Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Bình Chiểu (TP.HCM) có đáp án

Theo định lý côsin trong tam giác \(ABC\), ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC\cos A\).

Do đó, phương án B là mệnh đề đúng.

Chọn B.

Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) và nửa chu vi \(p\) là: \(S = p \cdot r\).

Do đó, phương án B là mệnh đề đúng.

Chọn B.

Trong hình bình hành \(ABCD\):

Hai đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) không cùng phương và không cùng hướng, nên \(\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} \).

Các cặp vectơ cùng hướng và cùng độ dài: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \).

Do đó, khẳng định \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \) là sai.

Chọn A.

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được tính theo công thức: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).

Thay số ta có \(\vec a \cdot \vec b = 6 \cdot 7 \cdot \cos 45^\circ = 42 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 21\sqrt 2 \).

Chọn B.

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BD} \) chính bằng độ dài đoạn thẳng \(BD\): \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\). Áp dụng định lý Định lý Pythagorae trong tam giác vuông \(ABD\) ta được \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = \sqrt {25 + 144} = \sqrt {169} = 13\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 13\).

Chọn D.

Cỡ mẫu \(N\) là tổng số lượng các giá trị quan sát được trong mẫu số liệu:

\(N = 6 + 8 + 10 + 6 + 7 = 37\).

Chọn C.

a) Đúng. Vì \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Do đó \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \) là hai vectơ đối nhau, suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\).

b) Đúng. Áp dụng quy tắc ba điểm đối với cộng vectơ, ta có: \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DC} \).

c) Sai. Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \). Hai vectơ \[\overrightarrow {BA} \] và \(\overrightarrow {BC} \) có chung điểm đầu \(B\), do đó góc giữa hai vectơ là \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = 90^\circ \ne 30^\circ \).

d) Đúng. Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).

Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh \(a\) là \(AC = a\sqrt 2 \). Do đó: \(\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).

a) Sai. Giá trị trung bình của mẫu số liệu là:

\(\bar x = \frac{{10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14,5 + 15 + 18 + 20 + 20 + 21 + 28}}{{13}} = \frac{{204,5}}{{13}} \approx 15,7\).

b) Sai. Mẫu số liệu đã sắp xếp gồm \(n = 13\) giá trị (số lẻ).

Trung vị \({M_e}\) là giá trị ở vị trí thứ \(\frac{{13 + 1}}{2} = 7\), tức là: \({M_e} = {Q_2} = 14,5\).

c) Đúng. Tứ phân vị thứ hai: \({Q_2} = 14,5\).

Nửa số liệu phía dưới \({Q_2}\) gồm 6 giá trị: \(10,10,11,12,12,13\). Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung bình cộng của 2 giá trị ở giữa (vị trí thứ 3 và 4): \({Q_1} = \frac{{11 + 12}}{2} = 11,5\).

Nửa số liệu phía trên \({Q_2}\) gồm 6 giá trị: \(15,18,20,20,21,28\). Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung bình cộng của 2 giá trị ở giữa (vị trí thứ 3 và 4): \({Q_3} = \frac{{20 + 20}}{2} = 20\).

Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 20 - 11,5 = 8,5\).

d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{1}{{13}}\left( {{{10}^2} + {{10}^2} + {{11}^2} + {{12}^2} + {{12}^2} + {{13}^2} + {{14,5}^2} + {{15}^2} + {{18}^2} + {{20}^2} + {{20}^2} + {{21}^2} + {{28}^2}} \right) - {\overline x ^2} = \frac{{4489}}{{169}}\).

Độ lệch chuẩn là: \(S = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{{4489}}{{169}}} = \frac{{67}}{{13}} \approx 5,15\).

Ta có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).

Suy ra \(AB = \frac{{AC \cdot \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{6 \cdot \sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }}\)\( = \frac{{6 \cdot \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 3 \cdot \left( {\sqrt 3 + 1} \right) \approx 8,196{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Làm tròn đến hàng phần mười thu được \(8,2{\rm{\;cm}}\).

Đáp số: \(8,2\).

Nửa chu vi tam giác \(MNP\) là: \(p = \frac{{MN + NP + MP}}{2} = \frac{{10 + 17 + 21}}{2} = 24\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác \(MNP\):

\(S = \sqrt {p\left( {p - MN} \right)\left( {p - NP} \right)\left( {p - MP} \right)} = \sqrt {24 \cdot \left( {24 - 10} \right) \cdot \left( {24 - 17} \right) \cdot \left( {24 - 21} \right)} = 84\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Đáp số: \(84\).

Ta có \(VT = \overrightarrow {GH} + \overrightarrow {EF} \)\( = \left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EH} } \right) + \overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EF} } \right) + \overrightarrow {EH} \)\( = \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {GF} = VP\).

Đẳng thức đã được chứng minh.

Mẫu số liệu nhiệt độ trong 10 ngày: \(23\quad 24\quad 24\quad 32\quad 29\quad 25\quad 24\quad 23\quad 25\quad 26\).

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(23\quad 23\quad 24\quad 24\quad 24\quad 25\quad 25\quad 26\quad 29\quad 32\).

Cỡ mẫu \(n = 10\) (số chẵn).

Tứ phân vị thứ hai (Trung vị \({Q_2}\)) là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: \({Q_2} = \frac{{24 + 25}}{2} = 24,5\).

Nửa số liệu phía dưới \({Q_2}\) gồm 5 giá trị: \(23,23,24,24,24\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là giá trị ở giữa (vị trí thứ 3): \({Q_1} = 24\).

Nửa số liệu phía trên \({Q_2}\) gồm 5 giá trị: \(25,25,26,29,32\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là giá trị ở giữa (vị trí thứ 3 trong nhóm trên): \({Q_3} = 26\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 26 - 24 = 2\).

Sau thời gian \(t \ge 0\) (giây):

Quãng đường \(AM\) chất điểm \(X\) đi được: \(AM = 3\sqrt 2 t{\rm{\;(cm)}}\).

Quãng đường \(BN\) chất điểm \(Y\) đi được: \(BN = 4t{\rm{\;(cm)}}\).

Gọi \(Ax \cap By = C\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat A = 45^\circ ,AB = 100\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).

Do đó \(BC = AB = 100\); \(AC = \frac{{AB}}{{\cos A}} = \frac{{100}}{{\cos 45^\circ }} = 100\sqrt 2 \) và \(\widehat {ACB} = 45^\circ \).

Khi đó \(CM = AC - AM = 100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t\) và \(CN = BC - BN = 100 - 4t\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(CMN\) có \(\widehat {MCN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) ta có:

\(M{N^2} = C{M^2} + C{N^2} - 2CM \cdot CN \cdot \cos 45^\circ \)

\( = {\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right)^2} + {\left( {100 - 4t} \right)^2} - 2\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right) \cdot \left( {100 - 4t} \right) \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( = 10{t^2} - 600t + 10000\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 10{t^2} - 600t + 10000\) với \(t \ge 0\):

Đây là một tam thức bậc hai có hệ số \(a = 10 > 0\), đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: \(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 600}}{{2 \cdot 10}} = 30\).

Giá trị nhỏ nhất của \(M{N^2}\) là: \(f\left( {30} \right) = 10 \cdot {30^2} - 600 \cdot 30 + 10000 = 1000\).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là: \(M{N_{{\rm{min}}}} = \sqrt {1000} = 10\sqrt {10} \approx 32{\rm{\;cm}}\) khi \(t = 30\) giây.