Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng song song

ABCD là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ và $AD\parallel BC$, suy ra $AE\parallel FC,AG\parallel HC$.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $AE\parallel FC$ và $AG\parallel HC$, ta được:

                      $\left\{\begin{array}{c}\frac{EI}{IF}=\frac{AI}{IC}\\ \frac{GI}{IH}=\frac{AI}{IC}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{EI}{IF}=\frac{GI}{IH}$  .

Điều này chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh $IF,IH$ của tam giác IHF và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên $EG\parallel HF$ (theo định lí Ta-lét đảo).

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $AE\parallel BC$ và , ta được:

           $\frac{OE}{OB}=\frac{OA}{OC}$  (1);  $\frac{OB}{OD}=\frac{OG}{OA}$(2).

Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:

                      $\frac{OE}{OB}.\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}.\frac{OG}{OA}\Rightarrow \frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OC}$  .

Điều này chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh $OD,OC$ của tam giác OCD và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên $EG\parallel DC$ (theo định lí Ta-lét đảo).

Gọi I,M lần lượt là giao điểm của AE với BK và CK với AB.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $AI\parallel MK$ và $IE\parallel KC$, thu được:

           $\left\{\begin{array}{c}\frac{AI}{MK}=\frac{BI}{BK}\\ \frac{BI}{BK}=\frac{IE}{KC}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{AI}{MK}=\frac{IE}{KC}\Rightarrow \frac{AI}{IE}=\frac{MK}{KC}$  (1).

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $MA\parallel DC$, ta được:

             $\frac{MK}{KC}=\frac{AK}{KD}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AI}{IE}=\frac{AK}{KD}$. Điều này chứng tỏ đường thẳng KI cắt hai cạnh $AD,AE$ của tam giác ADE và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên $KI\parallel DE$, hay $KB\parallel DE$ (theo định lí Ta-lét đảo).