnh đáy bằng nhau.

Dó đó EF = AB và $DE=CF=\frac{CD-AB}{2}$

Ta có $EC=E\text{}F+FC=AB+\frac{CD-AB}{2}=\frac{AB+CD}{2}$ 

=> EC bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD 

Lại xét trong tam giác vuông AEC vuông tại E ta có: EC < AC 

Vậy, trong hình thang cân, độ dài đường trung bình luôn bé hơn đường chéo.