Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 6
24 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Phủ định của mệnh đề “Số 2 022 chia hết cho 4” là mệnh đề
“Số 4 chia hết cho 2 022”;
“Số 2 022 có chia hết cho 4”;
“Số 2 022 không chia hết cho 4”;
“Số 2 022 có chia hết cho 4 không”.
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “Số 2 022 chia hết cho 4” là mệnh đề: “Số 2 022 không chia hết cho 4”.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9;\,\,11} \right\}\). Tập hợp nào sau đây là tập con của tập \(A\)?
\(B = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\);
\(C = \left\{ {\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}\);
\(D = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,10} \right\}\);
\(D = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,7;\,\,11} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Các phần tử của tập hợp \(D\) đều là phần tử của tập hợp \(A\) nên \(D\) là tập con của \(A\).
Cho hai tập hợp: \(A = \left[ { - 3;\,\,2} \right),B = \left( {1;\,\,6} \right)\). Khi đó \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)\) là tập hợp nào sau đây?
\(\left( {1;\,\, + \infty } \right]\);
\(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A \cap B = \left[ { - 3;\,\,2} \right) \cap \left( {1;\,\,6} \right) = \left( {1;\,\,2} \right)\)
\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Trong một lạng (100 g) ức gà ta chứa khoảng 24 g protein, 1 lạng thịt vịt chứa khoảng 18 g protein. Người trưởng thành trung bình cần tối thiểu 0,8 g protein cho mỗi kg trọng lượng cơ thể mỗi ngày. Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số lạng ức gà ta và số lạng thịt vịt mà một người nặng 75 kg nên ăn trong một ngày. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn số lượng protein cần thiết cho người đó trong một ngày.
\(4x + 3y \ge 10\);
\(24x + 18y < 75\);
\(24x + 18y \le 60\);
\(4x + 3y < 10\).
Đáp án đúng là: A
Trong 1 lạng ức gà ta chứa khoảng 24 g protein nên trong \(x\) lạng ức gà ta chứa khoảng \(24x\) (g protein).
Trong 1 lạng thịt vịt chứa khoảng 18 g protein nên trong \(y\) lạng thịt vịt chứa khoảng \(18y\) (g protein).
Tổng số lượng protein mà một người nặng 75 kg nên ăn trong một ngày là: \(24x + 18y\) (g protein).
Trung bình mỗi ngày, một người nặng 75 kg cần tối thiểu khoảng \(0,8 \cdot 75 = 60\) (g protein).
Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,\,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết cho người đó trong một ngày là: \(24x + 18y \ge 60\) hay \(4x + 3y \ge 10\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y < - 3\\2x - y \ge 5\end{array} \right.\). Cặp số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình trên?
\(\left( {0;\,\, - 7} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\, - 10} \right)\);
\(\left( {1;\,\, - 4} \right)\);
\(\left( {2;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 19 > - 3\) nên cặp số \(\left( {2;\,\,3} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y < - 3\\2x - y \ge 5\end{array} \right.\). Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\, + \infty } \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\,2} \right)\);
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;\,\,0} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái qua phải trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\), do đó hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(I\left( { - \frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\);
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\);
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra tung độ đỉnh là: \(y = 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\).
Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau:
Phương trình của parabol này là
\(y = {x^2} - 2x - 1\);
\(y = {x^2} + 2x - 2\);
\(y = 2{x^2} - 4x - 2\);
\(y = {x^2} + 2x - 1\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát hình vẽ ta thấy parabol cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng – 1 nên loại đáp án B và C.
Hoành độ của đỉnh là \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên ta loại đáp án D và chọn đáp án A.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
\(f\left( x \right) = 2 + {5^2}x - 3{x^2}\) là tam thức bậc hai;
\(f\left( x \right) = {3^2}x + 4\) là tam thức bậc hai;
\(f\left( x \right) = {2^3}x + {4^2}x + 10\) là tam thức bậc hai;
\(f\left( x \right) = {\left( {2{x^2}} \right)^2} - 5{x^2} + 7\) là tam thức bậc hai.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = 2 + {5^2}x - 3{x^2} = - 3{x^2} + 25x + 2\) là tam thức bậc hai.
Cho tam thức \(f(x) = {x^2} - 8x + 7\). Với giá trị \(x\) thuộc khoảng nào dưới đây thì hàm số không âm?
\(\left( { - 7;\,\,2} \right)\);
\(\left[ {7;\,\,9} \right)\);
\[\left[ {1;\,\,7} \right]\];
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 8x + 7\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.7 = 36 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1\) và \({x_2} = 7\). Khi đó ta có bảng xét dấu sau:
Vậy hàm số không âm khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)\). Mà \(\left[ {7;\,\,9} \right) \subset \left[ {7; + \infty } \right)\).
Vậy \(x \in \left[ {7;\,\,9} \right)\) thì thỏa mãn bài toán.
Tập nghiệm của bất phương trình \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) là
\(S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\);
\(S = \left[ {1;\,\,4} \right]\);
\(S = \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0\).
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4\) có hai nghiệm là \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Mặt khác có hệ số \(a = 1 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) 1 4 \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) là
\(S = \left\{ 1 \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{3}{7};\,1} \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{3}{7}} \right\}\);
\(S = \emptyset \).
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1\) ta được:
\(4 - 3{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(7{x^2} - 4x - 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = - \frac{3}{7}\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = 1\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} + 5x - 17} \) có số nghiệm là
0;
1;
2;
4.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} + 5x - 17} \) ta được:
\(2{x^2} - 3x - 5 = {x^2} + 5x - 17\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \({x^2} - 8x + 12 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 6\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = 6\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Một mảnh đất hình tam giác có độ dài hai cạnh là \(AB = 10\,\,{\rm{m}},\,AC = 20\,\,{\rm{m}}\) và \(\widehat {BAC} = 150^\circ \). Diện tích mảnh đất là
100 m2;
50 m2;
173 m2;
137 m2.
Đáp án đúng là: B
Diện tích mảnh đất hình tam giác là
\(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 \cdot \sin 150^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\) (m2).2
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 5;\,\widehat A = 35^\circ ;\,\widehat B = 80^\circ \). Độ dài cạnh \(AC\) xấp xỉ khoảng
5,3;
5,4;
5,5;
5,6.
Đáp án đúng là: B
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 80^\circ } \right) = 65^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong \(\Delta ABC\) ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
Suy ra \(AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{5 \cdot \sin 80^\circ }}{{\sin 65^\circ }} \approx 5,4\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AB} \);
Vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AC} \);
Vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {BC} \);
Vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {BA} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(MN\,{\rm{//}}\,BC\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có giá song song với nhau nên chúng cùng phương.
Cho tam giác \[ABC\] đều có cạnh \[AB = 5\], \[H\] là trung điểm của \[BC\]. Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right|\).
\[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right| = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\];
\[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right| = 5\];
\[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right| = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}\];
\[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right| = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CE} } \right| = 2CE\] (với \[E\] là trung điểm của \[AH\]).
Ta lại có: \[AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\] (\[\Delta ABC\] đều, \[AH\] là đường cao), suy ra \(HE = \frac{1}{2}AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\).
\(CH = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\).
Trong tam giác \[HEC\] vuông tại \[H\], từ định lí Pythagore suy ra
\[EC = \sqrt {C{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}\]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right| = 2CE = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}\].
Cho tam giác \[ABC\] với trung tuyến \[AM\] và trọng tâm \[G\]. Khi đó \[\overrightarrow {GA} = \]
\[2\overrightarrow {GM} \];
\[\frac{2}{3}\overrightarrow {GM} \];
\[ - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \];
\[\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \].
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\]nên ta có \[GA = \frac{2}{3}AM\].
Mặt khác hai vectơ \[\overrightarrow {GA} \] và \[\overrightarrow {AM} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \].
Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\). Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AM} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AN} \). Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AC} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + 4\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) (1).
Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AN} \) (2).
Lấy (1) + (2), ta được \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} \).
Lại có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó \(3\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).
Tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) và có \(\widehat B = 35^\circ \). Hệ thức nào sau đây sai?
\(\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = 35^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 55^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 35^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) và có \(\widehat B = 35^\circ \), suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {ABC} = 35^\circ \); \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB} = 55^\circ \); \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Vập đáp án C sai.
Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh bằng 3. Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\). Khi đó, tích vô hướng \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} \) bằng
18;
\(9\sqrt 3 \);
\(9\sqrt 5 \);
45.
Đáp án đúng là: A
Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của \(DE\), do đó \(DE = 2DC = 2 \cdot 3 = 6\).
Ta có: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} \)
Do \(AB \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DE} \) cùng hướng nên \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DE} } \right) = 0^\circ \).
Do đó, DE→⋅AB→=DE→⋅AB→⋅cosAB→, DE→=DE⋅AB⋅cos0°=6⋅3⋅1=18
Vậy \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 + 18 = 18\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm). Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth\), trong đó \(t\) là thời gian, kể từ khi quả bóng được đá lên, \(h\) là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h\) theo thời gian \(t\) và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
Tại \(t = 0\), ta có: \(y = h = 1,2\); tại \(t = 1\), ta có\(h = 8,5\); tại \(t = 2\), ta có \(y = h = 6\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oth\) như hình vẽ.
Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = a{t^2} + bt + c\), với \(a \ne 0\).
Theo bài ra ta có: \(A\left( {0;\,\,1,2} \right) \in \left( P \right),\,\,B\left( {1;\,\,8,5} \right) \in \left( P \right),\,\,C\left( {2;\,\,6} \right) \in \left( P \right)\).
Vậy ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a = - 4,9\\b = 12,2\end{array} \right.\).
Vậy hàm số cần tìm có dạng: \(y = - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).
(1 điểm) Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 540 km/h theo hướng đông và chiếc còn lại di chuyển theo hướng \({\rm{N25^\circ E}}\)với tốc độ 670 km/h. Hỏi sau 2 tiếng, hai máy bay cách nhau bao xa? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.
Gọi \(O,\,\,A,\,\,B\) lần lượt là vị trí sân bay và hai máy bay sau 2 tiếng.
Hướng \({\rm{N25^\circ E}}\) là hướng tạo với hướng bắc một góc \(25^\circ \) và tạo với hướng đông một góc \(90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \). Ta mô phỏng bài toán đã cho như sau:
Quãng đường máy bay bay theo hướng đông sau 2 tiếng là
\(OA = 540 \cdot 2 = 1\,\,080\) (km).
Quãng đường máy bay bay theo hướng \({\rm{N25^\circ E}}\) sau 2 tiếng là
\(OB = 670 \cdot 2 = 1\,\,340\) (km).
Ta có: \(\widehat {AOB} = 65^\circ \), \(OA = 1\,\,080,\,\,OB = 1\,\,340\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OAB\), ta có:
\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \widehat {AOB}\)
\( = 1\,\,{080^2} + 1\,\,{340^2} - 2 \cdot 1\,\,080 \cdot \,1\,\,340 \cdot \cos 65^\circ \approx 1\,\,738\,\,774\).
Suy ra \(AB \approx \sqrt {1\,\,738\,\,774} \approx 1\,\,319\) (km).
Vậy sau 2 tiếng, hai máy bay cách nhau khoảng 1 319 km.
(1 điểm) Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Xác định tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \[4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).
Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn điều kiện: \[4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \].
Khi đó, ta có: \[4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \], do đó điểm \(I\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(IN = 2IA\).
Lại có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra: \[IA = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]; \(IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) ;
\[IB = IC = \sqrt {I{N^2} + B{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\].
Ta lại có: \[4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 4{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]
\( \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\)
\[ \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\].
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \[R = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\].
