Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “Bất phương trình \(3x + 2 < 0\) có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?” không phải là mệnh đề vì đây là câu hỏi, không khẳng định tính đúng sai.

Đáp án đúng là: B

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên ta xét lần lượt các số tự nhiên \(n\) như sau:

+ Với \(n = 0\), ta có \(x = 7 - 0 = 7\).

+ Với \(n = 1\), ta có \(x = 7 - 1 = 6\).

+ Với \(n = 2\), ta có \(x = 7 - 2 = 5\).

+ Với \(n = 3\), ta có \(x = 7 - 3 = 4\).

+ Với \(n = 4\), ta có \(x = 7 - 4 = 3\).

+ Với \(n = 5\), ta có \(x = 7 - 5 = 2\).

+ Với \(n = 6\), ta có \(x = 7 - 6 = 1\).

+ Với \(n = 7\), ta có \(x = 7 - 7 = 0\).

+ Với \(n = 8\), ta có \(x = 7 - 8 = - 1\).

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của \(x\) tiếp theo là số nguyên âm, mà\(x \in \mathbb{N}\), do đó các giá trị \(x\) thỏa mãn tập hợp \(E\) là 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0.

Vậy \(E = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cup \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 4;\,\,3} \right]\).

Suy ra \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cup B} \right) = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đổi 4,5 lít = 4 500 ml.

Pha \(x\) lít nước cam loại 1 cần \(900x\) ml nước cốt cam, pha \(y\) lít nước cam loại 2 cần \(850y\) ml nước cốt cam. Do đó, pha \(x\) lít nước cam loại 1 và \(y\) lít nước cam loại 2 cần \(900x + 850y\) ml nước cốt cam, mà Hồng có 4,5 lít nước cam nên \(900x + 850y \le 4\,\,500\) hay \(18x + 17y \le 90\).

Vậy bất phương trình mô tả số lít nước cam loại 1 và loại 2 mà bạn Hồng có thể pha chế được là \(18x + 17y \le 90\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \( - 2 + 2 \cdot \left( { - 5} \right) = - 12 < 5\) nên cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 5} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.\). Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: B

Từ bảng trên ta thấy, giá trị của hàm số tại \(x = 3\) là \(y = 2\).

Đáp án đúng là: C

Parabol\(\left( P \right):y = {x^2} - 3x + 2\) có: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 3}}{{2.1}} = \frac{3}{2}\) và \(y\left( {\frac{3}{2}} \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\frac{3}{2} + 2 = - \frac{1}{4}\).

Vậy đỉnh của parabol \(\left( P \right)\) là \(I\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{4}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đỉnh \(I\left( {1;\,\,1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\2a + b = 0\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.\).

Do đó, \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {2^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {3^2} = 29\).

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\), nếu \(\Delta = {b^2} - 4ac = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = \frac{9}{2}\).

Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:

\(x\)	\( - \infty \)             – 1                     \(\frac{9}{2}\)                    \( + \infty \)
\(f\left( x \right)\)	+          0         –          0            +

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\).

Các giá trị nguyên trong khoảng \(\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\) là 0; 1; 2; 3; 4.

Ta có: \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2\), \({x_2} = 3\).

Mặt khác có hệ số \(a = 1 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:

\(x\)	\( - \infty \)            – 2                   3                    \( + \infty \)
\(f\left( x \right)\)	+        0        –        0           +

 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4\) ta được:

\(57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(6{x^2} + 17x - 14 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - \frac{7}{2}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = \frac{2}{3}\) thỏa mãn.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\). Mà \(\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\). Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6} \) ta được:

\(5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(4{x^2} - 23x - 35 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - \frac{5}{4}\) hoặc \(x = 7\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 77^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong \(\Delta ABC\) ta có:

\[\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{9 \cdot \sin 77^\circ }}{{\sin 48^\circ }} \approx 11,8\].

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi của tam giác là \(\frac{{12 + 14 + 16}}{2} = 21\).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích của tam giác là

\(S = \sqrt {21 \cdot \left( {21 - 12} \right) \cdot \left( {21 - 14} \right) \cdot \left( {21 - 16} \right)} = 21\sqrt {15} \).

Đáp án đúng là: C

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\), do đó vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {CD} \).

Đáp án đúng là: A

Xét chữ nhật\(ABCD\) có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (áp dụng quy tắc hình bình hành).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\), suy ra

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {13} \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x = - \overrightarrow x \], do đó vectơ \[2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b \] ngược hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án A sai.

Lại có: \[ - \,\overrightarrow {a\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow b = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x \], do đó vectơ \[ - \,\overrightarrow {\,a\,\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,} \] cùng hướng với vectơ \[\overrightarrow {x\,} \]. Đáp án B đúng.

Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ \[4\,\overrightarrow {a\,} + 2\overrightarrow {b\,} \] và \[ - \,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b \] dưới dạng \(k\overrightarrow x \).

Đáp án đúng là: D

Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) và \(AM\) là trung tuyến của tam giác \[ABC\].   

Hơn nữa, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).  

Do đó, \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Đáp án đúng là: A

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 8 \cdot \cos 180^\circ = - 16\).

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án A:\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án B: \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = - OA \cdot OC = - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC = - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA = - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - O{A^2}\)nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án C và D: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = AB \cdot AB\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - AB \cdot DC = - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ = AB\sqrt 2 \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là \(x\) (cm) \(\left( {0 < x < 15} \right)\).

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là \(4x\) (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là \(60 - 4x\) (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là \(r = \frac{{60 - 4x}}{{2\pi }} = \frac{{30 - 2x}}{\pi }\) (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là \({S_1} = {x^2}\) (cm²).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

\({S_2} = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\frac{{30 - 2x}}{\pi }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {30 - 2x} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right)\) (cm²).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

\(S = {S_1} + {S_2} = {x^2} + \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right) = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\) (cm²).

Nhận thấy \(S\) là hàm số bậc hai của \(x\), do đó \(S\) nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số \(S = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\).

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\frac{{ - 120}}{\pi }}}{{2\left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right)}} = \frac{{60}}{{4 + \pi }}\) (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng \(4x = 4.\frac{{40}}{{4 + \pi }} \approx 33,61\) (cm).

Gọi \(A,\,B,\,C,M,\,H\) lần lượt là đỉnh tháp viễn thông, điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m, chân tháp viễn thông, chân sườn dốc, hình chiếu của điểm A lên phương ngang như hình vẽ sau

Khi đó ta có: \(AC = 48\,\)m, \(BC = 35\)m, \(\widehat {CMH} = 25^\circ \), \(\widehat {CHM} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {MCH} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \).

Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {MCH} = 65^\circ \) (2 góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = {48^2} + {35^2} - 2 \cdot 48 \cdot 35 \cdot \cos 65^\circ \approx 2\,\,109\)

Suy ra \(AB \approx 46\) (m).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp đó khoảng 46 m.

a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]

\[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - A{B^2} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\]

Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} = BC \cdot AD = ab\] .

Do đó, \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].

Vậy \[\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].

b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\].

Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]

Mà \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = ab - {h^2}\];

\[\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab\]; AD→⋅BD→=AD→BA→+AD→=AD→⋅BA→+AD→2=0+AD2=a2

Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]