Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề?
a) Tháng 2 năm 2022 có 28 ngày.
b) Hãy trả lời câu hỏi này!
c) \(2x > 3\);
d) Bạn có thích chiếc vòng này không?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: C
Câu (a) là mệnh đề vì nó là câu khẳng định đúng.
Câu (b) không phải là mệnh đề vì nó không phải câu khẳng định mà là câu cầu khiến.
Câu (c) không phải là mệnh đề vì nó không thể xác định được tính đúng hay sai do tính đúng hay sai phụ thuộc vào giá trị của \(x\).
Câu (d) không phải là mệnh đề vì nó không phải câu khẳng định mà là câu hỏi.
Vậy có 3 câu không phải là mệnh đề.
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau.
Đáp án đúng là: B
Định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu lại bằng một trong các cách sau:
+ “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau”.
+ “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.
\(\left\{ {0;\,\,2} \right\}\);
\(\left\{ 2 \right\}\);
\(\left\{ { - 2} \right\}\);
\(\left\{ { - 2;2} \right\}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Do \(x = 2 \in \mathbb{N}\) nên \(A = \left\{ 2 \right\}\). Vậy các tập con của \(A\) là:\(\left\{ 2 \right\}\), \(\emptyset \).
\(\left\{ {0;2} \right\}\);
\(\emptyset \);
\(\left\{ 2 \right\}\);
\(\left\{ { - 2;2} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Do \(x = \pm 2 \in \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;2} \right\}\).
Mặt khác, \(B = \left\{ {0 \le x < 10|x \vdots 2} \right\} = \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\).
Vậy \(A \cap B = \left\{ 2 \right\}\).
\(\left( {3;\,2} \right)\);
\(\left( {1;\,\,11} \right)\);
\(\left( { - 1; - 14} \right)\);
\(\left( { - 2; - 20} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = 1\) và \(y = 11\) vào biểu thức \(10x - y\) ta có:
\(10 \cdot 1 - 11 = - 1 < 0\).
Vậy cặp số \(\left( {1;\,\,11} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(10x - y \ge 0\).
;
;
;
.
Đáp án đúng là: A
Xét đường thẳng \(d:x + y = 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\).
Xét điểm \(\left( {0;0} \right)\) có \(0 + 0 = 0 \le 2\).
Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 2\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d\) (kể cả bờ) và chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\).
Hệ phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - {y^2} \ge 4\\{x^2} - y < - 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z < - 1\\2x - y - z > 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y > 4\\2x - y \le - 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x - y > - 5\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ có dạng tổng quát như sau: \(ax + by \le c\) (\(ax + by \ge c\); \(ax + by > c\); \(ax + by < c\)) với \(a\), \(b\) không đồng thời bằng không.
Do đó, trong các phương trình trên chỉ có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y > 4\\2x - y \le - 2\end{array} \right.\) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( {4;5} \right)\);
\(\left( {10;30} \right)\);
\(\left( { - 5;10} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot 10 = - 45 \le 0\\ - 5 + 10 = 5 < 10\end{array} \right.\).
Vậy cặp số \(\left( { - 5;10} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
\(3x + 4y = 10\);
\(\sqrt {x - 1} + y = 6\);
\(y = \sqrt {{x^2} - 2} \);
\(3{x^2} - 2{y^2} = 0\).
Đáp án đúng là: D
Xét công thức \(3{x^2} - 2{y^2} = 0\):
Với \(x = 1\), ta có: \({y^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \).
Vậy công thức \(3{x^2} - 2{y^2} = 0\) không biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
\(\left( { - \infty ;\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Từ hình vẽ trên thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\) nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\,\, + \infty } \right)\).
\[y = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 3\\7 - 2x - {x^2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 3\end{array} \right.\];
\(y = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}\);
\(y = \frac{{4x - 1}}{{\sqrt {x - 3} }}\);
\(y = \frac{{x - 3}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \[y = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 3\\7 - 2x - {x^2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 3\end{array} \right.\] xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\). Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\} = \left( { - \infty ;\,\,3} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{4x - 1}}{{\sqrt {x - 3} }}\) xác định khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\).
Hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{3}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a < 0,\,\,b < 0,\,c < 0\);
\(a < 0,\,\,b = 0,\,c < 0\);
\(a > 0,\,\,b > 0,\,c < 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,c < 0\).
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên \(a < 0\).
Lại có đồ thị cắt trục tung tại điểm phía dưới trục hoành nên \(c < 0\).
Đỉnh của đồ thị nằm bên phải trục tung nên \( - \frac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow b > 0\).
\(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{b}{a};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\);
\(I\left( {\frac{b}{a};\,\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{2a}}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đỉnh của \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + x\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) được xác định bởi công thức \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
\(y = {x^2} - 4x + 2\);
\(y = - {x^2} + 2x + 2\);
\(y = 2{x^2} + x + 2\);
\(y = 2{x^2} + x + 1\).
Đáp án đúng là: C
Vì parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,5} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,\,8} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5 = a{.1^2} + b.1 + 2\\8 = a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\2a - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} + x + 2\).
\(a < 0,\,\Delta \le 0\);
\(a < 0,\,\Delta \ge 0\);
\(a < 0,\,\Delta < 0\);
\(a > 0,\,\Delta < 0\).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Điều kiện để \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là \(a < 0,\,\Delta < 0\).
Hỏi \(f\left( x \right)\) là tam thức nào dưới đây?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\);
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3\);
\(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng xét dấu ta thấy \(f\left( { - 1} \right) = 0\) và \(f\left( 3 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1\) và \(x = 3\), do đó loại đáp án C và D.
Lại có \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;\,\,3} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).
Vậy ta chọn đáp án A: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\) do có hệ số \(a = - 1 < 0\) (trong trái ngoài cùng).
3;
4;
5;
6.
Đáp án đúng là: C
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = \frac{9}{2}\).
Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\).
Các giá trị nguyên trong khoảng \(\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\) là 0; 1; 2; 3; 4 (có 5 giá trị).
\(3{x^2} - x - 1 < 0\);
\({x^2} + x + 5 > 0\);
\({x^2} + 2x + 4 > 0\);
\(4{x^2} - x + 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D không thỏa mãn do \({4.0^2} - 0 + 1 = 1 > 0\) nên \(x = 0\) không là một nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\).
\(\left[ { - 1;\,\,7} \right]\);
\(\left[ { - 7;\,\,\,1} \right]\);
\(\left( {0;\,\,6} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,7} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7\).
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1;\,\,7} \right]\).
Ta thấy \(\left[ { - 7;\,\,1} \right] \not\subset S\).
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] ta được
\( - {x^2} + 4x = 4{x^2} - 8x + 4\).
Sau khi thu gọn ta được \(5{x^2} - 12x + 4 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 2\) hoặc \(x = \frac{2}{5}\).
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là \(x = 2\).
2;
4;
1;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì \(1 \le 2m + 3 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 1;\,\,0} \right]\).
Suy ra \(a = - 1,\,\,b = 0\), do đó \({a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} = 1\).
\(\tan (180^\circ - \alpha ) = \tan \alpha \);
\(\cot (180^\circ - \alpha ) = \cot \alpha \);
\(\cos (180^\circ - \alpha ) = \cos \alpha \);
\(\sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha \).
Đáp án đúng là: D
Cho góc \(\alpha \) với \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \).
Đối với hai góc bù nhau ta có: \(\sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha \).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\[\sqrt 3 \];
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Mà \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \) nên , do đó, \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \).
\(S = \frac{1}{2}a{h_a}\);
\(S = \frac{1}{2}b{h_a}\);
\(S = \frac{1}{2}ab.\sin \varphi \);
\[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}ab.\sin \varphi = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).
Vậy \(S = \frac{1}{2}b{h_a}\) là sai.
\(AC = \sqrt {13} \)cm;
\(AC = 13\) cm;
\(AC = 5\) cm;
\(AC = \sqrt {11} \)cm.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\)
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)
Thay số \(AB = 3\,cm\), \(BC = 4\,cm\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) ta có:
\(A{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos 60^\circ = 13\)
Do \(AC\) > 0 nên \(AC = \sqrt {13} \)cm.
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(64^\circ \);
\(65^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\,\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \sin \widehat {MNP} = \frac{{5 \cdot \sin 45^\circ }}{4} = \frac{{5\sqrt 2 }}{8}\).
Mà \(0^\circ < \widehat {MNP} < 180^\circ \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 62^\circ \).
Hai vectơ được gọi là cùng phương chỉ khi giá của 2 vectơ đó song song với nhau;
Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của 2 vectơ đó vuông góc với nhau;
Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của 2 vectơ đó song song hoặc trùng với nhau;
Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của 2 vectơ đó cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của 2 vectơ đó song song hoặc trùng với nhau.
Cho hình vẽ, cặp vectơ nào dưới đây cùng phương?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {GH} \);
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \);
\(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {GH} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Đáp án đúng là: C
Từ hình vẽ, ta thấy \(AB\,{\rm{//}}\,EF\).
Do đó, \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} \), \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \).
Lại có: \(\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \), do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \).
Vậy khẳng định \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \) là sai.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = 8\);
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\);
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = 4\);
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {34} \).
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {3^2} + {5^2} = 34\).
Mà \(AC > 0\)nên \(AC = \sqrt {34} \).
Ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {34} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {AB} \);
\(3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \);
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {3MG} \);
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \).
Đáp án đúng là: C
Do tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Với điểm \(M\) bất kì, ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)
\( = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \)
\( = \overrightarrow {3MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
\( = \overrightarrow {3MG} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {3MG} \)
Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {3MG} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \);
\(\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\);
\(\frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \);
\(\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Do \(BM\) là trung tuyến nên ta có:
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, được ký hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) và xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\);
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, được ký hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) và xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\);
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, được ký hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) và xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\);
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, được ký hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) và xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: A
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, được ký hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) và xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(60^\circ \);
\(90^\circ \);
\(120^\circ \);
\(140^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) đều có: \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \).
\(\frac{{25\sqrt 2 }}{2}\);
\( - \frac{{25\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\);
\(25\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(C\) cạnh \(AC = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ACB} = 45^\circ \).
Do đó,\(BC = AC = 5\,\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 5\,\,{\rm{cm}}\).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACB} = 45^\circ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 5 \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{2}\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm, bộ phận sản xuất ước tính rằng với\(q\)sản phẩm được sản xuất một tháng thì tổng chi phí sẽ là \(C\left( q \right) = 4{q^2} + 36q - 1\,\,234\)(đơn vị tiền tệ). Giá của mỗi sản phẩm được công ty bán với giá\(R\left( q \right) = 120 - 2q\). Hãy xác định số sản phẩm công ty A cần sản xuất trong một tháng (giả sử công ty này bán hết được số sản phẩm đã làm ra) để thu về lợi nhuận cao nhất ?
Lợi nhuận của công ty trong một tháng khi bán hết \(q\) sản phẩm là:
\(L\left( q \right) = q.R\left( q \right) - C\left( q \right) = q\left( {120 - 2q} \right) - \left( {4{q^2} + 36q - 1\,\,234} \right)\)\( = - 6{q^2} + 84q + 1\,234\).
Để lợi nhuận công ty thu về là cao nhất, tức cần tìm \(q\) để \(L\left( q \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Lại có \(L\left( q \right) = - 6{q^2} + 84q + 1\,234\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = - 6 < 0\), nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Ta có: \(q = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{84}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 7\). Do đó, \(L\left( q \right)\)đạt giá trị lớn nhất tại \(q = 7\).
Vậy công ty A cần sản xuất 7 sản phẩm trong một tháng để thu về lợi nhuận cao nhất.
(1 điểm) Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \(45^\circ \). Tàu \(B\) chạy với tốc độ 24 hải lí một giờ. Tàu \(C\) chạy với tốc độ 18 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí ?
Kí hiệu như hình vẽ trên.
Sau 2 giờ, tàu \(B\) chạy được 48 hải lí, tàu \(C\) chạy được 36 hải lí.
Hay \(AB = 48\) hải lí, \(AC = 36\) hải lí.
Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lí côsin ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {BAC}\)
\( = {36^2} + {48^2} - 2 \cdot 36 \cdot 48 \cdot \cos 45^\circ \approx 1156,24\)
Do \(BC > 0\) nên \(BC = \sqrt {1156,24} \approx 34\) hải lí.
Vậy sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng 34 hải lí.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) với \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) và một điểm \(M\) bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}\).
Gọi \(AN\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABN\) và hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{N^2} = B{A^2} + B{N^2} - 2BA \cdot BN \cdot \cos B\)
\( = A{B^2} + B{N^2} - 2AB \cdot BN \cdot \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}}\)
\( = A{B^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{2}\)
\( = \frac{{2A{B^2} + 2A{C^2} - B{C^2}}}{4}\).
Gọi độ dài của \(AN = {m_a}\).
Khi đó ta có:\(4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right) = 4{m_a}^2 + 3{a^2} \ge 4\sqrt 3 a{m_a}\) (bất đẳng thức Cô-si)
\( \Rightarrow a{m_a} \le \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\).
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), khi đó:
\(\frac{{MA}}{a} = \frac{{MA \cdot GA}}{{a \cdot GA}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {GA} }}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) \cdot \overrightarrow {GA} \)
\( = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GA} + G{A^2}} \right)\).
Tương tự ta có:
\(\frac{{MB}}{b} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GB} + G{B^2}} \right)\);
\(\frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GC} + G{C^2}} \right)\).
Từ đó, suy ra:
\(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {\overrightarrow {MG} \cdot \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right]\).
Lại có, \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) và \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).
Do đó, \(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {0 + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] = \sqrt 3 \).
Dấu “=” xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều đồng thời \(M\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}\) là \(\sqrt 3 \).
