$\Delta ABC\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}\Rightarrow \frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=k$ 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{AB+AC+BC}{A\text{'}B\text{'}+A\text{'}C\text{'}+B\text{'}C\text{'}}=k=\frac{C_{\Delta ABC}}{C_{\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}$  

Với $C_{\Delta ABC}$ là chu vi tam giác ABC và $C_{\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$ là chu vi tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ 

$\Delta ABC\Delta DEF\Rightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$ .

$\Delta ABC$ cạnh nhỏ nhất là cạnh $AB=6cm$ . Nên cạnh nhỏ nhất của $\Delta DEF$ là $DE=9cm$

Ta có: $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{14}{DF}=\frac{10}{EF}$ 

Từ đó tính được $DF=21cm;EF=15cm$ 

Các cặp tam giác đồng dạng:

$\Delta \text{ABC\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}△\text{EBD}$ ;  $\Delta ABC\Delta FDC;$ $\Delta FDC\Delta EBD$ ( vì cùng đồng dạng với $\Delta ABC$)

*$\Delta \text{ABC\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}△\text{EBD}$

$\Rightarrow \widehat{ BAC}=\widehat{BED};\widehat{ABC}=\widehat{EBD};\widehat{ACB}=\widehat{EDB}$ ; 

$\frac{AB}{EB}=\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{ED}=\frac{3}{1}$

$\Delta ABC\Delta FDC$ có :$\frac{AC}{FC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{FD}=\frac{3}{2}$

* $\Delta FDC\Delta EBD$ có: $\frac{FC}{ED}=\frac{CD}{DB}=\frac{FD}{EB}=\frac{2}{1}$

Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng

*  $\Delta DFC \Delta BED$ theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{CD}{DB}=\frac{2}{1}$

Do đó: $\frac{P_{\Delta DFC}}{P_{\Delta BED}}=\frac{2}{1}\Rightarrow P_{\Delta DFC}=2P_{\Delta BED}$

Mà theo giả thiết: $P_{\Delta DFC}-P_{\Delta BED}=30\Rightarrow 2P_{\Delta BED}-P_{\Delta BED}=30\Rightarrow P_{\Delta BED}=30\left(cm\right)$

Tam giác đồng dạng với $\Delta ADC$ 

* $\Delta ADC\Delta ADC$. Tỉ số đồng dạng: $k_1=1$ 

* $\Delta ADC\Delta CBA$. Tỉ số đồng dạng: $k_1=1$ (hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng)

$\Delta ADC \Delta AME$ theo tỉ số đồng dạng $k_2=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$

$\Delta ADC \Delta CNE$  theo tỉ số đồng dạng $k_3=\frac{AC}{CE}=\frac{3}{2}$

E là trung điểm của MN thì $EM=EN$ suy ra: $\frac{EM}{EN}=1$

Ta có: $\Delta AME\Delta CNE$ (cùng đồng dạng với $\Delta ADC$ )

suy ra: $\frac{AE}{CE}=\frac{EM}{EN}=1\Rightarrow AE=CE=1$

Suy ra E là trung điểm của AE

Cách 1: - Tại đỉnh A dựng tam giác $AB\text{'}C\text{'}$ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $k=\frac{2}{3}$ bằng cách

Kẻ $B\text{'}C\text{'}\text{//}BC$ sao cho $\frac{A{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{A{C}^{\text{'}}}{AC}=\frac{2}{3}$

- Tam giác có 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trên, sẽ được ba tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$ .

Cách 2: - Ta có cách dựng thứ 2 bằng cách vẽ $B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}\text{//}BC$ sao cho: $\frac{AB\text{'}\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}\text{'}}{AC}=\frac{2}{3}$

- -Tam giác có 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trên, sẽ được ba tam giác đồng dạng với tam giác ABC

Kết luận: Ta có thể dựng được sáu tam giác đồng dạng với tam giác ABC ( trong đó tại mỗi đỉnh có một cặp tam giác bằng nhau)