a) Vì C đối xứng với A qua BD nên $\Delta ABD$đối xứng với $\Delta CBD$ qua BD.

Do đó $\Delta ABD=\Delta CBD$, suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2};\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$; $BA=BC$ và $DA=DC$.

Ta có BD và BE là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh B nên $BD\perp BE$.

Chứng minh tương tự, ta được: $BD\perp DH$.

Suy ra EF // HG => Tứ giác EFGH là hình thang.

Ta có $\widehat{D_3}=\widehat{D_4}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau).

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (một nửa của hai góc bằng nhau).

Suy ra $\widehat{H}=\widehat{G}$

Hình thang EFGH có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Chứng minh tương tự, ta được: BE = BF.

a) Các đoạn thẳng AM và AN đối xứng với AD lần lượt qua AB và AC nên:

$AM=AD;AN=AD;\widehat{A_1}=\widehat{A_2};\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$.

Ta có:

$\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}=2\left(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}\right)=2\widehat{BAC}$ (không đổi).

b) Xét $\Delta AMN$có AM =AN (cùng bằng AD) nên là tam giác cân. Tam giác cân này có góc MAN không đổi nên cạnh đáy MN ngắn nhất

<=> cạnh bên AM ngắn nhất <=> AD ngắn nhất (vì AM = AD)

$\iff AD\perp BC\iff$ D là hình chiếu của A trên BC.

Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó $MF=DF;EN=ED$.

Chu vi $\Delta DEF=DF+FE+ED=MF+FE+EN$

Chu vi $\Delta DEF$ nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó.

Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất.

Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12).

Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi $\Delta DEF$nhỏ nhất.

Thật vậy, khi $AD\perp BC$thì chu vi $\Delta DEF$ bằng MN và MN nhỏ nhất.      (1)

Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi $\Delta DEF$ bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN.  (2)

Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của $\Delta ABC$.

Thật vậy, xét $\Delta DEF$ có các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.

Ta có: $DC\perp DA$ nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của $\Delta DEF$.

Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.

Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra $FC\perp FB$ hay $CF\perp AB$.

Chứng minh tương tự, ta được $BE\perp AC$.

Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.

Giả sử đã dựng được hai điểm C và D $\in xy$sao cho CD = a và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.

Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).

Khi đó BM = CD = a và DM = BC

Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm cố định và DN = DM.

Ta có AB + BC + CD+ DA nhỏ nhất

<=> BC + DA nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)

<=> DM + DA nhỏ nhất <=> DN + DA nhỏ nhất <=> D nằm giữa A và N.

Từ đó ta xác định điểm D như sau:

- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM = a(điểm M ở phía gần A);

- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;

- Lấy giao điểm D của AN với xy;

- Lấy điểm $C\in xy$ sao cho DC = MB = a (DC và MB cùng chiều).

Khi đó tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất.

Phần chứng minh dành cho bạn đọc.

a)

- AN đối xứng với AM qua AB

=> AN = AM và $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}$.       (1)

- AP đối xứng với AM qua AC

=> AP = AM và $\widehat{MAC}=\widehat{PAC}$.      (2)

·- AA' đối xứng với AM qua AD nên $\widehat{MAD}=\widehat{A^{\text{'}}AD}$.

Mặt khác, $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ nên $\widehat{MAB}=\widehat{CA{A}^{\text{'}}}$ (3)

Từ (1) và (3) suy ra $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}=\widehat{CA{A}^{\text{'}}}$.

Ta có $\widehat{A^{\text{'}}AP}=\widehat{A^{\text{'}}AC}+\widehat{PAC}=\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}$.

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{A^{\text{'}}AN}=\widehat{BAC}$, suy ra: $\widehat{A^{\text{'}}AP}=\widehat{A^{\text{'}}AN}$.

$\Delta ANP$ cân tại A có AA' là đường phân giác nên AA' cũng là đường trung trực của NP N và P đối xứng qua AA'.