Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng có đáp án

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC 
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

                        $\frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$,

Hay $\frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}\left(cm\right);EC=\frac{42}{11}\left(cm\right)$.

Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào tam giác ABC, ta được:

                        $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{DC}=\frac{4}{5}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AB=4t\\ BC=5t\end{array}\right.$ (với $t>0$).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông ở A, ta được:

            $B{C}^2=C{A}^2+A{B}^2$ hay ${\left(5t\right)}^2=9^2+{\left(4t\right)}^2$

                                                $\iff {\left(3t\right)}^2=9^2\iff 3t=9\iff t=3$ (vì $t>0$).

Vậy $AB=12\left(cm\right);BC=15\left(cm\right)$.

Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài AE vào tam giác ABC, ta được:$\frac{EB}{EC}=\frac{BA}{CA}=\frac{BA}{3BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{EB}{1}=\frac{EC}{3}$