Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu: “Nếu \(P\) thì \(Q\)”.

Vậy với \(P\): “\(n\) là số tự nhiên chẵn”, \(Q\): “\(n\) chia hết cho 2”, ta có mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là “Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \(n\) chia hết cho 2”.

Đáp án đúng là: D

Xét mệnh đề A, mệnh đề này đúng vì khi hai đường trung tuyến tròn một tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân, có thêm yếu tố một góc bằng \(60^\circ \) nên tam giác đó là tam giác đều. Ngược lại hiển nhiên tam giác đều suy ra được hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng \(60^\circ \).

Xét mệnh đề B, mệnh đề này đúng theo định lí Pythagore.

Xét mệnh đề C, mệnh đề này đúng theo định nghĩa và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Xét mệnh đề D, mệnh đề này sai vì khi hai tam giác đồng dạng thì ba cặp góc tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, nên điều kiện để hai tam giác bằng nhau phải có thêm cặp cạnh bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(A \cap B = \left[ { - 2;\,\,3} \right] \cap \left( {0;\,\, + \infty } \right) = \left( {0;\,\,3} \right]\).

Đáp án đúng là: C

Vì \[k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3\] nên \(k \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).

Với \(k = - 1\) thì \(3k = 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 3\);

Với \(k = 0\) thì \(3k = 3 \cdot 0 = 0\);

Với \(k = 1\) thì \(3k = 3 \cdot 1 = 3\);

Với \(k = 2\) thì \(3k = 3 \cdot 2 = 6\);

Với \(k = 3\) thì \(3k = 3 \cdot 3 = 9\).

Vậy \[A = \left\{ {3k|k \in \mathbb{Z}, - 2 < k \le 3} \right\} = \left\{ { - 3;\,\,0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}\].

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(5 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 1 < 1\), nên đáp án A không thỏa mãn.

\(4 \cdot 1 - 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 18 > 10\), nên đáp án B không thỏa mãn.

\(7 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) = 5 > 2\), nên \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(7x + y \ge 2\), chọn đáp án C.

\(1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) = 18 > 7\), nên đáp án D không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Vì diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m², do đó diện tích phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo tối đa là: 95 – 15 = 80 (m²).

Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m², nên diện tích để kê \(x\) chiếc giường là \(3,2x\) (m²).

Diện tích để kê một chiếc tủ quần áo là 1,6 m², nên diện tích để kê \(y\) chiếc tủ quần áo là \(1,6y\) (m²).

Tổng diện tích cho phần mặt sàn để kê \(x\) chiếc giường và \(y\) chiếc tủ quần áo là: \(3,2x + 1,6y\) (m²).

Do đó, bất phương trình cần tìm là: \(3,2x + 1,6y \le 80\) hay \(2x + y \le 50\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\25x + 7y > 2\end{array} \right.\), đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(-1\right)+1-2\le 0\\ 2\cdot \left(-1\right)-3\cdot 1+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2\le 0\\ -3>0\end{array}\right.$ (vô lí).

Do đó, \[N\left( { - 1;\,\,1} \right)\] không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền \(y\) (đồng) phải chi trả và số bút \(x\) (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là \(y = 5000x\) (đồng).

Đáp án đúng là: B

Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Thay \(x = 0\) vào công thức của hàm số \(y = 6x - 3{x^3} + 2023\) ta có:

\(y = 6.0 - {3.0^3} + 2023 = 2023\)

Vậy tại \(x = 0\) thì giá trị của hàm số là 2023.

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) có dạng hình parabol với bề lõm hướng xuống dưới.

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi hàm số bậc hai có dạng \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Đồ thị hàm số đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(C\left( {7;9} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + c = 2\\a{.4^2} + b.4 + c = 5\\a{.7^2} + b.7 + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2\\16a + 4b + c = 5\\49a + 7b + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{18}}\\b = \frac{{13}}{{18}}\\c = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\).

Như vậy, hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}\).

Đáp án đúng là: C

Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)).

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] (với \(a \ne 0\)), khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\).

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có \(a = 1 > 0\)

\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 = - 7 < 0\)

Do đó, \(f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] không thể mang dấu âm trên tập số thực.

Đáp án đúng là: C

Ta có \({2^4}x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow 16x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 16x - 1 > 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\)

\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0\)

Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4\)

\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1\)

Như vậy, \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là \(S = \left[ { - 1;4} \right]\).

Đáp án đúng là: D

Thay \(x = 1\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{1^2} + 1 + 3} = \sqrt 5 \ne 1 - 5 = - 4\)

Thay \(x = 2\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3 \ne 2 - 5 = - 3\)

Thay \(x = 3\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{3^2} + 3 + 3} = \sqrt {15} \ne 3 - 5 = - 2\)

Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có:

\(2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.\)

Thay \(x = 3 + \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6} \)           (thỏa mãn)

Thay \(x = 3 - \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)

Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\)

\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\)

\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\)

Do đó, đáp án A, C, D đúng.

Đáp án B sai vì đẳng thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) chỉ xảy ra khi tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat B = 45^\circ \). Do đó, \(\sin B = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (hai góc bù nhau).

Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).

Suy ra \(BC = 2\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(\tan \alpha = - 3 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\) nên chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \) ta được:

\[P = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{6\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{{6 \cdot \left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7 \cdot \left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}\].

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\].

Suy ra \(AB = 2R\sin C = 2 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 12\).

Đáp án đúng là: B

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng nên đáp án D đúng.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối nên đáp án C đúng.

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng nên đáp án B sai.

Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương nên đáp án A đúng.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = AC\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\).

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \). Vậy A đúng.

Đáp án B. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\). Vậy B sai.

Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \). Vậy C đúng.

Đáp án D. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.\). Vậy D đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có tam giác \(ABC\) vuông cân đỉnh \(C\) có \(AB = \sqrt 2 \), suy ra \(AC = CB = 1\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\). Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACI\), suy ra \(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = 2 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \).

Đáp án đúng là: D

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), nên đáp án A đúng.

Do đó, \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \) với \(M\)là điểm bất kỳ, nên đáp án B đúng.

Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} \), do đó đáp án C đúng và đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có \[AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI} \] và \[\overrightarrow {AB} \] ngược hướng nên \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \]\(\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi

\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Dựng điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} \). Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {BCD}\).

Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên \(\cos \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{2AC}} = \frac{1}{2}\).

Lại có \(\widehat {BCD}\) và \(\widehat {ACB}\) là hai góc bù nhau nên \(\cos \widehat {BCD} = - \cos \widehat {ACB} = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = - \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{CA}}{{AB}}\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = AB \cdot CA \cdot \frac{{CA}}{{AB}} = C{A^2} = 81\).

Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)

Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)

Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 30x\) (m²).

Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:

\(S\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a = - 2 < 0\)

\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).

Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)

\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)

Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).

Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Gọi \(C\) là vị trí ngọn hải đăng, từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại \(H\). Khi đó \(CH\) là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Vì \(\widehat {CBH}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {CBH} = \widehat {CAB} + \widehat {ACB}\).

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAB} = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{20 \cdot \sin 50^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 44,8\).

Tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(CH = BC\sin \widehat {CBH} = 44,8 \cdot \sin 70^\circ \approx 42,1\).

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 42,1 m.

Ta phân tích được: \[\overrightarrow {AL} = \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \frac{{\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }}{2}\]

Theo giả thiết: \[AL \bot CM \Leftrightarrow \overrightarrow {AL} .\overrightarrow {CM} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow b{c^2} + b{c^2}\cos A - 2c{b^2}\cos A - 2c{b^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {c - 2b} \right)\left( {1 + \cos A} \right) = 0 \Rightarrow c = 2b\,\,\left( {do\,\,\cos A > - 1} \right)\]

Khi đó: \[C{M^2} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\]

\[A{L^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{9}\left( {9{b^2} - {a^2}} \right)\]

\[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{C{M^2}}}{{A{L^2}}} = \frac{9}{4}.\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{9{b^2} - {a^2}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\]

Do đó, \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {{\left( {2b} \right)}^2} - 3{b^2}}}{{2b \cdot 2b}} = \frac{1}{2}\].