Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Cho hai mệnh đề
\(P\): “\(n\) là số tự nhiên chẵn”, \(Q\): “\(n\) chia hết cho 2”.
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là
“Nếu \(n\) chia hết cho 2 thì \(n\) là số tự nhiên chẵn”;
“Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \(n\) chia hết cho 2”;
“\(n\) là số tự nhiên chẵn chia hết cho 2”;
“\(n\) là số tự nhiên thì \(n\) chẵn và chia hết cho 2”.
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu: “Nếu \(P\) thì \(Q\)”.
Vậy với \(P\): “\(n\) là số tự nhiên chẵn”, \(Q\): “\(n\) chia hết cho 2”, ta có mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là “Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \(n\) chia hết cho 2”.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai đường trung tuyến bằng nhau và một góc bằng \(60^\circ \);
Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương hai cạnh còn lại;
Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông;
Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.
Đáp án đúng là: D
Xét mệnh đề A, mệnh đề này đúng vì khi hai đường trung tuyến tròn một tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân, có thêm yếu tố một góc bằng \(60^\circ \) nên tam giác đó là tam giác đều. Ngược lại hiển nhiên tam giác đều suy ra được hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng \(60^\circ \).
Xét mệnh đề B, mệnh đề này đúng theo định lí Pythagore.
Xét mệnh đề C, mệnh đề này đúng theo định nghĩa và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
Xét mệnh đề D, mệnh đề này sai vì khi hai tam giác đồng dạng thì ba cặp góc tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, nên điều kiện để hai tam giác bằng nhau phải có thêm cặp cạnh bằng nhau.
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 2;\,3} \right]\) và \(B = \left( {0;\,\, + \infty } \right)\). Tập hợp \(A \cap B\) là
\(\left[ { - 2;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {0;\,\,3} \right]\);
\(\left[ {0;\,\,3} \right]\);
\(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A \cap B = \left[ { - 2;\,\,3} \right] \cap \left( {0;\,\, + \infty } \right) = \left( {0;\,\,3} \right]\).
Dạng liệt kê của tập hợp \[A = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3} \right\}\]là:
\[\left\{ { - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\];
\[\left\{ { - 6;\, - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\];
\[\left\{ { - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\];
\[\left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\].
Đáp án đúng là: C
Vì \[k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3\] nên \(k \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
Với \(k = - 1\) thì \(3k = 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 3\);
Với \(k = 0\) thì \(3k = 3 \cdot 0 = 0\);
Với \(k = 1\) thì \(3k = 3 \cdot 1 = 3\);
Với \(k = 2\) thì \(3k = 3 \cdot 2 = 6\);
Với \(k = 3\) thì \(3k = 3 \cdot 3 = 9\).
Vậy \[A = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3} \right\} = \left\{ { - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\].
Bất phương trình nào sau đây nhận \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) là một nghiệm?
\(5x + 3y > 1\);
\(4x - 7y < 10\);
\(7x + y \ge 2\);
\(x - 9y \le 7\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(5 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 1 < 1\), nên đáp án A không thỏa mãn.
\(4 \cdot 1 - 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 18 > 10\), nên đáp án B không thỏa mãn.
\(7 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) = 5 > 2\), nên \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(7x + y \ge 2\), chọn đáp án C.
\(1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) = 18 > 7\), nên đáp án D không thỏa mãn.
Một gian hàng trưng bày giường và tủ quần áo rộng 95 m2. Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m2, một chiếc tủ quần áo là 1,6 m2. Gọi \(x\) là số chiếc giường và \(y\) là số chiếc tủ quần áo được kê. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,y\) cho phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m2.
\(32x + 16y \ge 80\);
\(2x + y \le 50\);
\(2x + y \ge 50\);
\(2x + y < 50\).
Đáp án đúng là: B
Vì diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m2, do đó diện tích phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo tối đa là: 95 – 15 = 80 (m2).
Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m2, nên diện tích để kê \(x\) chiếc giường là \(3,2x\) (m2).
Diện tích để kê một chiếc tủ quần áo là 1,6 m2, nên diện tích để kê \(y\) chiếc tủ quần áo là \(1,6y\) (m2).
Tổng diện tích cho phần mặt sàn để kê \(x\) chiếc giường và \(y\) chiếc tủ quần áo là: \(3,2x + 1,6y\) (m2).
Do đó, bất phương trình cần tìm là: \(3,2x + 1,6y \le 80\) hay \(2x + y \le 50\).
Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 5{y^2} \ge 1\\ - x + y < 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x{y^2} < 1\\x + 2y > - 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} > 1\\\frac{2}{x} + y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\25x + 7y > 2\end{array} \right.\), đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
\(O\left( {0;\,\,0} \right)\);
\[M\left( {1;\,\,1} \right)\];
\[N\left( { - 1;\,\,1} \right)\];
\[P\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Ta có: −1+1−2≤02⋅−1−3⋅1+2>0⇔−2≤0−3>0 (vô lí).
Do đó, \[N\left( { - 1;\,\,1} \right)\] không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\).
Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền \(y\) (đồng) phải chi trả và số bút \(x\) (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là
\(y = 5000x\);
\(y = 5000 + x\);
\(x = 5000y\);
\(y = 5x\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền \(y\) (đồng) phải chi trả và số bút \(x\) (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là \(y = 5000x\) (đồng).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho bởi hình dưới:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(\left( {3;\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Giá trị của hàm số \(y = 6x - 3{x^3} + 2023\) tại \(x = 0\) là
2023;
2022;
0;
1.
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 0\) vào công thức của hàm số \(y = 6x - 3{x^3} + 2023\) ta có:
\(y = 6.0 - {3.0^3} + 2023 = 2023\)
Vậy tại \(x = 0\) thì giá trị của hàm số là 2023.
Khẳng định nào về đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) là đúng ?
Đồ thị là một đường thẳng;
Đồ thị là một đường parabol có bề lõm hướng lên trên;
Đồ thị là một đường parabol có bề lõm hướng xuống dưới;
Đồ thị song song với trục hoành.
Đáp án đúng là: C
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) có dạng hình parabol với bề lõm hướng xuống dưới.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\) là
\(y = \frac{{ - b}}{{2a}}\);
\(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\);
\(y = \frac{b}{{2a}}\);
\(x = \frac{b}{{2a}}\).
Đáp án đúng là: B
Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\).
Hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(C\left( {7;9} \right)\) là
\(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{1}{9}\);
\(y = f\left( x \right) = \frac{{18}}{{11}}{x^2} - \frac{3}{{18}}x - \frac{{11}}{9}\);
\(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} - \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\);
\(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\).
Đáp án đúng là: D
Gọi hàm số bậc hai có dạng \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Đồ thị hàm số đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(C\left( {7;9} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + c = 2\\a{.4^2} + b.4 + c = 5\\a{.7^2} + b.7 + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2\\16a + 4b + c = 5\\49a + 7b + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{18}}\\b = \frac{{13}}{{18}}\\c = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\).
Như vậy, hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước;
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số nguyên cho trước (với \(a \ne 0\)).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)).
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\](với \(a \ne 0\)), khi nào thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\) ?
Khi \(\Delta > 0\);
Khi \(\Delta < 0\);
Khi \(a > 0\);
Khi \(a < 0\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] (với \(a \ne 0\)), khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\mathbb{R}\);
\(\left( { - \infty ;0} \right)\);
\(\left( {0; + \infty } \right)\);
Các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 = - 7 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] không thể mang dấu âm trên tập số thực.
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\({x^2} - 5{x^3} + 4 > 0\);
\({2^2}{x^2} + {3^2}{x^4} - 2 > 0\);
\({2^4}x + {x^2} - 1 > 0\);
\({x^2} + 2x - 1 \ge {x^2} - 2x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({2^4}x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow 16x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 16x - 1 > 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là
\(S = \left[ { - 1;4} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - 1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4\)
\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1\)
Như vậy, \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là \(S = \left[ { - 1;4} \right]\).
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 3} = x - 5\) là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(x = 3\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 1\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{1^2} + 1 + 3} = \sqrt 5 \ne 1 - 5 = - 4\)
Thay \(x = 2\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3 \ne 2 - 5 = - 3\)
Thay \(x = 3\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{3^2} + 3 + 3} = \sqrt {15} \ne 3 - 5 = - 2\)
Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.
Cô giáo yêu cầu bốn bạn Lan, Hoa, Hiếu, Hùng dự đoán số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \). Lan dự đoán phương trình có 1 nghiệm, Hoa dự đoán phương trình vô nghiệm, Hiếu dự đoán phương trình có 2 nghiệm, Hùng dự đoán phương trình có 3 nghiệm. Bạn nào dự đoán đúng ?
Lan;
Hoa;
Hiếu;
Hùng.
Đáp án đúng là: C
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có:
\(2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.\)
Thay \(x = 3 + \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Thay \(x = 3 - \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.
Cho tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\);
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\).
Đáp án đúng là: B
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\)
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\)
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\)
Do đó, đáp án A, C, D đúng.
Đáp án B sai vì đẳng thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) chỉ xảy ra khi tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Khi đó \(\sin B\) bằng
0;
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
1.
Đáp án đúng là: B
Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat B = 45^\circ \). Do đó, \(\sin B = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,\,\,AC = 2\sqrt 2 ,\,\cos \left( {B + C} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Độ dài cạnh \(BC\) là
2;
4;
12;
20.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (hai góc bù nhau).
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).
Suy ra \(BC = 2\).
Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu ?
\(P = \frac{4}{3}\);
\(P = \frac{5}{3}\);
\(P = - \frac{4}{3}\);
\(P = - \frac{5}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\tan \alpha = - 3 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\) nên chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \) ta được:
\[P = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{6\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{{6 \cdot \left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}\].
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn có bán kính \(R = 12\) và\(\,\widehat C = 30^\circ \). Độ dài cạnh \(AB\) bằng
6;
12;
\(12\sqrt 3 \);
24.
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\].
Suy ra \(AB = 2R\sin C = 2 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 12\).
Phát biểu nào sau đây là sai?
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương;
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng;
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối;
Vectơ là đoạn thẳng có hướng.
Đáp án đúng là: B
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng nên đáp án D đúng.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối nên đáp án C đúng.
Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng nên đáp án B sai.
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương nên đáp án A đúng.
Cho tam giác đều \(ABC\). Hãy chỉ ra đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\);
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = AC\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\).
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \);
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \).
Đáp án đúng là: B
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \). Vậy A đúng.
Đáp án B. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\). Vậy B sai.
Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \). Vậy C đúng.
Đáp án D. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.\). Vậy D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân đỉnh \(C\), \[AB = \sqrt 2 \]. Độ dài của \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \] là
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 5 \];
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 \];
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 3 \];
\[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 3 \].
Đáp án đúng là: A
Ta có tam giác \(ABC\) vuông cân đỉnh \(C\) có \(AB = \sqrt 2 \), suy ra \(AC = CB = 1\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\). Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACI\), suy ra \(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = 2 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \).
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC,\,I\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) với \(M\)là điểm bất kỳ;
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \);
\(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \).
Đáp án đúng là: D
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), nên đáp án A đúng.
Do đó, \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \) với \(M\)là điểm bất kỳ, nên đáp án B đúng.
Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} \), do đó đáp án C đúng và đáp án D sai.
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {AB} \].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI} \] và \[\overrightarrow {AB} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \]\(\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có \[BC = 2AC.\] Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right).\)
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{1}{2}\) ;
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{1}{2}\);
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Dựng điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} \). Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD}\).
Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên \(\cos \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{2AC}} = \frac{1}{2}\).
Lại có \(\widehat {BCD}\) và \(\widehat {ACB}\) là hai góc bù nhau nên \(\cos \widehat {BCD} = - \cos \widehat {ACB} = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{1}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(AC = 9\), \(BC = 5\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng
81;
91;
56;
76.
Đáp án đúng là: A
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{CA}}{{AB}}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = AB \cdot CA \cdot \frac{{CA}}{{AB}} = C{A^2} = 81\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Bác Trung có một tấm lưới dài 30 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn 3 mặt áp lên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để nuôi gà. Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)
Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)
Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 30x\) (m2).
Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:
\(S\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a = - 2 < 0\)
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)
\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)
Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).
Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
(1 điểm) Một người đi dọc bờ biển từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ vị trí \(A,\,\,B\) tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là \(50^\circ \) và \(70^\circ \). Biết khoảng cách giữa hai vị trí \(A\) và \(B\) là 20 m. Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \(C\) là vị trí ngọn hải đăng, từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại \(H\). Khi đó \(CH\) là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:
Vì \(\widehat {CBH}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {CBH} = \widehat {CAB} + \widehat {ACB}\).
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAB} = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{20 \cdot \sin 50^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 44,8\).
Tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) nên ta có:
\(CH = BC\sin \widehat {CBH} = 44,8 \cdot \sin 70^\circ \approx 42,1\).
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 42,1 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \[\,AB = c,BC = a,\,CA = b\]. Trung tuyến \(CM\) vuông góc với phân giác trong \(AL\) và \[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Tính \[\cos A\].
Ta phân tích được: \[\overrightarrow {AL} = \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \]
\[\overrightarrow {CM} = \frac{{\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }}{2}\]
Theo giả thiết: \[AL \bot CM \Leftrightarrow \overrightarrow {AL} .\overrightarrow {CM} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow b{c^2} + b{c^2}\cos A - 2c{b^2}\cos A - 2c{b^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {c - 2b} \right)\left( {1 + \cos A} \right) = 0 \Rightarrow c = 2b\,\,\left( {do\,\,\cos A > - 1} \right)\]
Khi đó: \[C{M^2} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\]
\[A{L^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{9}\left( {9{b^2} - {a^2}} \right)\]
\[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{C{M^2}}}{{A{L^2}}} = \frac{9}{4}.\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{9{b^2} - {a^2}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\]
Do đó, \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {{\left( {2b} \right)}^2} - 3{b^2}}}{{2b \cdot 2b}} = \frac{1}{2}\].
