Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam (Hà Nội) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm). Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án.
.
.
.
.
Phủ định của mệnh đề chứa dấu đẳng thức \( = \) là mệnh đề chứa dấu khác \( \ne \).
Mệnh đề phủ định của là .
Chọn D.
\(\left[ { - 3; - 1} \right)\).
\(\left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\).
\(\left[ {4; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 3; - 1} \right]\).
Tập hiệu \(A\backslash B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid x \in A{\rm{\;v\`a \;}}x \notin B} \right\}\).
Ta có \(x \in A \Rightarrow - 3 \le x < 4\) và \(x \notin B \Rightarrow x \le - 1\).
Kết hợp hai điều kiện: \( - 3 \le x \le - 1 \Rightarrow A\backslash B = \left[ { - 3; - 1} \right]\).
Chọn D.
\(\left( {2;0} \right)\).
\(\left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\left( {0; - 2} \right)\).
\(\left( {1; - 1} \right)\).
Thử tọa độ từng điểm vào vế trái \(F\left( {x,y} \right) = 19x - 12y\):
Tại \(A\left( {2;0} \right)\): \(19 \cdot 2 - 12 \cdot 0 = 38 \ge 25\) (thỏa mãn).
Tại \(B\left( { - 1; - 4} \right)\): \(19 \cdot \left( { - 1} \right) - 12 \cdot \left( { - 4} \right) = - 19 + 48 = 29 \ge 25\) (thỏa mãn).
Tại \(C\left( {0; - 2} \right)\): \(19 \cdot 0 - 12 \cdot \left( { - 2} \right) = 24 < 25\) (không thỏa mãn).
Tại \(D\left( {1; - 1} \right)\): \(19 \cdot 1 - 12 \cdot \left( { - 1} \right) = 19 + 12 = 31 \ge 25\) (thỏa mãn).
Vậy điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Chọn C.
\(0\).
\(1\).
\({\tan ^2}\alpha \).
\({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \).
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \), áp dụng công thức hai góc phụ nhau ta có \(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
Do đó: \(\tan \alpha \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\).
Chọn B.
Đường thẳng \(AB\).
Tia \(AB\).
Đoạn thẳng \(AB\).
Tia đối của tia \(AB\).
Theo định nghĩa về hướng của vectơ, tập hợp điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {AM} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là tia \(AB\).
Chọn B.
Ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đều cùng phương với vectơ \(\vec 0\).
Nếu các vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) đều ngược hướng với vectơ \(\vec c\) thì hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng hướng.
Nếu vectơ \(\vec a\) không cùng hướng với vectơ \(\vec b\) thì hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) ngược hướng.
Nếu các vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) đều cùng phương với vectơ \(\vec c\) thì hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương.
Khẳng định A đúng vì vectơ \(\vec 0\) cùng phương với mọi vectơ.
Khẳng định B đúng vì hai vectơ cùng ngược hướng với vectơ thứ ba (khác \(\vec 0\)) thì cùng hướng với nhau.
Khẳng định C sai vì nếu hai vectơ không cùng phương thì chúng không cùng hướng và cũng không ngược hướng.
Khẳng định D đúng theo tính chất bắc cầu của quan hệ cùng phương.
Chọn C.
\(BA = DC\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \).
Từ đẳng thức \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), ta suy ra đoạn thẳng \(AB = CD\) và \(AB{\rm{//}}CD\), đồng thời hướng từ \(A\) đến \(B\) cùng hướng từ \(D\) đến \(C\). Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Trong hình bình hành \(ABCD\):
\(BA = DC\) (đúng vì \(AB = CD\)).
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) (đúng).
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \) là sai vì hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau, không cùng hướng và không bằng nhau về độ dài trong hình bình hành tổng quát.
Chọn D.
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {IB} } \right|\).
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AB} \).
Theo tính chất trung điểm, điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0.\)
Chọn A.
\(\left( {6; - 8} \right)\).
\(\left( {6;4} \right)\).
\(\left( {2;4} \right)\).
\(\left( {2; - 8} \right)\).
Tọa độ của vectơ \(\vec u - 2\vec v\) là: \(\vec u - 2\vec v = \left( {4 - 2\left( { - 1} \right); - 2 - 2\left( 3 \right)} \right) = \left( {4 + 2; - 2 - 6} \right) = \left( {6; - 8} \right)\).
Chọn A.
Sai số tuyệt đối là \(1^\circ {\rm{C}}\).
Sai số tương đối là \(0,5\% \).
Độ chính xác là \(1^\circ {\rm{C}}\).
Độ chính xác là \(2^\circ {\rm{C}}\).
Số đo \(a = 22^\circ {\rm{C}} \pm 1^\circ {\rm{C}}\) có dạng \({a_0} \pm d\), trong đó độ chính xác của phép đo là \(d = 1^\circ {\rm{C}}\).
Chọn C.
Mốt.
Khoảng tứ phân vị.
Số trung vị.
Số trung bình.
Mốt, số trung vị và số trung bình là các đại lượng đo xu thế trung tâm.
Khoảng tứ phân vị (cùng với khoảng biến thiên, phương sai, độ lệch chuẩn) là đại lượng đo độ phân tán của mẫu số liệu.
Chọn B.
Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá được cho như sau:
\(30\quad 15\quad 22\quad 19\quad 24\)
Nếu bổ sung hai giá trị \(20\) và \(23\) vào mẫu số liệu trên thì so với mẫu số liệu ban đầu ta có kết quả nào dưới đây?
Trung vị và số trung bình đều không thay đổi.
Trung vị và số trung bình đều thay đổi.
Trung vị thay đổi, số trung bình không thay đổi.
Trung vị không thay đổi, số trung bình thay đổi.
Mẫu số liệu ban đầu (sắp xếp tăng dần): \(15,19,22,24,30\) (\({N_1} = 5\)).
Số trung bình: \({\bar x_1} = \frac{{15 + 19 + 22 + 24 + 30}}{5} = \frac{{110}}{5} = 22\).
Trung vị: \({M_{e1}} = 22\) (số đứng thứ 3).
Mẫu số liệu sau khi bổ sung \(20\) và \(23\) (sắp xếp tăng dần): \(15,19,20,22,23,24,30\) (\({N_2} = 7\)).
Số trung bình: \({\bar x_2} = \frac{{110 + 20 + 23}}{7} = \frac{{153}}{7} \approx 21,86 \ne 22\) (thay đổi).
Trung vị: \({M_{e2}} = 22\) (số đứng thứ 4, không thay đổi).
Chọn D.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng/sai (4,0 điểm). Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các tập hợp \(A = \left[ { - 5;2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;3} \right)\).
\(A \cup B = \left[ { - 3;2} \right)\).
\(A \cap B = \left[ { - 3;2} \right]\).
\(A\backslash B = \left[ { - 5; - 3} \right]\).
\({C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \left( { - \infty ; - 5\left] \cup \right[3; + \infty } \right)\).
a) Sai. Ta có \(A \cup B = \left[ { - 5;3} \right)\).
b) Sai. Ta có \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right]\) (vì \( - 3 \notin B\)).
c) Đúng. Ta có \(A\backslash B = \left[ { - 5;2} \right]\backslash \left( { - 3;3} \right) = \left[ { - 5; - 3} \right]\).
d) Sai. Ta có \(A \cup B = \left[ { - 5;3} \right) \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left[ { - 5;3} \right) = \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
\(\cos A = \frac{1}{7}\).
\(AC = 14\).
Biểu thức \(T = 3\cos B - 2\cos A + \cos C\) có giá trị bằng \(3\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{14\sqrt 3 }}{3}\).
Đặt \(a = BC = 16\), \(c = AB = 10\), \(\hat B = 60^\circ \).
b) Đúng. Theo định lý côsin trong tam giác \(ABC\):
\(A{C^2} = {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {16^2} + {10^2} - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ = 196\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {196} = 14\).
a) Đúng. Theo định lý côsin:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + {{10}^2} - {{16}^2}}}{{2 \cdot 14 \cdot 10}} = \frac{{196 + 100 - 256}}{{280}} = \frac{{40}}{{280}} = \frac{1}{7}\).
c) Sai. Ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{{16}^2} + {{14}^2} - {{10}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 14}} = \frac{{256 + 196 - 100}}{{448}} = \frac{{352}}{{448}} = \frac{{11}}{{14}}\).
Thay các giá trị vào biểu thức \(T\):
\(T = 3\cos 60^\circ - 2 \cdot \frac{1}{7} + \frac{{11}}{{14}} = 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{7} + \frac{{11}}{{14}} = \frac{{21 - 4 + 11}}{{14}} = \frac{{28}}{{14}} = 2\).
d) Đúng. Theo định lý sin, bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) là:
\(R = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{{14}}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{{14}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{14}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Hai vectơ \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {IB} = - 4\overrightarrow {IC} \).
\(\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} \).
\(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).
a) Sai. Do \(I\) nằm trên cạnh \(BC\) (nằm giữa \(B\) và \(C\)) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) ngược hướng nhau.
b) Đúng. Vì \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) ngược hướng và độ dài \(IB = 4IC\) nên \(\overrightarrow {IB} = - 4\overrightarrow {IC} \).
c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {CA} \).
d) Đúng. Từ \(\overrightarrow {IB} = - 4\overrightarrow {IC} \Rightarrow \overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \vec 0\). Chèn điểm \(A\):
\(\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} } \right) = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {AI} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).
Đáp án: a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Tọa độ của vectơ \(3\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {6;12} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 120\).
Gọi \(D\) là điểm thỏa mãn \(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \vec 0\). Khi đó ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 45^\circ \).
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 4; - 3 - 1} \right) = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right) \ne \left( {6;12} \right)\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( {8 - 2;9 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {6;12} \right)\).
Nhận thấy \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BA} \) với \(3 > 0\), nên \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {BC} \).
c) Sai. \(\overrightarrow {AC} = \left( {8 - 4;9 - 1} \right) = \left( {4;8} \right)\) và \(\overrightarrow {CB} = \left( {2 - 8; - 3 - 9} \right) = \left( { - 6; - 12} \right)\).
Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 24 - 96 = - 120 \ne 120\).
d) Sai. Biến đổi đẳng thức vectơ tìm điểm \(D\):
\(30\overrightarrow {OD} + 19\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow 14\overrightarrow {OD} = - 19\overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OC} \).
Tọa độ điểm \(D\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = \frac{{ - 19 \cdot 2 + 3 \cdot 8}}{{14}} = - 1\\{y_D} = \frac{{ - 19 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 9}}{{14}} = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)\).
Xét hai vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1 - 2;6 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( { - 3;9} \right)\):
\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = \frac{{ - 30}}{{\sqrt {20} \cdot \sqrt {90} }} = \frac{{ - 30}}{{30\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ \ne 45^\circ \).
Đáp án: a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai
PHẦN III. Câu hỏi trả lời ngắn (3,0 điểm). Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Lớp 10A có 28 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Văn, 7 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp 10A giỏi ít nhất một trong 2 môn Toán và Văn?
Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh giỏi Toán, \(B\) là tập hợp các học sinh giỏi Văn của lớp 10A.
Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán và Văn chính là số phần tử của tập hợp \(A \cup B\).
Ta có \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 28 + 15 - 7 = 36\).
Đáp số: \(36\).
Một gia đình cần ít nhất 900 gam protein và 400 gam lipit từ lượng thịt trong bữa ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa 80% protein và 20% lipit; thịt lợn chứa 60% protein và 40% lipit. Giả thiết gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1600 gam thịt bò, 1100 gam thịt lợn và giá tiền 1 kg thịt bò là 45 nghìn đồng, giá tiền 1 kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. Hỏi số tiền nhỏ nhất mà gia đình cần phải chi trả để mua thịt mỗi ngày là bao nhiêu? (Đơn vị: nghìn đồng)
Gọi \(x\) (gam) là khối lượng thịt bò và \(y\) (gam) là khối lượng thịt lợn gia đình mua mỗi ngày (điều kiện \(x,y \ge 0\)).
Theo bài ra ta có các điều kiện ràng buộc:
Lượng thịt tối đa: \(0 \le x \le 1600\) và \(0 \le y \le 1100\).
Lượng protein thu được: \(0,8x + 0,6y \ge 900 \Rightarrow 4x + 3y \ge 4500\).
Lượng lipit thu được: \(0,2x + 0,4y \ge 400 \Rightarrow x + 2y \ge 2000\).
Tổng chi phí mua thịt mỗi ngày (tính theo đơn vị nghìn đồng) là:
\(T\left( {x,y} \right) = \frac{{45}}{{1000}}x + \frac{{35}}{{1000}}y = 0,045x + 0,035y\).
Hệ bất phương trình mô tả miền nghiệm \(S\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1600}\\{0 \le y \le 1100}\\{4x + 3y \ge 4500}\\{x + 2y \ge 2000}\end{array}} \right.\).
Xác định các đỉnh của đa giác miền nghiệm \(S\):
\(M\left( {600;700} \right)\) là giao điểm của \(4x + 3y = 4500\) và \(x + 2y = 2000\).
\(N\left( {1600;200} \right)\) là giao điểm của \(x = 1600\) và \(x + 2y = 2000\).
\(P\left( {1600;1100} \right)\) là giao điểm của \(x = 1600\) và \(y = 1100\).
\(Q\left( {300;1100} \right)\) là giao điểm của \(y = 1100\) và \(4x + 3y = 4500\).
Tính giá trị biểu thức \(T\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:
\(T\left( M \right) = 0,045 \cdot 600 + 0,035 \cdot 700 = 27 + 24,5 = 51,5\) (nghìn đồng).
\(T\left( N \right) = 0,045 \cdot 1600 + 0,035 \cdot 200 = 72 + 7 = 79\) (nghìn đồng).
\(T\left( P \right) = 0,045 \cdot 1600 + 0,035 \cdot 1100 = 72 + 38,5 = 110,5\) (nghìn đồng).
\(T\left( Q \right) = 0,045 \cdot 300 + 0,035 \cdot 1100 = 13,5 + 38,5 = 52\) (nghìn đồng).
Do đó, số tiền nhỏ nhất gia đình cần chi trả là \(51,5\) nghìn đồng.
Đáp số: \(51,5\).
Có bao nhiêu giá trị bất thường của mẫu số liệu dưới đây:
\(38\quad 38\quad 24\quad 47\quad 43\quad 70\quad 22\quad 48\quad 48\quad 37\)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (\(N = 10\)):
\(22,\quad 24,\quad 37,\quad 38,\quad 38,\quad 43,\quad 47,\quad 48,\quad 48,\quad 70\)
Xác định các tứ phân vị:
Tứ phân vị thứ hai (trung vị): \({Q_2} = \frac{{38 + 43}}{2} = 40,5\).
Tứ phân vị thứ nhất: \({Q_1} = 37\) (trung vị của nửa dưới gồm \(22,24,37,38,38\)).
Tứ phân vị thứ ba: \({Q_3} = 48\) (trung vị của nửa trên gồm \(43,47,48,48,70\)).
Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 48 - 37 = 11\).
Một giá trị \(x\) được xem là giá trị bất thường nếu \(\left[ \begin{array}{l}x < {Q_1} - 1,5 \cdot \Delta Q\\x > {Q_3} + 1,5 \cdot \Delta Q\end{array} \right.\).
Tính ngưỡng giá trị bất thường:
Ranh giới dưới: \(37 - 1,5 \cdot 11 = 20,5\).
Ranh giới trên: \(48 + 1,5 \cdot 11 = 64,5\).
So sánh các số liệu trong mẫu:
Không có giá trị nào nhỏ hơn \(20,5\).
Có \(1\) giá trị lớn hơn \(64,5\) là \(70\).
Vậy mẫu số liệu có đúng \(1\) giá trị bất thường.
Đáp số: \(1\).
Một chuyến bay từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng với quãng đường bay thẳng là 605 km. Tuy nhiên vì lí do thời tiết, phi công điều khiển chuyến bay đã chọn hướng bay lệch so với hướng bay thẳng là \(10^\circ \) (tham khảo hình vẽ minh họa bên dưới). Nếu máy bay duy trì tốc độ trung bình là \(820{\rm{\;km/h}}\) và sau 15 phút, khi thời tiết ổn định thì phi công nên điều khiển máy bay bay thẳng chếch lên một góc \(\alpha \) bằng bao nhiêu độ để đến được Đà Nẵng như đã dự tính. (Độ dài các quãng đường làm tròn đến hàng phần chục, các góc làm tròn đến hàng đơn vị)
Mô hình hóa bài toán với tam giác \(ABC\):
\(A\): Thành phố Hồ Chí Minh.
\(B\): Đà Nẵng (\(AB = 605{\rm{\;km}}\)).
\(C\): Vị trí máy bay sau 15 phút bay lệch hướng.
Góc lệch hướng ban đầu \(\widehat {CAB} = 10^\circ \).
Đoạn đường \(AC\) máy bay bay được sau \(15{\rm{\;ph\'u t}} = 0,25\) giờ là: \(AC = 820 \cdot 0,25 = 205{\rm{\;km}}\).
Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\) tính khoảng cách \(BC\):
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {CAB}\)
\(B{C^2} = {205^2} + {605^2} - 2 \cdot 205 \cdot 605 \cdot \cos 10^\circ \approx 42025 + 366025 - 248050 \cdot 0,9848 \approx 163768,44\).
\( \Rightarrow BC \approx \sqrt {163768,44} \approx 404,7{\rm{\;km}}\).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\) để tính \(\sin \widehat {ACB}\):
\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB \cdot \sin 10^\circ }}{{BC}} \approx 0,2596\).
Vì góc \(\alpha \) (góc chếch lên) là góc ngoài của tam giác \(ABC\) tại đỉnh \(C\), ta có
\(\sin \alpha = \sin \left( {180^\circ - \widehat {ACB}} \right) = \sin \widehat {ACB} \approx 0,2596\).
Suy ra \(\alpha \approx 15^\circ \).
Đáp số: \(15\).
Cho số gần đúng \(a = 30041975\) với độ chính xác \(d = 1945\). Quy tròn số gần đúng \(a\), ta được số quy tròn có dạng \(30mnpq00\). Tính tổng \(m + n + p + q\).
Độ chính xác \(d = 1945\) có chữ số ở hàng cao nhất là hàng nghìn (\(1000 \le 1945 < 10000\)).
Do đó, theo quy tắc làm tròn số gần đúng, ta làm tròn số \(a\) đến hàng chục nghìn.
Xét số \(a = 30041975\):
Chữ số ở hàng chục nghìn là \(4\).
Chữ số ngay sau nó (hàng nghìn) là \(1 < 5\).
Nên khi quy tròn đến hàng chục nghìn, ta giữ nguyên chữ số hàng chục nghìn và thay toàn bộ các chữ số sau nó bằng số \(0\) ta được \(\bar a \approx 30040000\).
Đối chiếu với dạng \(30mnpq00\), ta nhận được: \(m = 0,\quad n = 4,\quad p = 0,\quad q = 0\).
Tổng cần tính là: \(m + n + p + q = 0 + 4 + 0 + 0 = 4\).
Đáp số: \(4\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( {3;0} \right)\), \(C\left( {5;8} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BD\) và \(AM\). Biết điểm \(N\left( {3;2} \right)\). Giả sử tọa độ điểm \(D\) có dạng \(D\left( {a;b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(a - b\).
Xét tam giác \(ABC\):
\(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).
\(BD\) đi qua trung điểm của \(AC\) nên đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) hạ từ đỉnh \(B\) nằm trên đường thẳng \(BD\).
Như vậy, giao điểm \(N\) của \(AM\) và \(BD\) chính là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Tọa độ trọng tâm \(N\left( {3;2} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}3 = \frac{{3 + {x_B} + 5}}{3}\\2 = \frac{{0 + {y_B} + 8}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 2} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 3; - 2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 2} \right)\).
Với \(D\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {5 - a;8 - b} \right)\).
Đồng nhất tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}5 - a = - 2\\8 - b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 10\end{array} \right.\).
Giá trị của \(a - b\) là: \(a - b = 7 - 10 = - 3\).
Đáp số: \( - 3\).
