c.  Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có:

$\left|x+3\right|=\left[\begin{array}{l}x+3khix\ge -3\\ -x-3khix<-3\end{array}\right.$

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x\ge -3$ phương trình có dạng:

$x+3=3x-1\iff 2x=4\iff x=2$, thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Nếu x < -3 phương trình có dạng:

$-x-3=3x-1\iff 4x=-2\iff x=-\frac{1}{2}$, không thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương có nghiệm x = 2.

Cách 2: Với điều kiện:

$3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$              (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi:

$\left[\begin{array}{l}x+3=3x-1\\ x+3=-(3x-1)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2x=4\\ 4x=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-\frac{1}{2}\text{(loại) }\end{array}\right.$

Vậy, phương có nghiệm x = 2.

d. Viết lại phương trình dưới dạng:

$\left|x-4\right|=5-3x$.

 Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có:

$\left|x-4\right|=\left[\begin{array}{l}x-4khix\ge 4\\ -x+4khix<4\end{array}\right.$

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x\ge 4$ phương trình có dạng:

$x-4=5-3x\iff 4x=9\iff x=\frac{9}{4}$, không thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Nếu x < 4 phương trình có dạng:

$-x+4=5-3x\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương có nghiệm $x=\frac{1}{2}$.

Cách 2: Với điều kiện:

$5-3x\ge 0\iff x\le \frac{5}{3}$              (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi:

$\left[\begin{array}{l}x-4=5-3x\\ x-4=-(5-3x)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4x=9\\ 2x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{9}{4}\left(loại\right)\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy, phương có nghiệm $x=\frac{1}{2}$.

a. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x+1\ge 0\iff x\ge -1$                                      (1)

Khi đó, phương trình có dạng:

$x+1=x^2+x\iff x^2=1$

$\iff x=\pm 1$, thỏa mãn điều kiện (1).

Trường hợp 2: Nếu $x+1<0\iff x<-1$                                      (2)

Khi đó, phương trình có dạng:

$-(x+1)=x^2+x\iff x^2+2x+1=0\iff {(x+1)}^2=0$

$\iff x=-1$, không thỏa mãn điều kiện (2).

Vậy, phương trình có hai nghiệm $x=\pm 1$

b. Viết lại phương trình dưới dạng:

$\left|x^2-2x\right|=2x-4$.

Với điều kiện:

$2x-4\ge 0\iff x\ge 2$                                    (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi:

$\left|x^2-2x\right|=2x-4\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-2x=2x-4\\ x^2-2x=-(2x-4)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-4x+4=0\\ x^2=4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{(x-2)}^2=0\\ x=\pm 2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2không thoả mãn (*)\end{array}\right.$

Vậy, phương trình có nghiệm x =2.

Nhận xét rằng:

$$\begin{gathered} x-1\ge 0\iff x\ge 1 \\ x-3\ge 0\iff x\ge 3 \end{gathered}$$

Do đó, để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình chúng ta cần phải xét ba trường hợp.

Trường hợp 1: Nếu $x\le 1$                                        (1)

Khi đó, phương trình có dạng:

$-(x-1)-(x-3)=2\iff -2x+4=2$

<=> x = 1, thỏa mãn điều kiện (1).

Trường hợp 2: Nếu 1 < x < 3                                   (2)

Khi đó, phương trình có dạng:

$(x-1)-(x-3)=2\iff 2=2$, luôn đúng.

Trường hợp 3: Nếu $x\ge 3$                                        (3)

Khi đó, phương trình có dạng:

$(x-1)+(x-3)=2\iff 2x-4=2$

<=> x = 3, thỏa mãn điều kiện (3).

Vậy, phương trình có nghiệm $1\le x\le 3$.