Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?
“\(\pi \)là một số hữu tỉ.”;
“Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba.”;
“Bạn có chăm học không?”;
“Con thì thấp hơn cha.”.
Đáp án đúng là: B
Vì số \(\pi \) là số vô tỉ nên phát biểu “\(\pi \)là một số hữu tỉ.” là mệnh đề sai.
Phát biểu “Bạn có chăm học không?” không là mệnh đề.
Phát biểu “Con thì thấp hơn cha.” không xác định tính đúng sai nên không là mệnh đề.
Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác tổng độ dài của hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba, vậy phát biểu ở đáp án B đúng.
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 > 0\)” là mệnh đề
“\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 = 0\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 < 0\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0\)”.
Đáp án đúng là: D
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 > 0\)” là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0\)”.
Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con ?
\(\emptyset \);
\(\left\{ 1 \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\);
\(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Mọi tập hợp đều có hai tập con là chính nó và tập rỗng (\(\emptyset \)).
Riêng tập rỗng chỉ có một tập con là chính nó (chính là tập \(\emptyset \)).
Cho hai tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {2{x^2} - 3x + 1 = 0} \right.} \right\},B = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}\left| {3x - 2 < 10} \right.} \right\}\], khi đó:
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\);
\(A\backslash B = \left\{ {2;\,\,3} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Cách 1: Giải phương trình \[2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]. Mà\[x \in \mathbb{R}\] nên \[A = \left\{ {\frac{1}{2};\,1} \right\}\].
Giải bất phương trình \[3x - 2 < 10 \Leftrightarrow x < 4\]. Mà\[x \in {\mathbb{N}^*}\] nên chọn \[B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\].
Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\backslash \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\} = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Cách 2: Ta thử từng phần tử của các đáp án, nếu thỏa yêu cầu bài toán của tập \[A\] mà không thuộc tập \[B\] thì đó là đáp án đúng.
Cặp số nào là một nghiệm của bất phương trình \( - 5x - y > 6\)?
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Xét cặp số \(\left( { - 3;\,\,0} \right)\) và bất phương trình \( - 5x - y > 6\), ta có: \(\left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 3} \right) - 0 = 15 > 6\).
Do đó, cặp số \(\left( { - 3;\,\,0} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \( - 5x - y > 6\).
Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
\(x + 2y > 1\);
\(2x + y > 1\);
\(2x + y < 1\);
\(2x - y > 1\).
Đáp án đúng là: B
Giả sử đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y = ax + b\).
Từ hình vẽ ta thấy, đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0;\,\,1} \right)\) và \(\left( {0,5;\,\,0} \right)\).
Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 0 + b = 1\\a \cdot 0,5 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.\).
Do đó, \(d:y = - 2x + 1\) hay \(d:2x + y = 1\).
Lấy điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d\), ta thấy \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 1\) và nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa điểm \(O\).
Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y > 1\).
Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - y > 0\);
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4 \ge 0}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\];
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} + 2y - 3 > 0}\\{5x - y > 2}\end{array}} \right.\];
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\].
Đáp án đúng là: D
Ta thấy hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.\] có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.\) là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình nào dưới đây?
;
;
;
.
Đáp án đúng là: B
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.\) .
+ Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x + y = 4\). Ta có \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 4\), do đó miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \({d_1}\)).
+ Vẽ đường thẳng \({d_2}: - 3x + 2y = - 5\). Ta có \( - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 > - 5\), do đó miền nghiệm của bất phương trình \( - 3x + 2y \ge - 5\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \({d_2}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \({d_2}\)).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.\) là giao của hai miềm nghiệm của hai bất phương trình \(2x + y \le 4\), \( - 3x + 2y \ge - 5\) và chính là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình ở đáp án B.
Hàm số \[s\left( t \right)\] mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian \(t\) (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc \(5\) km/h. Công thức của hàm số \[s\left( t \right)\] là
\(s\left( t \right) = 5t\) (km);
\(s\left( t \right) = 5t\) (h);
\(s\left( t \right) = 25t\) (km);
\(s\left( t \right) = 25t\) (h).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[s\left( t \right)\] mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian \(t\) (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc \(5\) km/h.
Công thức của hàm số \[s\left( t \right)\] là: \(s\left( t \right) = 5t\) (km).
(quãng đường của chuyển động thẳng đều bằng vận tốc nhân thời gian).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) được vẽ như hình dưới.
Khoảng đồng biến của hàm số trên là
\(\left( { - \infty ;1} \right)\);
\(\left( {0;1} \right)\);
\(\mathbb{R}\);
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), do đó, hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}\) là
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}\) là: \(2x - 8 \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 4\).
Do vậy, tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) được vẽ như hình dưới.
Đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là
\(O\left( {0;0} \right)\) và \(x = 0\);
\(O\left( {0;0} \right)\) và \(y = 0\);
\(O\left( {1;1} \right)\) và \(x = 1\);
\(O\left( {1;1} \right)\) và \(y = 1\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là: \(O\left( {0;0} \right)\) và \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 4\), khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\);
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 4\) có: \(a = 1 > 0\), \(b = - 2\), \(c = 4\).
Ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1\).
Như vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đi qua hai điểm \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;5} \right)\)và có trục đối xứng \(x = \frac{3}{4}\) có công thức là
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 1\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 5\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x\);
\(y = f\left( x \right) = 2{x^2} + 3x\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có dạng: \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Đồ thị đi qua điểm \(A\left( {0;0} \right)\) nên ta có: \(a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\).
Đồ thị đi qua điểm \(B\left( { - 1;5} \right)\) nên ta có: \(a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 5 \Leftrightarrow a - b = 5\).
Đồ thị có trục đối xứng \(x = \frac{3}{4}\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4} \Rightarrow 6a + 4b = 0\).
Từ những điều trên, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\6a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\a = 2\end{array} \right.\).
Như vậy, \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x\).
Trong các biểu thức sau, đâu không phải là tam thức bậc hai ?
\(f\left( x \right) = 4x - 5{x^2}\);
\(f\left( x \right) = 2 + 3{x^2} - 2x\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4\);
\(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Như vậy, \(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\) không phải là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta \ge 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(f\left( x \right)\) luôn dương trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn âm trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn không dương trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta \ge 0\). Khi đó, \(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực hay \(f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\left( { - \infty ;2022} \right)\);
\(\left( {0;2022} \right)\);
\(\left( {2022; + \infty } \right)\);
\(\left( { - 2022;2022} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) có: \(a = 1 > 0\) và \(b = - 2022\) và \(c = 0\).
Δ=−20222−4.0.1=20222>0⇒Δ=2022
Do đó, \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0\) có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0\)
Như vậy, \(f\left( x \right)\) mang dấu âm trên khoảng \(\left( {0;2022} \right)\).
\(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(2{x^2} - 5x - 1 > 0\);
\({x^2} + 3x - 5 > 0\);
\(2{x^2} + 3x + 4 < 0\);
\(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn \({3.0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0\) nên \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình \(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là
\(S = \mathbb{R}\);
\(S\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1\) có:
\(a = - 4 < 0\)
\(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 12 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\)
Hay \(2x - 4{x^2} < 1\) với mọi số thực \(x\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là: \(S = \mathbb{R}\).
Cho phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = x - 2\), giá trị nào sau đây không thể là nghiệm của phương trình ?
– 3;
2;
4;
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có: – 3 – 2 = – 5 < 0, do đó khi \(x = - 3\) thì vế phải của phương trình âm, mà vế trái luôn không âm. Vậy giá trị \(x = - 3\) không thể là nghiệm của phương trình.
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \), số nghiệm của phương trình này là
1 nghiệm;
2 nghiệm;
3 nghiệm;
0 nghiệm.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) ta được:
\(2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) vô nghiệm.
Khẳng định nào sau đây là đúng với \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \)?
\(\sin \alpha = - \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\tan \alpha = \tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cot \alpha = \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau, côsin, tang, côtang đối nhau nên với hai góc bù nhau \(\alpha \) và \(180^\circ - \alpha \) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ \)), ta có:
\(\sin \alpha = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)\);
\(\tan \alpha = - \tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\);
\(\cot \alpha = - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\).
Giá trị của biểu thức \(A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ \) là
– 1;
1;
0;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ \)
\( = \left( {\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ \)
\( = \left( {\tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ } \right) \cdot 1 = 1\)
Cho tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\); \(R\), \(r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác; \(S\) là diện tích tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(S = \frac{{abc}}{{4r}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc \cdot \cos A\);
\(R = \frac{a}{{\sin A}}\);
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
Đáp án đúng là: D
Công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{{abc}}{{4R}}\), do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\) nên đáp án B sai.
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\), do đó đáp án C sai.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 150^\circ ,\,\,BC = 24\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
24;
12;
48;
8.
Đáp án đúng là: A
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\).
Suy ra \(R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{24}}{{2\sin 150^\circ }} = 24\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6;\,BC = 8;\,\widehat B = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(AC\).
\(3\sqrt {12} \);
\(2\sqrt {13} \);
\(2\sqrt {37} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos B = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 52\).
Suy ra\(AC = 2\sqrt {13} \).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Vectơ là một đường thẳng có hướng;
Vectơ là một đoạn thẳng;
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng;
Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
Đáp án đúng là: C
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vectơ khác vectơ-không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OD} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
4;
6;
8;
10.
Đáp án đúng là: B
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OD} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:\(\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {EF} ,\,\overrightarrow {FE} \).
Vậy có 6 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình bình hành \(ABCD\), với giao điểm hai đường chéo là \(I\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \vec 0\);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \vec 0\).
Đáp án đúng là: C
Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} \ne \overrightarrow {BI} \) nên đáp án A sai.
Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \) nên đáp án B sai.
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DD} = \vec 0\), do đó đáp án C đúng.
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow 0 \] nên đáp án D sai.
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác vuông \[ABC\;\] với cạnh huyền \[BC = 12\]. Vectơ GB→−CG→ có độ dài bằng
2;
4;
8;
\(2\sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: B
Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\;\] nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AG} \).
Do đó, \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG\).
Giả sử điểm \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\), khi đó \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(ABC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\).
Theo tính chất trọng tâm ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = 4\).
Cho tam giác \[ABC\] với trung tuyến \[AM\] và trọng tâm \[G\]. Khi đó \[\overrightarrow {GA} = \]
\(2\overrightarrow {GM} \);
\(\frac{2}{3}\overrightarrow {GM} \);
\( - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \);
\(\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(AG = \frac{2}{3}AM,\,AG = 2GM\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \). Vậy đáp án A và B đều sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \). Vậy đáp án C đúng và đáp án D sai.
Cho tam giác \[ABC\] có điểm \[M\]thuộc cạnh \[BC\] sao cho \[CM = 2MB\] và \[I\] là trung điểm của \[AB\]. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \].
Đáp án đúng là: B
Vì \[I\] là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Vì \(CM = 2MB\) nên \(BM = \frac{1}{3}BC\), do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \).Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\).
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ vuông góc với nhau nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 90^\circ = 0\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 1\), \(BC = 2\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} \) bằng
\(\sqrt 3 \);
\( - \sqrt 3 \);
\(3\);
\( - 3\).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {1^2} + {2^2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3\).
Suy ra \(AC = \sqrt 3 \).
Theo hệ quả của định lí côsin ta có:
\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {1^2}}}{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left( {\left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {2 \cdot \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Một con sông rộng 200 m, sâu 10 m, để thuận lợi cho giao lưu buôn bán hai bờ sông, người ta dự định xây dựng cây cầu bắc qua sông. Mỗi bên đầu cầu có một cột trụ (minh họa như hình vẽ), độ dài của mỗi cột trụ là 12 m và khoảng cách từ chân cầu đến cột trụ là 4 m. Tính độ cao của cầu (tính từ mặt sông đến điểm cao nhất của cầu, làm tròn đến hàng phần mười).
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ sau:
Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Ta có:\(AH = 4 \Rightarrow OH = \frac{{200}}{2} - 4 = 96\,\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(MH = 12 - 10 = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\); \(OA = OB = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)\)
Do đó, \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\).
Do parabol đi qua ba điểm \(A\left( { - 100;0} \right)\), \(B\left( {100;0} \right)\), \(M\left( { - 96;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 100} \right)^2} + b.\left( { - 100} \right) + c = 0\\a{.100^2} + b.100 + c = 0\\a.{\left( { - 96} \right)^2} + b.\left( { - 96} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{392}}\\b = 0\\c = \frac{{1250}}{{49}}\end{array} \right.\).
Do đó, phương trình parabol là: \(y = - \frac{1}{{392}}{x^2} + \frac{{1250}}{{49}}\).
Đỉnh parabol có hoành độ \(x = 0\) (từ hình vẽ) nên có tung độ là: \(y = \frac{{1250}}{{49}} \approx 25,5\).
Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.
Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.
(1 điểm) Từ vị trí \(A\), người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết \(AH = 5\,\,{\rm{m,}}\)\(HB = 25\,{\rm{m}}\), \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao \(BC\) của cây.
Ta mô phỏng bài toán như sau:
Vì tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {25^2} = 650\)
Suy ra \(AB = 5\sqrt {26} \).
Lại có: \(\cos \widehat {HAB} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{5\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\), suy ra \(\widehat {HAB} \approx 79^\circ \).
Ta có: \(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC} = 79^\circ + 45^\circ = 124^\circ \).
Tứ giác \(AHBC\) có: \(\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {ACB} + \widehat {HBC} = 360^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 360^\circ - \left( {\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {HBC}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 124^\circ + 90^\circ } \right) = 56^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{5\sqrt {26} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 21,75\).
Vậy chiều cao \(BC\) của cây xấp xỉ 21,75 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,\,CA = b,\,\,AB = c\]. Gọi \(M\) là trung điểm của\(BC\), \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(A\). Tính \[{\overrightarrow {AD} ^2}\] theo \(a,\,\,b,\,\,c\).
Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].
Suy ra \[AM = {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\]
Lại có \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = c \cdot b.\cos A = bc \cdot \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\]
Nên \[A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\].
Theo tính chất đường phân giác thì \[\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\].
Suy ra \[\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC\,} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Mặt khác \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \] thay vào (*) ta được
\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\]
Vậy \[{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\].
