Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 9
24 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} + x = 1\)” là mệnh đề
“\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} + x \ne 1\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} + x = 1\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} + x \ne 1\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} + x \ge 1\)”.
Đáp án đúng là: C
Phủ định của “\(\exists \)” là “\(\forall \)”, phủ định của “=” là “\( \ne \)”.
Vậy phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} + x = 1\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} + x \ne 1\)”.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,11;\,\,13;\,\,17} \right\}\). Tập hợp nào dưới đây là một tập con của tập hợp \(A\)?
\(M = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}\);
\(N = \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}\);
\(P = \left\{ {5;\,\,7;\,\,8;\,\,9} \right\}\);
\(Q = \left\{ {3;\,\,5;\,\,7;\,\,17} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Trong 4 tập hợp \(M,\,N,\,P,\,Q\) chỉ có tập hợp \(Q\) là tập con của tập \(A\) do mọi phần tử của tập \(Q\) đều là phần tử của tập \(A\).
Cho hai tập hợp: \(A = \left[ { - 1;\,\,4} \right],B = \left[ {0;\,\,6} \right)\). Khi đó \(A\backslash B\) là tập hợp nào sau đây?
\(\left[ { - 1;\,\,0} \right)\);
\(\left[ { - 1;\,\,0} \right]\);
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,6} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A\backslash B = \left[ { - 1;\,\,4} \right]\backslash \left[ {0;\,\,6} \right) = \left[ { - 1;\,\,0} \right)\).
Bạn Hồng có một khoản tiền tiết kiệm trong heo đất là 2 triệu đồng. Trong đợt ủng hộ trẻ em mồ côi, Hồng lấy ra \(x\) tờ tiền mệnh giá 50 nghìn đồng và \(y\) tờ tiền mệnh giá 100 nghìn đồng để trao tặng. Một bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x\) và \(y\) là
\[x + 2y > 40\];
\(x + 2y = 40\);
\(x + 2y \le 40\);
\(x + 2y < 400\).
Đáp án đúng là: C
Ta có 2 triệu đồng chính là 2 000 nghìn đồng.
Tổng số tiền bạn Hồng lấy ra để trao tặng là \(50x + 100y\) (nghìn đồng)
Vậy một bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x\) và \(y\) là \(50x + 100y \le 2\,\,000\) tương đương với \(x + 2y \le 40\).
Hệ bất phương trình nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y > 3\\x - y \le 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2xy > 2\\x - 5y < 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 2\\x - y < 1\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng
\(\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {3;\,\,5} \right)\);
\(\left( {0;\,\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {0;\,\,1} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\,1} \right)\).
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Khi đó hàm số đã cho có hệ số \(a\) thỏa mãn
\(a > 0\);
\(a < 0\);
\(a = 1\);
\(a = 5\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + 2mx + 5\) bằng 1 khi giá trị của tham số \(m\) là
\(m = \pm 2\);
\(m = \pm 4\);
\(m = 4\);
Không có \(m\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {x^2} + 2mx + 5\) có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2m}}{{2.1}} = - m\).
Theo bài ra ta có: \(y\left( { - m} \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 2m.\left( { - m} \right) + 5 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\).
Biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = 3 - 4x - {x^2}\);
\(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{1}{x} + 6\);
\(f\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2{x^2} + 2\);
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = 3 - 4x - {x^2}\) là một tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{1}{x} + 6\) không là tam thức bậc hai vì chứa ẩn ở mẫu.
\(f\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2{x^2} + 2\) không là tam thức bậc hai vì có bậc là 4.
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\) không là tam thức bậc hai vì có bậc là 3.
Khẳng định nào sau đây là đúng với tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\)?
\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\) có \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 3.1 = - 2 < 0\) và \(a = 3 > 0\).
Do đó \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x - 15 \le 0\) là
5;
6;
7;
8.
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15\) có hai nghiệm là \({x_1} = \frac{{3 - \sqrt {129} }}{4}\), \({x_2} = \frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}\).
Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) \(\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4}\) \(\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]\).
Do đó, bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên là – 2; – 1; 0; 1; 2; 3.
Khẳng định nào sau đây là đúng với phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 64x + 97} = 3x - 11\)?
Phương trình vô nghiệm;
Phương trình có một nghiệm;
Tổng các nghiệm của phương trình là – 1;
Phương trình có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 64x + 97} = 3x - 11\) ta được:
\(11{x^2} - 64x + 97 = 9{x^2} - 66x + 121\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \({x^2} + x - 12 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - 4\) hoặc \(x = 3\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 12x - 14} = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6} \)?
\(x = \frac{2}{3}\);
\(x = 4\);
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 12x - 14} = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6} \) ta được:
\(2{x^2} - 12x - 14 = 5{x^2} - 26x - 6\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(3{x^2} - 14x + 8 = 0\). Từ đó suy ra \(x = \frac{2}{3}\) hoặc \(x = 4\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 5\sqrt 5 ,\,AC = 5\sqrt 2 ,\,AB = 5\). Số đo góc \(A\) là
\(60^\circ \);
\(45^\circ \);
\(30^\circ \);
\(135^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{5^2} + {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {5\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 5\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat A = 135^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\), \(AC = 6\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 7\,{\rm{cm}}\). Diện tích (làm tròn đến hàng phần trăm) của tam giác \(ABC\) là
\(11,96\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\);
\(11,97\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\);
\(11,98\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\);
\(11,99\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Đáp án đúng là: C
Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{4 + 6 + 7}}{2} = 8,5\) (cm).
Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích ta có:
\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \)
\( = \sqrt {8,5 \cdot \left( {8,5 - 4} \right) \cdot \left( {8,5 - 6} \right) \cdot \left( {8,5 - 7} \right)} \approx 11,98\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Có tất cả bao nhiêu véctơ khác vectơ – không có điểm đầu, điểm cuối là hai điểm trong ba điểm \(A\), \(B\), \(C\)?
3;
4;
5;
6.
Đáp án đúng là: D
Có các vectơ: \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {CA} \), \(\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {CB} \).
Vậy có 6 vectơ.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} \];
\[\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CD} \];
\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \].
Đáp án đúng là: D
Xét các đáp án, ta có:
+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \] (quy tắc hình bình hành) , do đó đáp án A đúng, loại A.
+) \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} \](quy tắc hình bình hành) , do đó đáp án B đúng, loại B.
+) \[\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \], do đó đáp án C đúng, loại C.
+) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \) (vô lí do \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt), do đó đáp án D sai.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khẳng định nào sau đây đúng
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \);
\(3\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} \);
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {2IC} \);
\(\overrightarrow {2BI} = \overrightarrow {IC} \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = CI\) và \(\overrightarrow {BI} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {IC} \) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {BI} \)và \(\overrightarrow {IC} \) bằng nhau hay \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \).
Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm trên cạnh \[BC\] sao cho \[MB = 2MC\]. Khi đó:
\[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \].
Đáp án đúng là: A
Cách 1: Ta có \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].
Cách 2: Ta có \[MB = 2MC \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = - 2\overrightarrow {MC} \] (vì \[\overrightarrow {MB} \] và \[\overrightarrow {MC} \] ngược hướng)
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = - 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].
Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh bằng 6. Khi đó, tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng
– 18;
18;
36;
– 36.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 18\).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\)có \(AB = \sqrt 2 ,\,AD = 1\). Góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) có số đo gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(89^\circ \);
\(92^\circ \);
\(109^\circ \);
\(91^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \)
\( = AC \cdot AD \cdot \cos \widehat {CAD} - AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {BAC}\)
\( = AC \cdot AD \cdot \frac{{AD}}{{AC}} - AC \cdot AB \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = A{D^2} - A{B^2} = {1^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = - 1\).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \).
Ta lại có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) \Leftrightarrow - 1 = \sqrt 3 \cdot \sqrt 3 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) \approx 109^\circ 28'\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Một chiếc cổng vòm dạng parabol (như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai chân cổng là 150 m, trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 42 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất (dây không co giãn, căng thẳng, vuông góc với mặt đất). Đầu dây chạm đất cách chân cổng \(A\) một đoạn 15 m. Hãy tính chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.
Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).
Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).
Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).
Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).
Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.
(1 điểm) Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga \(A\) đến ga \(B\). Khi tàu đỗ ở ga \(A\), qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp \(C\) như hình dưới. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi tàu một góc 60°. Khi tàu đỗ ở ga \(B\), người đó nhìn lại vẫn thấy tháp \(C\), hướng nhìn từ người đó đến tháp tại với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 45°. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga \(A\) với ga \(B\) dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) là bao nhiêu?
Ta xem vị trí ga \(A\), ga \(B\) và tháp \(C\) như các điểm, nối với nhau tạo thành \(\Delta ABC\).
Theo bài ra ta có \(AB = 8\) km, \[\widehat {CAB} = 60^\circ ,\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ \].
Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).
Suy ra \(AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{8 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 5,86\) (km).
Vậy khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) xấp xỉ bằng 5,86 km.
(1 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AD\) và \(BC\) cùng vuông góc với \(AB\), \[AB = 8\], \[AD = a\], \[BC = b\]. Gọi \(E\) là một điểm thuộc cạnh \(CD\). Biết góc \[\widehat {AEB} = 90^\circ \]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[T = ab\].
Vì \(E\) là một điểm thuộc cạnh \(CD\) nên tồn tại \[k \in \left( {0;\,\,1} \right)\] sao cho \[k\overrightarrow {EC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \].
Khi đó, \[k\overrightarrow {BC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BE} \] và \[k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} \].
Lại có \(AD\) và \(BC\) cùng vuông góc với \(AB\) nên \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\), \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\) và \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab\) (hai vectơ cùng hướng).
Từ đó, suy ra
BE→⋅AE→=k2BC→⋅AC→+k1−kBC→⋅AD→+k1−kBD→⋅AC→+1−k2BD→⋅AD→
\[ = {k^2}\overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + k\left( {1 - k} \right)ab + k\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + {\left( {1 - k} \right)^2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\overrightarrow {AD} \]
\[ = {k^2}{b^2} + k\left( {1 - k} \right)ab + k\left( {1 - k} \right)\left( { - {8^2} + ab} \right) + {\left( {1 - k} \right)^2}{a^2}\]
\[ = {\left( {kb + \left( {1 - k} \right)a} \right)^2} - 64k\left( {1 - k} \right)\]
Do \[\widehat {AEB} = 90^\circ \] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {AE} = 0 \Leftrightarrow kb + \left( {1 - k} \right)a = 8\sqrt {k\left( {1 - k} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{k}{{1 - k}}b} + \sqrt {\frac{{1 - k}}{k}a} = 8\].
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có \[8 = \sqrt {\frac{k}{{1 - k}}b} + \sqrt {\frac{{1 - k}}{k}a} \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow ab \le 16\].
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi \[a = b = 4\] và \[k = 0,5\].
Vậy \[\max T = 16\].
