Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 05
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phát biểu nào sau đây là mệnh đề?
Em thích học môn Toán không?
Hãy làm bài kiểm tra nghiêm túc!
Đông Phú là thị trấn của huyện Quế Sơn.
\(3x + 5\) chia hết cho 7.
Đáp án đúng là: C
Đông Phú là thị trấn của huyện Quế Sơn là một mệnh đề.
Cho \(b\) là một phần tử của tập hợp \(S\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(b \subset S\).
\(b \in S\).
\(S \subset b\).
\(\left\{ b \right\} \in S\).
Đáp án đúng là: B
\(b \in S\).
Cho \(M = \left[ { - 2;3} \right],N = \left( {0;7} \right)\). Tập \(M \cup N\) là
\(\left[ { - 2;7} \right)\).
\(\emptyset \).
\(\left( {0;3} \right]\).
\(\left[ { - 2;0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(M \cup N = \left[ { - 2;7} \right)\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\},B = \left\{ {2;3;5;6;7} \right\}\). Khi đó \(A \cap B = ?\)
\(\left\{ {2;3} \right\}\).
\(\left\{ 3 \right\}\).
\(\left\{ {3;5} \right\}\).
\(\left\{ {2;3;5} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
\(A \cap B = \left\{ {2;3;5} \right\}\).
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn \(x,y\)?
\(\left\{ \begin{array}{l}xy - y < - 3\\x + 2y \ge - 4\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < - 3\\x + {5^2}y \ge - 4\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < - 3\\{x^2} + 2xy \ge - 4\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - {y^2} < - 3\\x + y \ge - 4\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < - 3\\x + {5^2}y \ge - 4\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biết miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge m\\x - 5y < m + 2\end{array} \right.\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên?
1.
4.
3.
2.
Đáp án đúng là: D
Do miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge m\\x - 5y < m + 2\end{array} \right.\) chứa gốc tọa độ nên
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \ge m\\0 < m + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \ge m\\m > - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 2 < m \le 0 \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).
Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số bậc hai nào?
\(y = {x^2} - 3x + 1\).
\(y = 2{x^2} - 3x + 1\).
\(y = - {x^2} + 3x - 1\).
\(y = - 2{x^2} + 3x - 1\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).
Do đó chọn B.
Bảng biến thiên sau đây là bảng biến thiên của hàm số nào?
\(y = {x^2} + 4x\)
\(y = - {x^2} - 4x - 8\).
\(y = - {x^2} - 4x + 8\).
\(y = - {x^2} - 4x\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên, ta có tọa độ đỉnh \(I\left( { - 2; - 4} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\). Do đó chọn B.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x - 15 \le 0\) là
\(6\).
\(5\).
\[8\].
\[7\].
Đáp án đúng là: A
Xét \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15\).
\(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {129} }}{4}\).
Ta có bảng xét dấu:
\(x\) |
| \(\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4}\) |
| \[\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}\] |
|
\(f\left( x \right)\) | \( + \) | \(0\) | \( - \) | \(0\) | \( + \) |
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]\).
Do đó bất phương trình có \(6\) nghiệm nguyên là \( - 2\), \( - 1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\).
Số nghiệm của phương trình \[\sqrt {3x - 2} = x\] là
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\sqrt {3x - 2} = x\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x - 2 = {x^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].
Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.
Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \).
\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \).
Đáp án đúng là: A
\(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \).
Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AC} } \right)\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một trò chơi chọn ô chữ đơn giản mà kết quả gồm một trong hai khả năng: Nếu người chơi chọn được chữ \(A\) thì người ấy được cộng 3 điểm, nếu người chơi chọn được chữ \(B\) thì người ấy bị trừ 1 điểm. Người chơi chỉ chiến thắng khi đạt được số điểm tối thiểu là 20 . Gọi \(x,y\) theo thứ tự là số lần người chơi chọn được chữ \(A\) và chữ \(B\). Khi đó:
a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ \(A\) là \(3x\), tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ \(B\) là \(y\).
b) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) trong tình huống người chơi chiến thắng là \(3x - y \ge 18.\)
c) Người chơi chọn được chữ \(A\) 7 lần và chọn được chữ \(B\) 1 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi.
d) Người chơi chọn được chữ \(A\) 8 lần và chọn được chữ \(B\) 4 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi.
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ \(A\) là \(3x\), tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ \(B\) là \(y\).
b) Với \(x,y \in \mathbb{N}\), ta có bất phương trình: \(3x - y \ge 20\quad (*)\).
c) Thay cặp số \((7;1)\) vào bất phương trình \((*):3.7 - 1 \ge 20\) (đúng), suy ra \((7;1)\) là một nghiệm của \((*)\). Điều này cho thấy nếu người chơi chọn được chữ \(A\) 7 lần và chọn được chữ \(B\) 1 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi.
d) Thay cặp số \((8;4)\) vào bất phương trình \((*):3.8 - 4 \ge 20\) (đúng), suy ra \((8;4)\) là một nghiệm của \((*)\). Điều này cho thấy nếu người chơi chọn được chữ \(A\) 8 lần và chọn được chữ \(B\) 4 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Parabol \(y = - 2{x^2} + 4x - 7\) có trục đối xứng là \(x = 1\).
b) Paraol \(y = 3{x^2} + 5x + 2\) có tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{5}{6}; - \frac{1}{{12}}} \right)\).
c) Parabol \(y = {x^2} + 5x - 6\) cắt trục hoành tại \(A\left( {1;0} \right)\) và \(B\left( { - 6;0} \right)\).
d) Parabol \(y = 3{x^2} + 6x - 1\) đồng biến trên \(\left( { - 2017; - 1} \right)\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(y = - 2{x^2} + 4x - 7\) có trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}} = 1\).
b) \(y = 3{x^2} + 5x + 2\) có tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) = \left( { - \frac{5}{6}; - \frac{1}{{12}}} \right)\).
c) Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + 5x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\).
Tọa độ giao điểm \(A\left( {1;0} \right)\) và \(B\left( { - 6;0} \right)\).
d) \(y = 3{x^2} + 6x - 1\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Do \(\left( { - 2017; - 1} \right) \not\subset \left( { - 1; + \infty } \right)\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\,\)
a) \(\cos \alpha < 0\).
b) \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
c) \(\frac{{\sin \alpha + 2\sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }} = \frac{4}{3}\).
d) \(\frac{{\sin \alpha - \cos (180^\circ - \alpha )}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) + \sin (180^\circ - \alpha )}} = - 1\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Do \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \Rightarrow \cos \alpha < 0\,\).
b) Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\,\,do\,\,\,\cos \alpha < 0\,\,\, \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) .
c) Thay các kết quả \(\frac{{\sin \alpha + 2\sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3} + 2\sqrt 5 .\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}}{{2.\frac{2}{3} + \sqrt 5 .\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}} = 8\) .
d) Dùng công thức góc bù, góc phụ ta có
\(\frac{{\sin \alpha - 2024\cos (180^\circ - \alpha )}}{{2024\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) + \sin (180^\circ - \alpha )}} = \frac{{\sin \alpha + 2024\cos \alpha }}{{2024\cos \alpha + \sin a}} = 1\).
Cho tam giác \(ABC\) có có \(AB = 4\sqrt 2 ,AC = 6,\widehat {BAC} = 45^\circ \). Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 20\).
b) \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) \(BC = 3\sqrt 5 \).
d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 24\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) \({\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {AB} ^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {(4\sqrt 2 )^2} = 20\).
Suy ra \(BC = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).
d) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)
Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Một nhà phân phối bánh gạo có hai nhà kho ở phía Đông và phía Tây của thành phố. Kho ở phía Đông có \(80\) thùng bánh gạo, kho ở phía Tây có \(45\) thùng bánh gạo. Sáng thứ Hai đầu tuần, đại lí \(A\) cần \(50\) thùng bánh gạo, đại lí \(B\) cần \(70\) thùng bánh gạo. Chi phí giao hàng cho mỗi thùng bánh gạo của kho ở phía Đông là \(10\) nghìn đồng cho đại lí \(A\) và \(12\) nghìn đồng cho đại lí \(B\). Chi phí giao hàng cho mỗi thùng bánh gạo của kho ở phía Tây là \(9\) nghìn đồng cho đại lí \(A\) và \(11\) nghìn đồng cho đại lí \(B\). Chi phí vận chuyển là nhỏ nhất nhà phân phối cần phải trả là bao nhiêu nghìn đồng?
Trả lời: 1295
Gọi \(x,y\) ( \(x \ge 0;y \ge 0\)) lần lượt là số thùng bánh gạo được nhà phân phối chuyển từ kho phía Đông tới hai đại lí \(A\) và \(B.\)
Khi đó \(50 - x;70 - y\)lần lượt là số thùng bánh gạo được nhà phân phối chuyển từ kho phía Tây tới hai đại lí \(A\) và \(B.\)
Ta có hệ bất phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 80\\50 - x + 70 - y \le 45\\0 \le x \le 50\\0 \le y \le 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \le 80\\x + y \ge 75\\0 \le x \le 50\\0 \le y \le 70\end{array} \right.\)
Tổng chi phí giao hàng
\(F\left( {x;y} \right) = 10x + 12y + (50 - x).9 + (70 - y).11{\rm{ }} = {\rm{ }}1220 + x + y{\rm{ }}\)
Miền nghiệm biểu diễn là miền tứ giác \(ABCD\)có \(A\left( {5;70} \right);B\left( {10;70} \right);C\left( {50;30} \right);D\left( {50;25} \right)\)
Tính giá trị của \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh \(A,B,C,D\)ta tìm được GTNN là \(F\left( {5;70} \right) = F\left( {50;25} \right) = 1295\).
Anh T cần đặt một tiệc cưới ước tính khoảng 30 đến 35 bàn.
Nhà hàng 1: đề nghị anh T đóng tiền cố định 20 triệu đồng, sau khi tiệc cưới diễn ra thì sẽ đóng khoản còn lại với số tiền 2 triệu đồng/1 bàn.
Nhà hàng 2: đề nghị anh T đóng tiền cố định 10 triệu đồng, sau khi tiệc cưới diễn ra sẽ đóng khoản còn lại với số tiền 2,5 triệu/1 bàn.
Để tiết kiệm được chi phí cho tiệc cưới, anh T nên lựa chọn nhà hàng \(n\) (giả sử chất lượng phục vụ hai nhà hàng trên là ngang nhau). Giá trị \(n\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 1
Gọi \(x\) là số bàn tiệc thực tế trong đám cưới ( \(x\) nguyên dương và \(x \in [30;35]\) ) và \(y\) (triệu đồng) là số tiền mà người đó phải trả cho nhà hàng.
Nếu đăng ký tại nhà hàng thứ nhất, người đó sẽ trả tiền theo công thức: \(y = 2x + 20\).
Với \(x \in [30;35]\) thì \(y \in [80;90]\), tức là người đó phải trả khoản tiền khoảng 80 triệu đến 90 triệu cho nhà hàng thứ nhất.
Nếu đăng ký tại nhà hàng thứ hai, người đó sẽ trả tiền theo công thức: \(y = 2,5x + 10\).
Với \(x \in [30;35]\) thì \(y \in [85;97,5]\), tức là người đó phải trả khoản tiền khoảng 85 triệu đến 97,5 triệu cho nhà hàng thứ hai.
Vậy, nếu chất lượng phục vụ hai nhà hàng là tương đương, người đó nên chọn nhà hàng thứ nhất để tiết kiệm một khoản chi phí tiệc cưới.
Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là 21 m và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu (t nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên 10 m so với mặt đất?
Trả lời: 5
Ta có đường đi của quả bóng có dạng: \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx\).
Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là 21 m nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{{2a}} = 3\\9a + 3b = 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 6a = 0\\9a + 3b = 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{7}{3}\\b = 14\end{array} \right.\).
Do đó \(y = \frac{{ - 7}}{3}{x^2} + 14x\).
Để quả bóng đạt độ cao trên 10 m thì \(\frac{{ - 7}}{3}{x^2} + 14x > 10 \Leftrightarrow 0,83 < t < 5,17\).
Vì t lớn nhất và t nguyên nên \(t = 5\).
Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là \(27\) (triệu đồng) và bán ra với giá là \(31\) triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là \(600\) chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \(1\) triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm \(200\) chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Trả lời: 30,5
Gọi \(x\) (triệu) đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\).
Khi đó:
Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là \(31 - x - 27\)\( = 4 - x\) (triệu đồng).
Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là \(600 + 200x\) (chiếc).
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là
\(f\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {600 + 200x} \right)\)\( = - 200{x^2} + 200x + 2400\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 200{x^2} + 200x + 2400\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) có bảng biến thiên
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = 2\,450\)\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy giá mới của chiếc xe là \(30,5\) triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.
Hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một vật đặt tại điểm \(O\). Biết hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều có cường độ là 20 N và chúng hợp với nhau một góc \(80^\circ \). Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu Newton (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Trả lời: 30,64
Dựng \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} \) và \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \). Khi đó \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OC} \).
Ta có \(OA = OB = 20,\widehat {AOB} = 80^\circ \) và \(OACB\) là hình thoi nên
\(OA = AC = 20;\widehat {AOC} = \widehat {ACO} = 40^\circ ,\widehat {OAC} = 100^\circ \).
Áp dụng định lý côsin cho tam giác \(OAC\) ta có:
\(OC = \sqrt {O{A^2} + A{C^2} - 2OA.AC.\cos \widehat {OAC}} \)\( = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2} - 2.20.20.\cos 100^\circ } \approx 30,64\).
Vậy vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng \(30,64\) N.
Để đo chiều cao của một cột cờ trên đỉnh một toà nhà anh Bắc đã làm như sau: Anh đứng trên một đài quan sát có tầm quan sát cao 5 m so với mặt đất, khi quan sát anh đo được góc quan sát chân cột là \(40^\circ \) và góc quan sát đỉnh cột là \(50^\circ \), khoảng cách từ vị trí quan sát đến tòa nhà là \(18{\rm{m}}\). Tổng chiều cao cột cờ và chiều cao của toà nhà là bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 26,4
Trong tam giác vuông \(DAC\) ta có
\[AC = \frac{{DC}}{{\cos \widehat {ACD}}} = \frac{{18}}{{\cos 40^\circ }} \approx 23,5\left( {\rm{m}} \right)\].
\(AD = DC.\tan \widehat {ACD} = 18.\tan 40^\circ \approx 15,1\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy chiều cao tòa nhà: \(AE = AD + DE = 15,1 + 5 = 20,1\left( {\rm{m}} \right)\).
Trong tam giác vuông \(BCD\), ta có \(BC = \frac{{DC}}{{\cos \widehat {BCD}}} = \frac{{18}}{{\cos 50^\circ }} \approx 28\left( {\rm{m}} \right)\).
Mặt khác, ta có \(\widehat {BCA} = \widehat {BC{\rm{D}}} - \widehat {AC{\rm{D}}} = 10^\circ \), do đó ta có:
\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat {BCA}} = \sqrt {{{23,5}^2} + {{28}^2} - 2.23,5.28.\cos 10^\circ } \approx 6,3\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều cao cột cờ: \(6,3{\rm{(m)}}\)
Vậy tổng chiều cao của tòa nhà và cột cờ là \(20,1 + 6,3 = 26,4\left( {\rm{m}} \right)\).
