Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + 1 \ge 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2\), \({x_2} = \frac{1}{2}\).

Mặt khác có hệ số \(a = - 2 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Do \(\frac{1}{2} < 1\) nên bất phương trình đã cho có không có nghiệm nguyên dương nào.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\) ta được:

\(3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] ta được:

\( - {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 6x = 0\). Từ đó suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 3\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{0;3\right\}$. Khi đó ta có: \({0^2} + {3^2} = 9\).

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {3^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = 0,8\)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} \approx 37^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{14 + 15 + 16}}{2} = 22,5\) (cm).

Áp dụng công thức Heron tính diện tích ta có:

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \)

\( = \sqrt {22,5 \cdot \left( {22,5 - 14} \right) \cdot \left( {22,5 - 15} \right) \cdot \left( {22,5 - 16} \right)} \approx 96,56\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABC\) là:

\(R = \frac{{abc}}{{4{S_{ABC}}}} \approx \frac{{14 \cdot 15 \cdot 16}}{{4 \cdot 96,56}} \approx 8,70\) (cm).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào hình vẽ, ta thấy: \(AB\,{\rm{//}}\,ED\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {ED} \) cùng hướng.

Đáp án đúng là: A

Xét hình chữ nhật \(ABCD\) có: \(BC = AD = 3\,\,{\rm{cm}}\)

Ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) là:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {3^2} = 45 \Rightarrow AC = 3\sqrt 5 \) (cm)

Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\sqrt 5 \) (cm).

Đáp án đúng là: C

Do \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và \(\left| {x\overrightarrow a } \right| = 6 \Rightarrow \left| x \right|\left| {\overrightarrow a } \right| = 6\)

Để \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| x \right| = 6 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 6;6} \right\}\)

Để \(x\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) thì \(x < 0 \Rightarrow x = - 6\).

Đáp án đúng là: A

Do các điểm \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên ta có:

\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \); \(2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} \).

Vậy \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} \).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 4 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16\).

Đáp án đúng là: C

\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 11 \cdot 9 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( \Rightarrow 95 = 99 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{95}}{{99}} \Rightarrow \widehat {BCx} = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) \approx 16^\circ \) (với \(Cx\) là tia đối của tia \(CA\)).

Do đó, \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BCx} = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ \).

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa \(\left( {x \ge 0} \right)\).

Số cốc trà sữa bán được sau khi tăng giá thêm \(x\) (nghìn đồng) là: \(2\,200 - 100x\) (cốc).

Số tiền lãi thu được là:

\(\left( {30 + x - 22} \right)\left( {2\,\,200 - 100x} \right) = \left( {8 + x} \right)\left( {2\,200 - 100x} \right) = - 100{x^2} + 1\,400x + 17600\) (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì phải tìm được \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1400x + 17600\) lớn nhất.

Hàm số này là hàm số bậc hai có \(a = - 100 < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1400x + 17600\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{1400}}{{2.\left( { - 100} \right)}} = 7\) (thỏa mãn \[x \ge 0\]).

Khi đó số tiền phải tăng lên để lợi nhuận lớn nhất là 7 nghìn đồng hay chính là bán ra một cốc trà sữa với giá 30 + 7 = 37 (nghìn đồng).

Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá 37 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Khoảng cách từ vị trí \(A\) đến \(B\) theo đường chim bay là độ dài đoạn thẳng \(AB\)

Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lí côsin ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}\)

Thay số: \(AC = 150\,\,m\), \(BC = 50\,\,m\), \(\widehat {ACB} = 120^\circ \) ta có:

\(A{B^2} = {150^2} + {50^2} - 2 \cdot 150 \cdot 50 \cdot \cos 120^\circ = 32\,500\)

Mà \(AB > 0\) nên \(AB = \sqrt {32500} = 50\sqrt {13} \) (m)

Vậy khoảng cách từ vị trí \(A\) đến \(B\) theo đường chim bay là \(50\sqrt {13} \,\) (m).

Ta có:

\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = c\overrightarrow {AC} - a\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = b\overrightarrow {AL} - a\overrightarrow {AB} \)

Mà \(\overrightarrow {AL} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) (do điểm \(L\) là trung điểm của \(BC\)).

Do đó, ta có: \(\overrightarrow {MN} = \frac{b}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) - a\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{b}{2} - a} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{b}{2}\overrightarrow {AC} \)

Do \(abc \ne 0\) nên \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{{\frac{b}{2} - a}}{{ - a}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{c} \Leftrightarrow 2ac = ab + bc\).