Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 10
24 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề ?
Bạn có thích môn Toán không ?;
\[x - 2 < 5\];
Mệt mỏi quá !;
Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau.
Đáp án đúng là: D
Câu “Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau” là mệnh đề vì nó là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai. Đây là một mệnh đề đúng.
Cho tập hợp \(L = \left\{ {{x^2}|x \in \mathbb{N},\,\,1 < x < 10} \right\}\), phần tử nào sau đây không thuộc tập hợp \(L\) ?
4;
9;
1;
16.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(L = \left\{ {{x^2}|x \in \mathbb{N},\,\,1 < x < 10} \right\} = \left\{ {4;\,\,9;\,\,16;\,\,25;\,\,36;\,\,49;\,\,64;\,\,81} \right\}\). Vậy \(1 \notin L\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} \le 4} \right\}\). Số tập con của tập hợp \(A\) là
64;
32;
16;
8.
Đáp án đúng là: B
Ta có:\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} \le 4} \right\} = \left\{ {0;\,\,1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}\).
Do tập hợp \(A\) có 5 phần tử nên số tập con của tập hợp \(A\) là \({2^5} = 32\).
Mẹ nhờ Nam đi chợ mua một số bánh bao và bánh mì để cả nhà ăn sáng. Giá một chiếc bánh bao là 10 nghìn đồng, giá một chiếc bánh mì là 5 nghìn đồng. Gọi số bánh bao Nam mua là \(x\) (cái), số bánh mì Nam mua là \(y\) (cái). Các số tự nhiên \(x\) và \(y\) phải thỏa mãn điều kiện gì để số tiền Nam chi tiêu không quá 50 nghìn đồng ?
\(x + y \le 50\);
\(10x - 5y \le 50\);
\(2x + y \le 10\);
\(10x + 5y < 50\).
Đáp án đúng là: C
Gọi số bánh bao Nam mua là \(x\) (cái), số bánh mì Nam mua là \(y\) (cái). \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\)
Số tiền Nam dùng để mua \(x\) cái bánh bao là: \(10x\) (nghìn đồng)
Số tiền Nam dùng để mua \(y\) cái bánh mì là: \(5y\) (nghìn đồng)
Tổng số tiền Nam chi tiêu là: \(10x + 5y\) (nghìn đồng)
Để số tiền Nam chi tiêu không quá 50 nghìn đồng thì ta có
\(10x + 5y \le 50 \Leftrightarrow 2x + y \le 10\).
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 0\\x - y < 4\end{array} \right.\) ?
\(\left( {0;\,\,1} \right)\);
\(\left( {8;\,\,4} \right)\);
\(\left( {12;\,\,5} \right)\);
\(\left( {2;\,\, - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét cặp số \(\left( {0;\,\,1} \right)\) ta có: \(0 + 2 \cdot 1 = 2 \ge 0\) và \(0 - 1 = - 1 < 4\).
Vậy cặp số \(\left( {0;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 0\\x - y < 4\end{array} \right.\).
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng
\(\left( {2;\,\,3} \right)\);
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( {2;\,\,3} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;\,\,3} \right)\).
Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a > 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\);
\(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Với \(a > 0\) ta có bảng biến thiên:
Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a > 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + bx + 1\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\,\,3} \right)\). Khi đó
\(b = - 1\);
\(b = 1\);
\(b = 3\);
\(b = 2\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;\,\,3} \right)\) vào \(\left( P \right):y = {x^2} + bx + 1\) ta được:
\(3 = {\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow b = - 1\).
Biểu thức nào dưới đây không là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4 - 3{x^2}\);
\(f\left( x \right) = {x^2} + x + 6\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 2{x^2} + 2\);
\(f\left( x \right) = {3^2}{x^2} + 3x + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4 - 3{x^2} = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) - 4x + 4 = - 4x + 4\) không là một tam thức bậc hai.
Khẳng định nào sau đây là đúng với tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\)?
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\);
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\,1} \right)\);
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\,\,1} \right)\);
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + 1 \ge 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\).
Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \( - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\) là
2;
0;
1;
3.
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2\), \({x_2} = \frac{1}{2}\).
Mặt khác có hệ số \(a = - 2 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) \( - 2\) \(\frac{1}{2}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | – 0 + 0 – |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} < 1\) nên bất phương trình đã cho có không có nghiệm nguyên dương nào.
Khẳng định nào sau đây là đúng với phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\)?
Phương trình vô nghiệm;
Phương trình có một nghiệm;
Tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{5}{2}\);
Phương trình có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\) ta được:
\(3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] bằng
0;
4;
Không tồn tại;
9.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] ta được:
\( - {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 6x = 0\). Từ đó suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 3\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S=0; 3. Khi đó ta có: \({0^2} + {3^2} = 9\).
Cho tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh như sau: \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\), \(AC = 3\;{\rm{cm}}\), \(BC = 5\,\,{\rm{cm}}\). Số đo \(\widehat {ABC}\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến độ)?
\(37^\circ \);
\(36^\circ \);
\(35^\circ \);
\(38^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {3^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = 0,8\)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} \approx 37^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 14\) cm, \(AC = 15\) cm, \(BC = 16\) cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp (làm tròn đến hàng phần trăm) của tam giác \(ABC\) là
8,70;
9,70;
8,69;
9,69.
Đáp án đúng là: A
Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{14 + 15 + 16}}{2} = 22,5\) (cm).
Áp dụng công thức Heron tính diện tích ta có:
\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \)
\( = \sqrt {22,5 \cdot \left( {22,5 - 14} \right) \cdot \left( {22,5 - 15} \right) \cdot \left( {22,5 - 16} \right)} \approx 96,56\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABC\) là:
\(R = \frac{{abc}}{{4{S_{ABC}}}} \approx \frac{{14 \cdot 15 \cdot 16}}{{4 \cdot 96,56}} \approx 8,70\) (cm).
Cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {ED} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CO} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {ED} \) ngược hướng;
\(\overrightarrow {OF} \) và \(\overrightarrow {OC} \) cùng hướng.
Đáp án đúng là: A
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: \(AB\,{\rm{//}}\,ED\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {ED} \) cùng hướng.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 6\,\,{\rm{cm}}\), \(AD = 3\,\,{\rm{cm}}\). Độ dài vectơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) bằng
\(3\sqrt 5 \)cm;
\(\sqrt {35} \)cm;
3 cm;
9 cm.
Đáp án đúng là: A
Xét hình chữ nhật \(ABCD\) có: \(BC = AD = 3\,\,{\rm{cm}}\)
Ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc hình bình hành)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) là:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {3^2} = 45 \Rightarrow AC = 3\sqrt 5 \) (cm)
Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\sqrt 5 \) (cm).
Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \), biết \(\left| {x\overrightarrow a } \right| = 6\). Tìm \(x\) để độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) bằng 1 và \(x\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \).
\(x = 1\);
\(x = 6\);
\(x = - 6\);
\(x \in \left\{ { - 6;6} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Do \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và \(\left| {x\overrightarrow a } \right| = 6 \Rightarrow \left| x \right|\left| {\overrightarrow a } \right| = 6\)
Để \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| x \right| = 6 \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 6;6} \right\}\)
Để \(x\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) thì \(x < 0 \Rightarrow x = - 6\).
Cho tam giác \(ABC\), các điểm \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {BC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AN} \), ta được đẳng thức là
\(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} \);
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} \);
\(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} \);
\(\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} \).
Đáp án đúng là: A
Do các điểm \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên ta có:
\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \); \(2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} \).
Vậy \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ-không, biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 60^\circ \). Tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
4;
8;
16;
32.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 4 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AC = 11\,\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 9\,\,{\rm{cm}}\), \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 95\). Tính số đo góc \(ACB\) (làm tròn đến độ).
\(100^\circ \);
\(16^\circ \);
\(164^\circ \);
\(116^\circ \).
Đáp án đúng là: C
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 11 \cdot 9 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( \Rightarrow 95 = 99 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{95}}{{99}} \Rightarrow \widehat {BCx} = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) \approx 16^\circ \) (với \(Cx\) là tia đối của tia \(CA\)).
Do đó, \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BCx} = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ \).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm). Một cửa hàng bán trà sữa thuộc nhãn hàng Toco – Toco ở Diễn Châu sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa trân châu. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 30 000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2 200 cốc, còn từ mức giá 30 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1 000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 22 000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa \(\left( {x \ge 0} \right)\).
Số cốc trà sữa bán được sau khi tăng giá thêm \(x\) (nghìn đồng) là: \(2\,200 - 100x\) (cốc).
Số tiền lãi thu được là:
\(\left( {30 + x - 22} \right)\left( {2\,\,200 - 100x} \right) = \left( {8 + x} \right)\left( {2\,200 - 100x} \right) = - 100{x^2} + 1\,400x + 17600\) (nghìn đồng).
Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì phải tìm được \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1400x + 17600\) lớn nhất.
Hàm số này là hàm số bậc hai có \(a = - 100 < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.
Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1400x + 17600\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{1400}}{{2.\left( { - 100} \right)}} = 7\) (thỏa mãn \[x \ge 0\]).
Khi đó số tiền phải tăng lên để lợi nhuận lớn nhất là 7 nghìn đồng hay chính là bán ra một cốc trà sữa với giá 30 + 7 = 37 (nghìn đồng).
Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá 37 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.
(1 điểm) Để đi từ đài quan sát \(A\) đến cột mốc \(B\), do giữa \(A\) và \(B\) có một cái hồ, một nhân viên kiểm lâm phải đi bộ dọc theo một con đường từ \(A\) đến \(C\) mất khoảng 150 m và sau đó từ \(C\) đến \(B\) mất 50 m (như hình vẽ). Biết \(\widehat {ACB} = 120^\circ \). Khoảng cách từ vị trí \(A\) đến \(B\) theo đường chim bay là bao nhiêu mét ?
Khoảng cách từ vị trí \(A\) đến \(B\) theo đường chim bay là độ dài đoạn thẳng \(AB\)
Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lí côsin ta có:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}\)
Thay số: \(AC = 150\,\,m\), \(BC = 50\,\,m\), \(\widehat {ACB} = 120^\circ \) ta có:
\(A{B^2} = {150^2} + {50^2} - 2 \cdot 150 \cdot 50 \cdot \cos 120^\circ = 32\,500\)
Mà \(AB > 0\) nên \(AB = \sqrt {32500} = 50\sqrt {13} \) (m)
Vậy khoảng cách từ vị trí \(A\) đến \(B\) theo đường chim bay là \(50\sqrt {13} \,\) (m).
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\), điểm \(L\) là trung điểm của \(BC\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là các điểm thỏa mãn các đẳng thức \(\overrightarrow {AM} = a\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AN} = b\overrightarrow {AL} \), \(\overrightarrow {AP} = c\overrightarrow {AC} \). Biết \(abc \ne 0\). Tìm đẳng thức điều kiện của \(a\), \(b\), \(c\) để \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng.
Ta có:
\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = c\overrightarrow {AC} - a\overrightarrow {AB} \)
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = b\overrightarrow {AL} - a\overrightarrow {AB} \)
Mà \(\overrightarrow {AL} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) (do điểm \(L\) là trung điểm của \(BC\)).
Do đó, ta có: \(\overrightarrow {MN} = \frac{b}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) - a\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{b}{2} - a} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{b}{2}\overrightarrow {AC} \)
Do \(abc \ne 0\) nên \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{{\frac{b}{2} - a}}{{ - a}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{c} \Leftrightarrow 2ac = ab + bc\).
