Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: D

Các câu “Năm 2024 là năm nhuận.”; “Số 2 022 là số lẻ.”; “Số 25 là số chính phương.” là các khẳng định có tính đúng hoặc sai, do đó đây là các mệnh đề.

Câu “Hà có học giỏi môn Toán không?” là câu nghi vấn, không khẳng định tính đúng sai nên đây không phải mệnh đề.

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{N}|x \ge 0\)” là: “\(\exists x \in \mathbb{N}|x < 0\)”.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(H = \left\{ {{x^2}|x \in \mathbb{N},x \le 4} \right\}\).

Vì \(x \in \mathbb{N},x \le 4\) nên \(x\) là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 4, chính là các số: 0, 1, 2, 3, 4.

Với \(x = 0\) thì \({x^2} = {0^2} = 0\);

Với \(x = 1\) thì \({x^2} = {1^2} = 1\);

Với \(x = 2\) thì \({x^2} = {2^2} = 4\);

Với \(x = 3\) thì \({x^2} = {3^2} = 9\);

Với \(x = 4\) thì \({x^2} = {4^2} = 16\).

Khi đó, ta viết được tập hợp \(H\) bằng cách liệt kê các phần tử là \(H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,4;\,\,9;\,\,16} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(A \cap B = \left( { - 2;\,\,9} \right) \cap \left[ { - 3;\,\,5} \right] = \left( { - 2;\,5} \right]\).

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(4x - 9y > - 3\).

Đáp án đúng là: C

Gọi dạng phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(y = ax + b\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(\left( {\frac{3}{2};\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,3} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{3}{2}a + b\\3 = 0 \cdot a + b\end{array} \right..\) Giải hệ này ta được \(a = - 2,\,\,b = 3\).

Khi đó đường thẳng \(\Delta :y = - 2x + 3\) hay \(\Delta :2x + y = 3\).

Xét điểm gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \) và điểm này thuộc phần không tô đậm trong hình vẽ đã cho. Ta có: \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 3\).

Vậy phần không tô đậm trong hình vẽ (kể cả đường thẳng \(\Delta \)) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 3\).

Đáp án đúng là: C

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + y < 6\end{array} \right.\) không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: D

Vì cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn mía và không quá 9 tấn củ cải đường nên \(0 \le x \le 10\) và \(0 \le y \le 9\).

Theo bài ra ta có, \(x\) tấn mía và \(y\) tấn củ cải đường có thể chiết xuất được \(20x + 10y\) kg đường kính và \(0,6x + 1,5y\) kg đường cát.

Vì cần chiết xuất ít nhất 140 kg đường kính và 9 kg đường cát nên \(20x + 10y \ge 140\) và \(0,6x + 1,5y \ge 9\).

Vậy một hệ điều kiện giữa \(x\) và \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng trên ta thấy, ứng với mỗi giá trị của \(y \in \left\{ {200;282;295;311;339;363;375;394;564} \right\}\) thì có duy nhất một giá trị của \[x \in \left\{ {1995;1996;1997;1998;1999;2000;2001;2002;2004} \right\}\] tương ứng.

Do đó, đại lượng \[x\] là hàm số của đại lượng \(y\).

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hàm số \(f\left( x \right)\) tại \(x = 4 \ne 2\) là: \(f\left( 4 \right) = \frac{{3.4 - 1}}{{2 - 4}} = \frac{{11}}{{ - 2}} = \frac{{ - 11}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai có dạng: \[y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\]

Do đó, hàm số bậc hai có các hệ số \(a = 5\), \(b = 0\), \(c = 1\) là \[y = 5{x^2} + 0.x + 1 = 5{x^2} + 1\].

Đáp án đúng là: B

Dựa vào hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số có tọa độ đỉnh là \(\left( {0; - 3} \right)\) và trục đối xứng là \(x = 0\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = - 5{x^2} + 4x + 2\) có: \(a = - 5 < 0\).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh của đồ thị hàm số.

Đỉnh của đồ thị hàm số có hoành độ là: \(x = \frac{{ - 4}}{{2.( - 5)}} = \frac{2}{5}\).

Tung độ của đỉnh là: \(y = - 5.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} + 4.\left( {\frac{2}{5}} \right) + 2 = \frac{{14}}{5}\).

Như vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là: \(\frac{{14}}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).

Như vậy \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\) là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Tam thức \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\] là tam thức bậc hai, do đó điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\) với mọi số thực \(x\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\,\] có:

\(a = 3 > 0\);

\(\Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 5} \right) = 24 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 2\sqrt 6 \).

Như vậy, \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\, = 0\] có 2 nghiệm là: \({x_1} = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3}\); \({x_2} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}\).

Do đó, \(f\left( x \right) \le 0\) (không dương) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]\).

Đáp án đúng là: D

Thay \(x = 1\) vào từng bất phương trình, ta thấy \(x = 1\) là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x - 1 < 0\).

Vì \({1^2} - 2.1 - 1 = - 2 < 0\).

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6\) có:

\(a = 1 > 0\);

\(\Delta = {2^2} - 4.1.( - 6) = 28 > 0\).

Có \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 = 0\) có hai nghiệm là:

\({x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 - \sqrt 7 \); \({x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 + \sqrt 7 \).

Ta có, \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right)\) và \(\left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x - 6 > 0\) là:

\(S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Thay \(x = 2\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1\) có:

\(\sqrt {{{3.2}^2} + 4.2 + 5} = 5 = 2.2 + 1\)

Như vậy, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1\).

Đáp án đúng là: B

\(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1} \)

\( \Rightarrow {x^2} - 2x + 1 = - {x^2} + 3x - 1\)

\( \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với \(x = 2\), ta có: \(\sqrt {{2^2} - 2.2 + 1} = 1 = \sqrt { - {2^2} + 3.2 - 1} \), do đó, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Với \(x = \frac{1}{2}\), ta có: \(\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\left( {\frac{1}{2}} \right) + 1} = \frac{1}{2} = \sqrt { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 3.\left( {\frac{1}{2}} \right) - 1} \) , do đó, \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1} \) có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cos 150^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), đây là một số thực âm (không phải số hữu tỉ do \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ).

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \).

Vậy khẳng định \({a^2} = {b^2} - {c^2} + 2bc \cdot \cos \alpha \) là sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(A = {\sin ^2}52^\circ + {\sin ^2}47^\circ + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \)

\( = {\left( {\sin 52^\circ } \right)^2} + {\left( {\sin 47^\circ } \right)^2} + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \)

\( = {\left( {\cos 38^\circ } \right)^2} + {\left( {\cos 43^\circ } \right)^2} + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ \)

\( = \left( {{{\cos }^2}38 + {{\sin }^2}38^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}43 + {{\sin }^2}43^\circ } \right)\)\( = 1 + 1 = 2\).

Đáp án đúng là: D

Công thức Hê – rông tính diện tích tam giác: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).

Vậy khẳng định \(S = \sqrt {p\left( {p + a} \right)\left( {p + b} \right)\left( {p + c} \right)} \) là sai.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

 \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{3^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 3 \cdot 5}} = - \frac{1}{2}\).

Do đó, \(\widehat A = 120^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là

\(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BD} ,\,\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {CD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {DB} ,\,\overrightarrow {DC} \).

Vậy có tất cả 12 vectơ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow {HI} \) và \(\overrightarrow {IK} \) cùng phương và cùng chiều đi từ trái qua phải nên hai vectơ này cùng hướng.

Đáp án đúng là: D

Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \], \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \] nên đáp án A, B đúng.

Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \) nên đáp án C đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {BA} \) (do ba điểm phân biệt\[A,B,C\]) nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Đáp án đúng là: C

Theo quy tắc hiệu, ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a \).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) ngược hướng nhau và \(MN = 3MP\).

Vậy điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(N\) và \(P\) thỏa mãn \(MN = 3MP\).

Khi đó điểm \(P\) được xác định đúng ở hình 3.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ ngược hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 180^\circ = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).

Đáp án đúng là: D

+ Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} = 50^\circ \)nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 40^\circ \).

Khi đó ta có, \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = 50^\circ \) và \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB} = 40^\circ \), nên đáp án A, B đúng.

+ Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \), ta dựng hình bình hành \(ABDC\):

Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \), do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {DCB}\).

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,{\rm{CD}}\) nên \(\widehat {DCB} = \widehat {ABC} = 50^\circ \) (hai góc so le trong).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {DCB} = 50^\circ \), nên đáp án C đúng.

+ Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \), ta dựng vectơ \(\overrightarrow {CE} \) sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CE} \).

Khi đó, \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \), vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng 4.

Ta có: \(AB = AC = 4\, \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 4\,\)

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 8\).

a) Nếu có thêm \(x\) người khách thì số khách là \(20 + x\) (người). Vì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách, khi đó giá vé của mỗi người là:

\(300\,\,000 - \,x\,.\,\,10\,\,000 = 300\,\,000 - 10\,\,000x\) (đồng).

Theo đó, doanh thu của công ty là:

\(\left( {20 + x} \right)\left( {300\,\,000 - 10\,\,000x} \right) = - 10\,\,000{x^2} + 100\,\,000x + 6\,\,000\,\,000\).

b) Lợi nhuận của công ty là:

\(\left( { - 10\,\,000{x^2} + 100\,\,000x + 6\,\,000\,\,000} \right) - 4\,\,000\,\,000 = - 10\,\,000{x^2} + 100\,\,000x + 2\,\,000\,\,000\)

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 10\,\,000{x^2} + 100\,\,000x + 2\,\,000\,\,000\), ta thấy \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 10,\,\,{x_2} = 20\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

Công ty lãi khi \(f\left( x \right) > 0\), tức là \( - 10 < x < 20\). Vì x ≥ 0 nên ta có \(0 \le x < 20\).

Vậy số khách từ người thứ 21 trở lên có ít hơn 20 người thì công ty có lãi.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)

\( \Leftrightarrow 144 = A{B^2} + 64 - 16 \cdot AB \cdot \cos 65^\circ \)

 \[ \Leftrightarrow A{B^2} - 16 \cdot AB \cdot \cos 65^\circ - 80 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB \approx 13\\AB \approx - 6,18\,\,(L)\end{array} \right.\]

Do đó: \(AB = 13\)km.

Ta có:\(AC + BC - AB = 12 + 8 - 13 = 7\) (km).

Vậy số tiền phải tốn thêm là \(7 \cdot 150\,\,000 = 1\,\,050\,\,000\) (đồng).

Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)^2} = {\left( {3\overrightarrow {MG} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9M{G^2}\).

Mà:

\({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2 \cdot \overrightarrow {MG} \cdot \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)

\( = 3M{G^2} + 3G{A^2} + 2 \cdot \overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow 0 \)

\( = 3M{G^2} + 3G{A^2}\)

Do đó, \(3M{G^2} + 3G{A^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9M{G^2}\)

Ta có:

Gọi \(AH\) là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác đều \(ABC\).

Khi đó, \(HB = HC = \frac{a}{2}\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

Do điểm \(M\) là điểm bất kì thuộc đường tròn tâm \(G\) có bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) nên \(MG = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên độ dài đường cao bằng độ dài đường trung tuyến và bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(G\) là trọng tâm nên \(GA = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Thay số ta có:

\(3 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + 3 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot \frac{{2{a^2}}}{9} + 3 \cdot \frac{{3{a^2}}}{9} + 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = 9 \cdot \frac{{2{a^2}}}{9}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = \frac{{18{a^2}}}{9} - \frac{{6{a^2}}}{9} - \frac{{9{a^2}}}{9}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} } \right) = \frac{{3{a^2}}}{9}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{{{a^2}}}{6}\,\,\,\,\) (đpcm).