Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) có đáp án

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) được tính theo công thức: \(\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u\left|  \cdot  \right|\vec v} \right| \cdot \cos \left( {\vec u,\vec v} \right)\).

Thay số: \(\vec u \cdot \vec v = 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).

Đáp án chọn: D.

Dựa vào bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\):

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 5\).

\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - 1;5} \right)\).

\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

Vậy khẳng định đúng là \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - 1;5} \right)\).

Đáp án chọn: B.

Quan sát đồ thị hàm số trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), ta thấy từ trái sang phải đồ thị có hướng đi xuống từ điểm \(\left( { - 1;4} \right)\) đến điểm \(\left( {1;0} \right)\).

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án chọn: B.

a) Đúng. Sau \(2\)s, quả bóng đạt vị trí cao nhất là \(3\)m nên đỉnh của Parabol là \(I\left( {2;3} \right)\).

b) Sai. Quỹ đạo là Parabol \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\) (\(a \ne 0\)).

Sau \(1\)s, độ cao là \(2\)m, tức là \(h\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow a + b + c = 2\).

Vì đỉnh của Parabol là \(I\left( {2;3} \right)\) nên \(h\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow 4a + 2b + c = 3\) và hoành độ đỉnh

\( - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow 4a + b = 0\).

Từ đó, ta có hệ phương trình đúng là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + b = 0}\\{4a + 2b + c = 3}\\{a + b + c = 2}\end{array}} \right.\).

c) Đúng. Giải hệ phương trình trên ta suy ra \(a =  - 1,b = 4,c =  - 1\).

Công thức độ cao: \(h\left( t \right) =  - {t^2} + 4t - 1\).

Tại \(t = 3\left( {\rm{s}} \right)\) ta có \(h\left( 3 \right) =  - {3^2} + 4 \cdot 3 - 1 =  - 9 + 12 - 1 = 2\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng. Quả bóng đạt độ cao trên \(2\left( {\rm{m}} \right)\) khi và chỉ khi:

\(h\left( t \right) > 2 \Leftrightarrow  - {t^2} + 4t - 1 > 2 \Leftrightarrow  - {t^2} + 4t - 3 > 0 \Leftrightarrow 1 < t < 3\).

Khoảng thời gian này kéo dài \(3 - 1 = 2\) giây.

Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

a) Sai. Giá bán điện từ \(51\) đến \(100\) kWh (Bậc 2) là \(1956\) đồng/kWh.

b) Sai. Tiêu thụ ở bậc càng cao thì giá bán điện càng tăng.

c) Đúng. Với mức tiêu thụ \(x \in \left[ {51;100} \right]\) kWh:

Tiền điện Bậc 1 (\(50\) kWh đầu): \(50 \times 1893 = 94650\) (đồng).

Tiền điện Bậc 2 (\(\left( {x - 50} \right)\) kWh tiếp theo): \(\left( {x - 50} \right) \times 1956 = 1956x - 97800\) (đồng).

Tổng số tiền phải trả: \(y = 94650 + 1956x - 97800 = 1956x - 3150\) (đồng).

d) Đúng. Với \(x = 80\) kWh (thuộc Bậc 2) thì

\(y = 1956 \times 80 - 3150 = 156480 - 3150 = 153330\) (đồng).

Kết luận: a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

Số liệu điểm số khảo sát của hai lớp (mỗi lớp có \(N = 25\) học sinh):

Lớp A được sắp xếp tăng dần: \(2,2,3,3,4,4,5,5,5,5,5,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9\).

Lớp B được sắp xếp tăng dần: \(3,3,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,9,9,10\).

a) Sai. Số trung bình: \({\bar x_A} = \frac{{148}}{{25}} = 5,92\); \({\bar x_B} = \frac{{157}}{{25}} = 6,28\). Vậy \({\bar x_A} = 5,92 < {\bar x_B} = 6,28\).

b) Sai. Số trung vị (giá trị thứ 13 trong dãy đã sắp xếp): \({M_{eA}} = 6,\quad {M_{eB}} = 6\).

c) Đúng. Phương sai:

\(s_A^2 = \frac{1}{{25}}\sum x_{Ai}^2 - {\left( {{{\bar x}_A}} \right)^2} = \frac{{984}}{{25}} - {\left( {5,92} \right)^2} = 39,36 - 35,0464 = 4,3136\).

\(s_B^2 = \frac{1}{{25}}\sum x_{Bi}^2 - {\left( {{{\bar x}_B}} \right)^2} = \frac{{1063}}{{25}} - {\left( {6,28} \right)^2} = 42,52 - 39,4384 = 3,0816\).

d) Đúng. \(s_B^2 = 3,0816 < s_A^2 = 4,3136\) nên điểm số lớp B đồng đều hơn lớp A.

Kết luận: a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng

a) Sai. Trọng tâm \(G\) của \({\rm{\Delta }}ABC\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{3 + 6 + 3}}{3} = 4\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;4} \right)\).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AG}  = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right)\).

Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D}} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD}  = \left( {{x_D} - 1;{y_D} - 3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} - 1 = 3 \cdot 1}\\{{y_D} - 3 = 3 \cdot 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)\).

c) Đúng. Xét các vectơ: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;3} \right),\quad \overrightarrow {CD}  = \left( {0;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Rightarrow ABDC{\rm{\;l\`a \;h\`i nh\;b\`i nh\;h\`a nh}}{\rm{.}}\)

Mặt khác \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0} \right)\), ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0 \Rightarrow AB \bot AC\);

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3,\quad AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3 \Rightarrow AB = AC\).

Hình bình hành \(ABDC\) có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau nên \(ABDC\) là hình vuông.

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BD}  = \left( {4 - 1;6 - 6} \right) = \left( {3;0} \right)\). Như vậy \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9 \ne 0\).

Kết luận: a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai

Hàm số độ cao của nước có dạng \(h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\left( s \right)\), trực thăng ở độ cao \(200\left( {\rm{m}} \right)\) so với mặt đất và bắt đầu phun nước (đỉnh đồ thị Parabol nằm trên trục \(Oh\) tại \(t = 0\)), do đó: \(c = 200,b = 0 \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^2} + 200\).

Tại thời điểm \(t = 5\left( {\rm{s}} \right)\), nước ở độ cao \(75\left( {\rm{m}} \right)\) nên

\(h\left( 5 \right) = a \cdot {5^2} + 200 = 75 \Rightarrow 25a =  - 125 \Rightarrow a =  - 5\).

Suy ra hàm số độ cao là \(h\left( t \right) =  - 5{t^2} + 200\).

Nước chạm chân đám cháy dưới mặt đất khi \(h\left( t \right) = 0\):

\( - 5{t^2} + 200 = 0 \Rightarrow {t^2} = 40 \Rightarrow t = \sqrt {40}  = 6,3245...\left( {\rm{s}} \right)\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm thu được \(t \approx 6,32\).

Đáp án điền: 6,32.

Quãng đường bạn Bình đi là \(d = 50\) km. Số tiền được tính theo từng định mức như sau:

Mức 1: Giá mở cửa cho \(0,5\) km đầu tiên: \(11\) nghìn đồng.

Mức 2: Quãng đường tiếp theo từ km \(0,5\) đến km \(30\) (dài \(30 - 0,5 = 29,5\) km) có giá \(17,6\) nghìn đồng/km: \(29,5 \times 17,6 = 519,2\) (nghìn đồng).

Mức 3: Quãng đường còn lại từ km thứ \(31\) đến km \(50\) (dài \(50 - 30 = 20\) km) có giá \(14,5\) nghìn đồng/km: \(20 \times 14,5 = 290\)(nghìn đồng).

Tổng số tiền bạn Bình phải trả là: \(T = 11 + 519,2 + 290 = 820,2\) (nghìn đồng).

Đáp án điền: 820.

Phân tích lực \(\vec F = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \), trong đó \(\overrightarrow {{F_2}} \) là thành phần lực theo phương nằm ngang và \(\overrightarrow {{F_1}} \) theo phương thẳng đứng.

Độ lớn của thành phần lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) nằm ngang là: \({F_2} = F \cdot \cos 30^\circ  = 50 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 {\rm{\;(N)}}\).

Theo đề bài, \({F_2}\) có dạng \(a\sqrt b \) với \(a,b \in \mathbb{N},b \le 3\).

Suy ra \(a = 25\) và \(b = 3\).

Giá trị của biểu thức \(a + b\) là: \(a + b = 25 + 3 = 28\).

Đáp án điền: 28.

Gọi chiều rộng ban đầu của vườn rau là \(x\) (m, \(x > 0\)).

Chiều dài ban đầu của vườn rau là \(3x\) (m).

Sau khi mở rộng thêm \(5\)m cho cả hai kích thước:

Chiều rộng mới là \(x + 5\) (m).

Chiều dài mới là \(3x + 5\) (m).

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng không vượt quá \(153{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\):

\(\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 5} \right) \le 153 \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x + 25 \le 153 \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x - 128 \le 0\).

Giải bất phương trình bậc hai \(3{x^2} + 20x - 128 \le 0\):

Tam thức có nghiệm \(x = 4\) và \(x =  - \frac{{32}}{3}\).

Do \(x > 0\) nên ta được \(0 < x \le 4\).

Chiều dài lớn nhất của vườn rau sau khi mở rộng đạt được khi \(x = 4\). Khi đó chiều dài lớn nhất của vườn rau là \(3 \cdot 4 + 5 = 17{\rm{\;(m)}}\).

Đáp án điền: 17.

Tổng số ngày khảo sát là \(N = 10\).

Nhiệt độ trung bình: \(\bar x = \frac{{14 + 16 + 17 + 18 \cdot 2 + 19 + 20 \cdot 2 + 21 + 22}}{{10}} = \frac{{185}}{{10}} = 18,5^\circ {\rm{C}}\).

Phương sai \({s^2}\): \({s^2} = \frac{1}{{10}}\left( {{{14}^2} + {{16}^2} + {{17}^2} + {{18}^2} + {{19}^2} + {{20}^2} \cdot 2 + {{21}^2} + {{22}^2}} \right) - {18,5^2} = 5,25\).

Đáp án điền: 5,25.

Hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB{\rm{//}}CD\) và \(CD = 2AB\).

Giao điểm \(E\) của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) chia các đường chéo theo tỉ lệ cạnh đáy:

\(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {EC}  =  - 2\overrightarrow {EA}  \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} \).

Biết \(C\left( {4;7} \right)\) và \(E\left( {8;3} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {EC}  = \left( {4 - 8;7 - 3} \right) = \left( { - 4;4} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{2}\left( { - 4;4} \right) = \left( { - 2;2} \right)\).

Với điểm \(A\left( {a;b} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AE}  = \left( {8 - a;3 - b} \right)\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}8 - a =  - 2\\3 - b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.\).

Thỏa mãn \(a,b \in \mathbb{N}\).

Tính giá trị biểu thức: \(T = {10^2} + {1^2} = 100 + 1 = 101\).

Đáp án điền: 101.